线段双中点模型
一、图解模型
【证明1】∵点M、N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC
∴MN = CM+CN = AC+BC = （AC+BC）=AB
【证明2】∵点M、N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN = MC - NC =AC-BC = （AC - BC）=AB
【例1】已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是
A． B． C．或 D．或
【答案】
【解析】①当点在线段上时，如图，
，，
，
是的中点，是的中点，
，，
；
②当点在线段的延长线时，如图，
，，
，
是的中点，是的中点，
，，
；
综上，线段的长度时．
故选：．
【例2】如图，已知线段，为延长线上一点，且．
（1）求的长；
（2）若是的中点，是的中点，求的长．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）因为，
所以，
所以；
（2）因为是的中点，是的中点，
所以，
所以．
【变式1】点是线段上任意一点，点、分别是、的中点，下列说法正确的是
A． B．当点为的中点时，
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】
【解析】、分别是、的中点，
，，
为上任意一点，
不一定等于，
不一定等于，
错误，
：当为中点时，，
，
，
错误，
，
，
，
正确，
，
，
，
错误，
故选：．
【变式2】已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作5次，则 4 ．
【答案】4．
【解析】的中点是和的中点是，
，，
，
，
，
同理可得：，
，
，
．
故答案为：4．
【变式3】综合应用
运动的变化是永恒不变的规律，正如生命中的变幻无常中蕴含着永恒的真理一样．在运动的变化中，往往可以发现不变的规律和智慧，从变化中寻找不变的价值和意义，启迪我们用数学的思维思考问题背后的数理逻辑，从而培养自己的数学思维和逻辑推理能力．已知点、、是直线上三个点（点在点左侧），点、分别是、的中点．
（1）特例探究：如图，当点在线段上，且时，求的长度．
（2）一般猜证：若，求线段的长度．
（3）归纳结论：经历了上述探究过程，请你用简短的文字概括上述探究得到的结论．
【答案】（1）的长度为5；
（2）线段的长度为；
（3）归纳结论：无论点在什么位置，的长度始终都等于．
【解析】（1）如图：
点、分别是、的中点，
，，
，
，
的长度为5；
（2）分三种情况：
当点在之间时，如图：
点、分别是、的中点，
，，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图：
点、分别是、的中点，
，，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图：
点、分别是、的中点，
，，
，
；
综上所述：线段的长度为；
（3）归纳结论：无论点在什么位置，的长度始终都等于．
1．如图，点、分别是线段上两点，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】
【解析】，，若点与点恰好重合，
点和点分别是、的中点，
，，
．
故选：．
2．如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长是
A．7 B． C．9 D．5
【答案】
【解析】点为线段的中点，，
，
点为的中点，
，
，
，
，
故选：．
3．如图，点，是线段上任意两点，点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则线段的长等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
．
．
故选：．
4．如图，点在线段上，且，点、分别是、的中点，若线段，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，
得，，
．
由、两点分别为、的中点，
得，，
由线段的和差，
得，
，
，，
故选：．
5．已知线段，延长线段到点；若点是线段的中点，点是线段的中点，且是方程的解，则线段的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
，
，
，
分两种情况：
当点在点的左侧，如图：
点是线段的中点，点是线段的中点，
，，
，
当点在点的右侧，如图：
点是线段的中点，点是线段的中点，
，，
，
线段的长为，
故选：．
6．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；依次进行这样的标记，则
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】
【解析】线段和的中点分别为，，
，，
，
又，
；
同理：，
，
，
，
．
．
故选：．
7．如图，线段．点在线段上（不与点、点重合），点为的中点，点为的中点，则 ．
【答案】5．
【解析】点为的中点，点为的中点，
，，
，
，
故答案为：5．
8．如图，已知，、分别是和中点，且，则 ．
【答案】
【解析】设．
，
，
；
，；
又，，
，
解得，．
故答案为：．
9．如图，点，在线段上，，分别是，的中点，若，，，则 ．
【答案】2．
【解析】点是的中点，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
故答案为：2．
10．两条线段，一条长、另一条长，将它们一端重合且放在同一条直线上，则两条线段的中点之间的距离是 ．
【答案】11或1．
【解析】设较长的线段为，较短的线段为，
分两种情况：
当两条线段在重合一端的同侧，如图：
点是的中点，点是的中点，
，，
，
当两条线段在重合一端的异侧，如图：
点是的中点，点是的中点，
，，
，
所以，两条线段的中点之间的距离是或，
故答案为：11或1．
11．如图，已知点为上一点，，，、分别为、的中点；则的长为 ．
【答案】4．
【解析】，，
，
，
、分别为、的中点，
，，
，
故答案为：4．
12．如图，点与点在线段上，且，点，点分别是，的中点，若，则 ．
【答案】15．
【解析】，，
，
，
，
点，点分别是，的中点，
，，
．
故答案为：15．
13．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，为原点，，均为该数轴上的点．若为的中点，为的中点，且，，则 ．
【答案】10或．
【解析】，两点在数轴上所表示的数分别为，，，
，
为的中点，
点表示的数为：，
为的中点，
点表示的数为，
在的左侧，
①当在的左侧，
解得：；
②当在的右侧，
，
解得：；
在的右侧，
③当在的右侧，
解得：，
，
不成立．
故答案为：10或．
14．如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，．连续这样操作2024次，则 ．
【答案】．
【解析】，、分别为、的中点，
，
、分别为、的中点，
，
、分别为、的中点，
，
，
由此可得：，
.
15．如图，已知点为上一点，，，若、分别为、的中点，求的长．
【解析】 ，．
， ．
又是的中点，是的中点．
．
16．如图，点、、是线段上的三个点，是线段的中点．
（1）若点是的中点，且，求线段的长；
（2），，求线段的长．
【解析】（1），
，
点是的中点，
，
，
是线段的中点，
，
，
线段的长为4；
（2），
，
，
，
，
线段的长为4．
17．（1）如图，线段，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点，求的长；
（2）小明在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上时，（1）中原有的结论是否仍然成立？请帮助小明画出图形并说明理由．
【解析】（1）点，分别是线段，的中点，
，，
，
，
的长为2；
（2）若点运动到的延长线上时，（1）中原有的结论仍然成立，
如图：
点，分别是线段，的中点，
，，
，
．
18．如图，，，为线段上一点，为的中点，为的中点，为的中点．
（1）若，
①求的长；
②求的长；
（2）若，求的值．
【解析】（1）由题意可得：，，
，，
，，
①为的中点，为的中点，
，，
，
②为的中点，
，
；
（2）分两种情况：
当时，如图：
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，如图所示：
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的值为或2．
19．如图1，已知线段，点在线段上，延长到点，使．
（1）若，求线段的长；
（2）若线段的长恰好等于线段的一半，求线段的长；
（3）如图2，取线段的中点，线段的中点，求线段的长．
【解析】（1），，，
，
线段的长为18；
（2）设，
，，
，
线段的长恰好等于线段的一半，
，
解得：，
线段的长为7；
（3）设，
，，
，，，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
线段的长为10.5．
20．如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点．
（1）若，，求的长；
（2）若，求的值．
【解析】（1），为的中点，
，
，为的中点，
，
；
（2），为的中点，
，
，为的中点，
，
，
，
，
．
21．如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒．
（1）若时，求的长；
（2）当在线段上运动时，是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）当在射线上运动时，为的中点，求的长度．
【解析】（1）当时，，
为的中点，
，
，
，
的长为19；
（2）当在线段上运动时，是定值，
理由：为的中点，
，
，
当在线段上运动时，；
（3）分两种情况：
当在线段上运动时，如图：
为的中点，为的中点
，，
，
；
当在线段的延长线上运动时，如图：
为的中点，为的中点
，，
，
；
综上所述：的长度为12．
22．已知点、、在同一条直线上，点、分别是、的中点，且，．
（1）如图①，若点在线段上，，，求线段的长；
（2）若点为线段上任一点，其它条件不变，请直接写出你的猜想结果，的长度
为 （用含有，的代数式表示），不必说明理由；
（3）若点在线段的延长线上，其它条件不变，请在图②中画出图形，试猜想的长度为 （用含有，的代数式表示，，并说明理由．
【解析】（1）点、分别是、的中点，
，，
；
（2）猜想：，
理由如下：点、分别是、的中点，
，，
．
故答案为：；
（3）猜想：，理由如下：
如图，
点、分别是、的中点，
，，
．
故答案为：．
23．已知线段，，线段在直线上运动在的左侧，在的左侧）．
（1）当点与点重合时， ；
（2）点是线段延长线上任意一点，在（1）的条件下，求的值；
（3）、分别是、的中点，当时，求的长．
【解析】（1）当点与点重合时，；
故答案为：6；
（2）由（1）得，
，
点是线段延长线上任意一点，
，，
；
（3）如图1，、分别为线段、的中点，
，
，
；
如图2，、分别为线段、的中点，
，
，
．
24．如图1，已知点，在直线上，且线段．
（1）如图2所示，当点在线段上，且，点是线段的中点，求线段的长；
（2）若点在直线上，且；
①线段 ；
②若点是线段的中点，则线段 ．
（3）若点在直线上，且，点是线段的中点，点是线段的中点，则线段 ．
【解析】（1），，
，
点为线段的中点，
；
（2）①当点在点的左边时，
，，
，
当点在点的右边时，
，，
．
故答案为：12或20；
②当点在点的左边时，
点为线段的中点，
；
当点在点的右边时，
点为线段的中点，
．
故答案为：6或10；
（3）由（2）得，
当点在点的左边时，
，，
，
点是线段的中点，点是线段的中点，
，
当点在点的右边时，
，，
，
点是线段的中点，点是线段的中点，
，
故答案为：8．
25．如图，已知线段，延长线段至，使．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出
（2）设，点从点出发，点从点出发，分别以，的速度沿直线向左运动．
①当点运动到线段上，求的值；
②在点，沿直线向左运动的过程中，，分别是线段、的中点．当点恰好为线段的三等分点时，求的长．
【解析】（1），
，
，
故答案为：；
（2）①，，
，，
设运动时间为秒，
当点运动到线段上时，
，，
，，
，
的值为3；
②由点恰好为线段的三等分点，
当时，
，
，，
，
，
，，
，
，分别是线段、的中点，
，，
；
当时，
，
，，
，
，
，，
，
，分别是线段、的中点，
，，
；
综上所述：的值为或．
线段双中点模型
一、图解模型
【证明1】∵点M、N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC
∴MN = CM+CN = AC+BC = （AC+BC）=AB
【证明2】∵点M、N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN = MC - NC =AC-BC = （AC - BC）=AB
【例1】已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是
A． B． C．或 D．或
【例2】如图，已知线段，为延长线上一点，且．
（1）求的长；
（2）若是的中点，是的中点，求的长．
【变式1】点是线段上任意一点，点、分别是、的中点，下列说法正确的是
A． B．当点为的中点时，
C．如果，那么 D．如果，那么
【变式2】已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作5次，则 ．
【变式3】综合应用
运动的变化是永恒不变的规律，正如生命中的变幻无常中蕴含着永恒的真理一样．在运动的变化中，往往可以发现不变的规律和智慧，从变化中寻找不变的价值和意义，启迪我们用数学的思维思考问题背后的数理逻辑，从而培养自己的数学思维和逻辑推理能力．已知点、、是直线上三个点（点在点左侧），点、分别是、的中点．
（1）特例探究：如图，当点在线段上，且时，求的长度．
（2）一般猜证：若，求线段的长度．
（3）归纳结论：经历了上述探究过程，请你用简短的文字概括上述探究得到的结论．
1．如图，点、分别是线段上两点，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
2．如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长是
A．7 B． C．9 D．5
3．如图，点，是线段上任意两点，点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则线段的长等于
A． B． C． D．
4．如图，点在线段上，且，点、分别是、的中点，若线段，则的长为
A． B． C． D．
5．已知线段，延长线段到点；若点是线段的中点，点是线段的中点，且是方程的解，则线段的长为
A． B． C． D．
6．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；依次进行这样的标记，则
A．62 B．63 C．64 D．65
7．如图，线段．点在线段上（不与点、点重合），点为的中点，点为的中点，则 ．
8．如图，已知，、分别是和中点，且，则 ．
9．如图，点，在线段上，，分别是，的中点，若，，，则 ．
10．两条线段，一条长、另一条长，将它们一端重合且放在同一条直线上，则两条线段的中点之间的距离是 ．
11．如图，已知点为上一点，，，、分别为、的中点；则的长为 ．
12．如图，点与点在线段上，且，点，点分别是，的中点，若，则 ．
13．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，为原点，，均为该数轴上的点．若为的中点，为的中点，且，，则 ．
14．如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，．连续这样操作2024次，则 ．
15．如图，已知点为上一点，，，若、分别为、的中点，求的长．
16．如图，点、、是线段上的三个点，是线段的中点．
（1）若点是的中点，且，求线段的长；
（2），，求线段的长．
17．（1）如图，线段，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点，求的长；
（2）小明在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上时，（1）中原有的结论是否仍然成立？请帮助小明画出图形并说明理由．
18．如图，，，为线段上一点，为的中点，为的中点，为的中点．
（1）若，
①求的长；
②求的长；
（2）若，求的值．
19．如图1，已知线段，点在线段上，延长到点，使．
（1）若，求线段的长；
（2）若线段的长恰好等于线段的一半，求线段的长；
（3）如图2，取线段的中点，线段的中点，求线段的长．
20．如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点．
（1）若，，求的长；
（2）若，求的值．
21．如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒．
（1）若时，求的长；
（2）当在线段上运动时，是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）当在射线上运动时，为的中点，求的长度．
22．已知点、、在同一条直线上，点、分别是、的中点，且，．
（1）如图①，若点在线段上，，，求线段的长；
（2）若点为线段上任一点，其它条件不变，请直接写出你的猜想结果，的长度
为 （用含有，的代数式表示），不必说明理由；
（3）若点在线段的延长线上，其它条件不变，请在图②中画出图形，试猜想的长度为 （用含有，的代数式表示，，并说明理由．
23．已知线段，，线段在直线上运动在的左侧，在的左侧）．
（1）当点与点重合时， ；
（2）点是线段延长线上任意一点，在（1）的条件下，求的值；
（3）、分别是、的中点，当时，求的长．
24．如图1，已知点，在直线上，且线段．
（1）如图2所示，当点在线段上，且，点是线段的中点，求线段的长；
（2）若点在直线上，且；
①线段 ；
②若点是线段的中点，则线段 ．
（3）若点在直线上，且，点是线段的中点，点是线段的中点，则线段 ．
25．如图，已知线段，延长线段至，使．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出
（2）设，点从点出发，点从点出发，分别以，的速度沿直线向左运动．
①当点运动到线段上，求的值；
②在点，沿直线向左运动的过程中，，分别是线段、的中点．当点恰好为线段的三等分点时，求的长．
