2024年秋期宜宾市普通高中学业质量监测
高二年级数学
（考试时间：120分钟 全卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）．
A. B. C. D.
2. 抛物线上与焦点距离等于6的点的横坐标是（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
3. 已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A. 240 B. 60 C. 180 D. 120
4. 已知点位于平面内，是平面的一个法向量，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. 2 D. 3
5. 与圆和圆都外切的圆的圆心在（ ）
A. 一个圆上 B. 一个椭圆上
C. 双曲线的一支上 D. 一条抛物线上
6. 如图所示，在平行六面体中，，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
7. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个， ，设第n层有个球，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若程所表示的曲线为，则下列说法正确的是（ ）
A. 可能是圆
B. 可能直线
C. 若是焦点在轴上的椭圆，则
D. 若是焦点在轴上的双曲线，则
10. 已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 两圆的公切线有2条
B. 直线的方程为
C. 若两点到直线的距离相等，则
D. 当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1
11. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（ ）
A. 过点的平面截该正方体所得截面面积为
B. 当平面时，点的轨迹长度为
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线，，且，则______.
13. 记为数列的前项和，若，则_______．
14. 双曲线右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，为半径的圆与C的右支相交于两点，若的一个内角为，则C的离心率为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线与圆C相交于两点，求的面积．
16. 已知为等差数列，，记分别为数列前n项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求的前20项和．
17. 如图，在直三棱柱中，D为的中点，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若的面积为，求平面和平面夹角的余弦值．
18. 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，过的直线l交椭圆于两点，的周长为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点垂直于的直线交椭圆于两点，其中在x轴的上方，设弦的中点分别为．
①求四边形面积的最小值；
②判断直线否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由．
19. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．
（1）求的值；
（2）记为数列的前n项和，探究与的关系，并求数列的通项公式；
（3）定义：若数列满足①是单调数列；②存在，使得，则称数列收敛．令，记的前n项和为，证明：数列收敛．
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高二年级数学 答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】63
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）1150
【17题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）①；②直线恒过点
【19题答案】
【答案】（1）
（2），
（3）证明略
