广东省汕头市澄海区 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | < 2}， = { 2, 1,0,1,2,3}，则( ) ∩ =( )
A. { 2, 1,0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {2,3}
2.设 ∈ ，则“ > 1”是“2 > 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在同一直角坐标系中的函数 = log 与 = + 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7 2
4.sin cos 的值为( )
6 3
3 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
2 4 4 4
1
5.下列与函数 = 定义域和单调性都相同的函数是( )
√
1
A. = √ B. = C. = 2 D. = 1√
| |
2
1 1
6.已知 = log52， = log43， = ( )2，比较 ， ， 的大小为( ) 4
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.下列函数中，值域为(0,1]的是( )
2 1A. = 2 + 1(0 ≤ ≤ 2) B. = ( > 1)
+1
2 1
C. = 2 ( > 0) D. = + 1(0 < ≤ 1) +1
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8.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 ， ，
2 2 2 ( + ) 3 1
， 均大于0，则 + ≥ ，当且仅当 = 时等号成立.根据权方和不等式，函数 ( ) = + (0 <
+ 1 3
1
< )的最小值为( )
3
A. 9 B. 16 C. 25 D. 36
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 为第二象限角，则下列正确的有( )
A. > 0， > 0 B. > 0， < 0
C. < 0， < 0 D. < 0， > 0
10.若 < 0 < ，且 + > 0，则( )
A. > 1 B. | | < | |
1 1
C. ( 1)( 1) > 1 D. + < 0
2 +1 1, ≤ 0
11.已知函数 ( ) = { ， ( ) = ( ) ，则( )
| |, > 0,
A. 若函数 = ( )有3个零点，则 ∈ (0,1]
B. 函数 = [ ( )]有4个零点
C. ∈ ，函数 = [ ( )]的零点个数都不为4
D. ∈ ，使得函数 = [ ( )]有6个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.求值： 0 + 20 + 5 = ______．
13.函数 = (2 3) + √ 2的图象恒过定点 ， 在幂函数 ( )的图象上，则 (3) = ______．
1 1
14.设 = ( )是定义在 上的奇函数，且当 > 0时， ( ) = + ，则当 < 0时， ( ) = ______；在 上，3 4
2
关于 的不等式 ( ) > 的解集为______． 5
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = lg( 1) + √ 4 的定义域为 ，当 ∈ [0,2]时，函数 ( ) = 3 + 1的值域为 ．
(1)求 ∩ ， ∪ ；
(2)若不等式2 ≤ 1的解集为 ，且 ∩ ( ∪ ) = ，求实数 的取值范围．
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16.(本小题15分)
在△ 中，设∠ = ．
1
(1)若 = ，求sin( ) + 2 ( )的值．
2 2
1
(2)若 + = ，求 的值．
5
17.(本小题15分)
( )
已知一次函数 ( )满足 (0) = 1，且 ( + 1) ( ) = 2，函数 ( ) = ．
2
(1)求 ( )的解析式；
(2)用定义法证明函数 ( )在(0, +∞)单调递减；
(3)证明： ( ) ≥ 1．
18.(本小题17分)
某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额 (单位：
万元)是销售利润 (单位：万元)的函数，并且满足如下条件：
①图象接近图示；②销售利润 为0万元时，总奖金 为0万元；
③销售利润 为30万元时，总奖金 为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择：
模型 ： = 2 + ( > 0)；
模型 ： = 1.5 + ( > 0)；
模型 ： = 2( + 2) + ( > 0)． 15
(1)结合条件帮助该公司选择一个最合适的模型(不用说明理由)，并求出函数解析式；
(2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
(参考关系：函数 ( ) = log2 + 1在(2, +∞)单调递减)
19.(本小题17分)
欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函
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数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数 = ( )，如果对于其定义域 中任意给定的实数
，都有 ∈ ，并且 ( ) ( ) = 1，就称函数 = ( )为“倒函数”．
(1)判断函数 ( ) = 10 是不是倒函数，并说明理由；
1
(2)若 ( )是定义在 上的倒函数，且当 ≤ 0时， ( ) =
3
，则当 > 0时，求 ( )的解析式，并判断方
+ 4
程 ( ) = 2024是否有正整数解？并说明理由；
2
[ ( )] 1
(3)已知函数 ( )是定义在 上的倒函数，且 ( )在 上单调递增，设函数 ( ) = ，证明：对任意实
( )
数 1， 2，当 1 + 2 > 0时，总有 ( 1) + ( 2) > 0．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】√ 3
14.【答案】 3 4 (0, +∞)
1 > 0
15.【答案】解：(1)由函数 ( ) = lg( 1) + √ 4 的定义域为 ，可得{ ，解得1 < ≤ 4，故
4 ≥ 0
A= (1,4]，
又函数 ( ) = 3 + 1在 上是增函数，且 (0) = 30 + 1 = 2， (2) = 32 + 1 = 10，
所以 = [2,10]，
故 A∩ = [2,4]， ∪ = (1,10]；
(2)因为2 ≤ 1 = 20，所以2 ≤ 1 = 20 ∴ ≤ 0，即 ≤ ，
故 C= ( ∞, ]，
因为 ∩ ( ∪ ) = ，且 ∪ = (1,10]， ≤ 1，即 的取值范围是( ∞, 1]．
16.【答案】解：(1) ∵依题意可知， ∈ (0, )，
1
∴由 = 可知 为锐角，
2
√ 5
1
= = =
∴由{ 5cos 2 ，解得{ ，
2 2√ 5sin + cos2 = 1 =
5
√ 5 4√ 5
∴ sin( ) + 2 ( ) = + 2 = + = √ 5；
2 5 5
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1
(2) ∵ + = ，
5
1 12
∴两边平方得1 + 2 = ，即 = ，
25 25
2 49∴ ( ) = 1 2 = ，
25
∵ ∈ (0, )，
∴ ∈ ( , )，
2
∴ > 0，
12
∴由 = < 0，可得 < 0，
25
∴ > 0，
7
故 = ．
5
17.【答案】解：(1)设 ( ) = + ( ≠ 0)，
由 (0) = 1可得 = 1，
又∵ ( + 1) ( ) = 2，
∴ ( + 1) + 1 ( + 1) = 2，解得 = 2，
∴ ( ) = 2 + 1．
2 +1
(2)证明：由(1)知 ( ) = 2
∴设 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
2 +1 2 +1 (2 +1) 2 (2 +1) 2 ( )(2 + + )
∴ ( ) ( ) = 1 2 = 1 2 2 1 = 2 1 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2
，
1 2 1 2 1 2
∵ 2 > 1 > 0，
∴ 2 1 > 0，2 1 2 + 1 + 2 > 0， 2 1 > 0,2 1 2 + 1 + 2 > 0,
2
1
2
2 > 0，
∴ ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
∴函数 ( )在(0, +∞)单调递减；
2 +1 1 2 1
(3)证明：∵ ( ) = 2 =
2
2
+ = ( + 1) 1．
1 1 1
又∵ ( + 1)2 ≥ 0，∴ ( + 1)2 ≥ 0，∴ ( + 1)2 1 ≥ 1，
即 ( ) ≥ 1．
18.【答案】解：(1)根据题意，选择模型 最合适，
此时 = 2( + 2) + ( > 0)， 15
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由于销售利润 为30万元时，总奖金 为3万元，
22 + = 0 + = 0 = 3则有{ ，即{ 解得{ ，
24 + = 3 2 + = 3 = 3
则 = 3 2( + 2) 3； 15
(2)①根据题意，如果总奖金不少于9万元，则 = 3 2( + 2) 3 ≥ 9， 15
变形可得 2( + 2) ≥ 4，即 + 2 ≥ 16，解得 ≥ 210， 15 15
所以至少应完成销售利润210万元；
②根据题意，假设总奖金能否超过销售利润的五分之一，
则有3 2( + 2) 3 > ，即 2( + 2) > + 1，变形可得log2( + 2) ( + 2) + 1 > 0， 15 5 15 15 15 15
设 ( ) = log2( + 2) ( + 2) + 1( > 0)， 15 15
设 = + 2， = log2 + 1， 15
= + 2在(0, +∞)上为增函数，且 > 2，
15
则 = log2 + 1在(2, +∞)单调递减，
故 ( ) = log2( + 2) ( + 2) + 1( > 0)在(0, +∞)递减， 15 15
则有 ( ) < (0) = log22 2 + 1 = 0，
即log2( + 2) ( + 2) + 1 < 0在(0, +∞)上恒成立， 15 15
故总奖金不会超过销售利润的五分之一．
19.【答案】解：(1)函数 ( )的定义域为 ，
∵对任意的 ∈ ， ( )，
∴函数 ( ) = 10 为倒函数．
1
(2)当 > 0时，则 < 0，由倒函数的定义可得 ( ) = = 3 + 4，
( )
∵当 > 0时，函数 = 3 ， = 4均为增函数，
∴函数 ( )在(0, +∞)上为增函数，
又∵ (5) = 35 + 54 = 868 < 2024， (6) = 36 + 64 = 2025 > 2024．
∴不存在正整数使 ( ) = 2024，即方程 ( ) = 2024无正整数解．
1
(3)证明：∵ ( )是定义在 上的倒函数，故 ( ) ( ) = 1，即 ( ) = ，
( )
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2
[ ( )] 1 1
∴ ( ) = = ( ) = ( ) ( )，
( ) ( )
∵对任意实数 1， 1， 2，若 1 + 2 > 0，则 1 > 2，
又 ( )在 上单调递增，故 ( 1) > ( 2)，
同理可得， ( 2) > ( 1)，
∴ ( 1) + ( 2) > ( 2) + ( 1)，即 ( 1) ( 1) + ( 2) ( 2) > 0，
∴ ( 1) + ( 2) > 0．
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