球溪高级中学 2024—2025学年（上）高三期末考试（普通班）
数学答案
1．C
1 2x 1 1 1
答案解析：由 2可得： 0，即 x(2x 1) 0，解得 x 0或 x ，故 A ( ,0) ( , ) ,因 B 2, 1,0,6 ，则
x x 2 2
A B 2, 1,6 ．
2．B
答案解析：虚数不能比较大小， z 12 22
2
5， z 2 z z1 2 1 3 2，故 1 2 ．
3．A
a
3
答案解析：因为 / /b，所以3 4 ，解得 ，所以 a b 3
24
4 ．
5 5
4．D
答案解析：当 n 1时， a1 S1 2a1 1，∴ a1 1，当 n 2时， Sn 1 2an 1 1，则 an Sn Sn 1 2an 2an 1 ，∴ an 2an 1，
a 1 q 2
即数列 an 是首项 a1 1，公比 q 2 n 1
a a 7 1 1
= 的等比数列，即 an 2 ，∴
7 9 3 a10 a12 a 210 1 q q 8
5．C
答案解析：推测全市居民用户月用水量的平均数是估计值，约为 9吨.
6．A
答案解析：因为 sin
π 2 π 2 π π π
cos 2 sin
cos
5 5
2 sin 2 sin
2 5 2 5 5 4 20
2 sin cos π 2 cos sin π 2 2 cos π sin π π ，所以 2 cos sin 2 cos sin 2 sin
π
0，即20 20 20 20 20 20
sin π 0 .
20
7．A
答案解析：由题设分析 如下图，转动了 45°后，此时魔方相对原来多出了 16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直
3 2
角三角形且周长为 3，设其直角边为 x，则斜边为 2x，则 2x 2x 3 ，解得 x 3 ．由几何关系得 1个小三角形的
2
2
1 S 3 2
27 9 2 27 9 2
面积为 1 3 ，所以增加的面积为 S 16S1 16 108 72 2 ．2 2 4 2 4 2
{#{QQABZQyoxgiwgAYACY5KEUGUCUgQkJAQLcoGQVCUKAxrwAFAFIA=}#}
8．C
答案解析：由题意，关于 x的方程 f x g x 有 2个不相等的实数解，即 y f x 与 y kx 1的图象有 2个交点，如图所
示，
当 k 0，直线 y 1与 y
2
的图象交于点 2, 1 ，又当 x 0时， ex 1 0，故直线 y 1与 y ex 1（ x 0）的图象
x
无公共点，故当 k 0时，y f x 与 y kx 1的图象只有一个交点，不合题意；当 k 0，直线 y kx 1与曲线 y ex 1（ x 0）
x x
相切时，此时 y f x 与 y kx 1的图象有 2个交点，设切点 P x , e 00 1 ，则 k y e 0x x ，又由 y kx 1过点 0, 1 ，0
ex0 1 1 x
所以 e 0 ，解得 x0 1
2 1
，所以 k e；当 k 0时，若 kx 1，则 kx2 x 2 0，由 1 8k 0，可得 k ，
x0 0 x 8
1
所以当 k 时，直线 y kx 1与 y
2
1的图象相切，由图得当 k 0时，直线 y kx 1与 y f x 的图象有 2个交点．
8 x 8
1
综上所述，实数 k的取值范围是 ,0 e ．
8
9．ACD
答案解析：当 f x 0时， f x 单调递增，由图可知 x 2,1 时， f x 0， f x 单调递增，故 A正确；当 x 1 ,1
2
时， f x 0， f x 8 单调递增；当 x 1, 时， f x 0， f x 单调递减，故 B错误；当 x 3, 2 时， f x 0， f x
3
单调递减；当 x 2,1 时， f x 0， f x 单调递增，所以 f x 在 x 2处取得极小值，故 C正确；当 x 2,1 时，
f x 13 0 f x ， 单调递增；当 x 1, 时， f x 0， f x 单调递减，所以 f x 在 x 1处取得极大值，故3 D正确.
10．ABC
1 1 1
答案解析：对 C:抛物线C : y 2 2x 的焦点为 F( ，0) ，准线为 l : x ，易知Q , 0 ，则 FQ 1，2 C正确；对 D,设
M (x
2 1
, y1)，
2
N (x2 , y2 )，M ， N
1 1
到准线的距离分别为 dM ， dN ，由抛物线的定义可知 |MF | dM x1 ， | NF | d x ，于是2 N 2 2
|MN | |MF | | NF | x o 1 x2 1． PF 3MF ,，则 PM 2 MF 2dM 直线MN的倾斜角为60 或120 ，斜率为 3，因为
FQ 1，故 PQ 3 1 y 3(x
1
，D错误；对 AB: F ( 0) ， 直线 的方程为 )，将 y 3(x
1
)，代入方程 y2 2x，
2 , PF 2 2
5 1 3 5 8 1 2
并化简得12x2 20x 3 0， x1 x2 , x1 , x2 ，于是 |MN | |MF | | NF | x1 x 1 1 ．|MF | d x 3 6 2 2 3 3 M 1 2 3 ,故 AB
正确；
{#{QQABZQyoxgiwgAYACY5KEUGUCUgQkJAQLcoGQVCUKAxrwAFAFIA=}#}
11．ACD
π 2
答案解析：对于 A，根据解析式，可得 y f (x)的初相位为 ，故 A正确；对于 B：若 f (x)的最小正周期为 π，则 ，
3 2
1 1 f (x) sin(2x
π) x π 2
解得 ，故 B正确；对于 C：若 ，则 ，当 时， ，sin 1，所以函数 y f (x)
3 12 12 3 2 2
π π
的图象关于直线 x 对称，故 C正确；对于D：若函数 y f (x)的图象关于直线 x 对称，则 2 k , (k Z )，
12 12 12 3 2
解得 6k 1, (k Z )，又 0，所以 的最小值为 1，故 D正确.
12．6
1
答案解析：由题可知， F1 2,0 ,F2 2,0 ,D的离心率为 2，则C的离心率为 2 ，则 a 4,b 2 3 .根据对称性，不妨设 P在
PF1 PF2 8 PF1 5 2 2 2
第一象限，则 PF PF 2，解得 PF 3，则
PF1 PF2 F1F2 ，所以 PF1F2为直角三角形，则 PF1F2的面积为 1 2 2
1 PF
2 2
F1F2 6 .
13． 3, 1
答案解析：作出函数 f x 的大致图象，如图所示，
令 t f x ，则[ f x ]2 2 m f x 1 m 0可化为 t2 2 m t 1 m t 1 m t 1 0，则 t1 1或 t2 1 m，则关
2
于 x的方程[ f x ] 2 m f x 1 m 0恰有 5个不同的实数解等价于 t f x 的图象与直线 t t1,t t2的交点个数之和
为 5个，由图可得函数 t f x 的图象与直线 t t1的交点个数为 2，所以 t f x 的图象与直线 t t2 的交点个数为 3个，
即此时2 1 m 4，解得 3 < m 1 .
14．180
3 2
答案解析：由题意，派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，第一类有 (C8 1) A2 110
{#{QQABZQyoxgiwgAYACY5KEUGUCUgQkJAQLcoGQVCUKAxrwAFAFIA=}#}
C 4C 4
种；第二类有 8 42 A
2
2 70种，由分类计数原理，可得共有 N 110 70 180种不同的方案.A2
15．
答案解析：（1）因为 3bcosC 3a csinB，所以由正弦定理得 3sinBcosC 3sinA sinCsinB，所以
3sinBcosC 3sin B C sinCsinB， 3sinBcosC 3sinBcosC 3cosBsinC sinCsinB，即 sinCsinB 3sinCcosB．因
2π
为 sinC 0，所以 tan B 3．由于0 B π，所以 B ．3
（2）由余弦定理b2 a2 c2 2accosB，得13 a2 c2 ac 9c2 c2 3c2，解得 c 1或 c 1（舍去）．所以 a 3，所以
ABC S 1 1 3 3 3V 的面积 acsinB 3 1 ．
2 2 2 4
16．
1 1 ax
答案解析：（1）由题意可知：f x 的定义域为 0, ，且 f x a a 0 ，当 a 0时，由于 x 0，所以 f x 0
x x
1 1
恒成立，从而 f x 在 0, 上单调递增；当 a 0时，若0 x 则，f x 0；若 x ，则 f x 0 f x ；可知 在 0,
1
a a a
1
上单调递增，在 ,
上单调递减.综上所述：当 a 0时， f x 的单调递增区间为 0, ，没有单调递减区间；当 a 0
a
f x 0, 1 1 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 , a . a
（2）因为 F x f x g x ln x ax ax ln x, x 0，则 F x alnx ax 1 a axlnx 1 ，若 F x f x g x 在
x x
0, axlnx 1上单调递增，可知 F x 0在 x 0, 上恒成立，即 axlnx 1 0在 x 0, 上恒成立，令
x
h x axlnx 1，则 h x a 1 lnx 1，若 a 0，当 x趋近于 ，可知 h x 趋近于 ；若 a 0，当0 x 时，h x 0；
e
1 1 1 a
当 x
1
时， h x 0；可知 h x 在 0, 内单调递减，在 , 内单调递增，则 h x 的最小值为 h 1 ，可得e e e e e
1 a 0，解得0 a e，所以实数 a的取值范围为 (0,e] .
e
17．
答案解析：（1）因为底面 ABCD是正方形，所以 AD∥BC，因为 BC 平面 PBC，AD 平面 PBC，所以 AD / /平面 PBC．
又因为 AD 平面 ADFE，平面 ADFE 平面 PBC EF，所以 EF∥AD，因为 AD 平面 ABCD，EF 平面 ABCD，所以 EF / /
平面 ABCD．
（2）因为平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD，PA AD，PA 平面 PAD，所以 PA 平面 ABCD，又
由四边形 ABCD为正方形，得 AB AD ．以 A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴建立如图所示
的空间直角坐标系 A xyz，
{#{QQABZQyoxgiwgAYACY5KEUGUCUgQkJAQLcoGQVCUKAxrwAFAFIA=}#}
PE 4 4 4 9 4 则 A 0,0,0 ，B 2,0,0 ， P 0,0,2 ，D 0,2,0 ．由 可得 PE AE AP EB AB AE AE AB AP，EB 5 5 5 5 5
AB 2,0,0 AP 0 0 2 8 10 8又 ， ，， ，则 AE , 0, ，即 E , 0,
10
，又由（1） EF∥AD∥BC，则△PEF △PBC，得
9 9 9 9
4 4 4 8EF BC AD 则 EF AF AE AD AF AE
4 4 8
AD ，因 AD 0, ,0 所以 F ,
8 ,10 ，所以
9 9 9 9 9 9 9 9 9
16 20
DF 8 ,
10
,10 DF PB 9 9 33 ，PB 2,0, 2 ．设异面直线 PB与 DF所成的角为 ，cos ，故异面
9 9 9 DF PB 2 66 66 2 2
9
33
直线 PB与 DF所成角的余弦值为 ．
66
18．
y2
答案解析：（1）解：在双曲线 x2 1中， a 1，b 3，则 c a2 b2 1 3 2，该双曲线的左焦点为F1 2,0 ，3
若直线 l的斜率不存在，则直线 l与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，设直线 l的方程为 y k x 2 ，设点 A x1, y1 、
y k x 2B x2 , y
2 2 2 2
2 ，联立 2 2 可得 k 3 x 4k x 4k 3 0，因为直线 l与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点，
3x y 3
k 2 3 0
所以， Δ 16k 4 4 k 2 3 4k 2 3 36 k 2 1 0 ，解得 3 k 3，因此，直线 l的斜率的取值范围是 3, 3 .
2
x x
4k 3
0
1 2 k 2 3
（2）解：因为 F1B x2 2, y2 ， AB x2 x1, y2 y FB
5 AB y 51 ，由 1 可得 2 y2 y1 ，则 y2 5y1，当直线 l与 x轴重4 4
合时，则点 A 1,0 、B 1,0 ，F1B 3,0 ， AB 2,0 ，此时， F1B
5
AB，不合乎题意，
4
x my 2
设直线 l的方程为 x my 2 m 0 1，联立 2 2 可得 3m2 1 y2 12my 9 0，由（1）可得 k 3,0 0, 33x y 3 ， m
{#{QQABZQyoxgiwgAYACY5KEUGUCUgQkJAQLcoGQVCUKAxrwAFAFIA=}#}
3 3 9 5 4m
2
则m 或m ，由韦达定理可得 y1 y 6y
12m y 2m 22 1 ，则 ， y y 3 3 3m2 1 1 3m2 1 1 2
5y1 ，即 3m2 1 2 2 ，解得3m 1
2m 3 7
m 3 7 1 6 7 ，则 y1 2 ，所以， S AOB S BOF S AOF OF y2 y1 4 y .7 3m 1 10 1 1 2 1 5
19．
答案解析：（1）a 2,b 3,c 4，第一次“和扩充”后得到数列 2,5,3,7, 4，第二次“和扩充”后得到数列 2,7,5,8,3,10,7,11, 4，
P2 9,S2 2 7 5 8 3 10 7 11 4 57 ；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列 a,b,c经过 n次“和扩充”后得到的数列的项数为 Pn，
则经第 n 1 次“和扩充”后增加的项数为 Pn 1，所以 Pn 1 Pn Pn 1 2Pn 1，所以 Pn 1 1 2Pn 2 2 Pn 1 ，其中数
列 a,b,c经过 1次“和扩充”后，得到 a,a b,b,b c,c，故 P1 5， P1 1 4，故 Pn 1 是首项为 4，公比为 2的等比数列，
P 1 4 2n 1 2n 1 P 2n 1所以 n ，故 n 1，则 2n 1 1 2024，即 2n 1 2023，又 n N ，解得 n≥10，
（3）因为 S1 a a b b b c c 2 a 3 b 2 c， S2 S1 3 a 2b c ， S3 S2 32 a 2b c ，依次类推，
S S n 1n n 1 3 a 2b c ，故
Sn Sn 1 3
n 1 a 2b c S n 2n 2 3 a 2b c 3n 1 a 2b c S1 a 2b c 3 32 3n 1
3 1 3n 1 a c
2a 3b 2c a 2b c b 3 n a c ，1 3 2 2
a c a c
0
0
若使 Sn
2 2
为等比数列，则 a c 或 . b 0 b a c 0
2 2
{#{QQABZQyoxgiwgAYACY5KEUGUCUgQkJAQLcoGQVCUKAxrwAFAFIA=}#}绝密★启用前 A 0 B 1 2． ． 2 C． D．12
7．如图，一个三阶魔方由 27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了 45°之后，表面积增加了（ ）
球溪高级中学 2024—2025学年（上）高三期末考试（普通班）
数 学
A．108 72 2 B．81 54 2 C．54 36 2 D．30 18 2
考生注意： ex 1, x 0,
1 ．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 8．已知函数 f x 2 g x kx 1，若关于 x的方程 f x g x 有 2个不相等的实数解，则实
, x 0,
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 x
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。 数 k的取值范围是（ ）
1
写在本试卷上无效。 A． e B． e, 1 C． ,0
e
D． ,
e
8 8
3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回。
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 9．已知函数 f x x 3,5 的导函数为 f x ，若 f x 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
是符合题目要求.
A． f x 在 2,1 上单调递增
1
1．已知集合 A x 2 ，集合 B 2, 1,0,6 ，则 A B （ ）
x B． f x
1 8
在 ,
上单调递减
2 3
A． 6 B． 2, 1 C． 2, 1,6 D． 2, 1,0,6 C． f x 在 x 2处取得极小值
2．已知复数 z1 1 2i ， z 1 3i，则（ ） D． f x 在 x 1处取得极大值2
A 2． z1 z2 B． z1 z2 C． z1 z2 D． z1 z2 10．已知抛物线 y 2x的焦点为 F，准线为 l且与 x轴交于点 Q，P是 l上一点，直线 PF与抛物线交于 M，
3 a 3 , 4 b 1,1 a / /b a b N两点，若．已知向量 ， ，若 ，则 （ ） PF 3MF，则（ ）
24 24 32 32 A． MF
2 8
B． MN
A． B． C． D． 3 3
5 5 5 5
a7 a9
C． FQ 1 D． PQ 2
4．设 Sn为数列 an 的前 n项和，若 Sn 2an 1，则 a 的值为（ ）10 a12
1 11．已知函数 f (x) sin(2 x
π) ( 0)，下列命题正确的是（ ）
A．8 B 4 C 1． ． 4 D．
3
8
5 A．函数 y f (x)
π
的初相位为
．为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了 1000户进行调 3
查，得到其月用水量的平均数为 9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（ ） B．若函数 f (x)的最小正周期为 π，则 2
A．一定为 9吨 B．高于 9吨 C．约为 9吨 D．低于 9吨 πC．若 1，则函数 y f (x)的图象关于直线 x 对称
12
sin π cos π 2 2 cos π sin sin π 6．已知 ，则 （ ） π
5 5 20 20 D．若函数 y f (x)的图象关于直线 x 对称，则 的最小值为 112
数学试题 第 1页（共 4页） 数学试题 第 2页（共 4页）
{#{QQABZQyoxgiwgAYACY5KEUGUCUgQkJAQLcoGQVCUKAxrwAFAFIA=}#}
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 17．（15分）
x2 y2 y2 π12．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)与双曲线D : x
2 1有相同的焦点 F1,F2，且它们的离心率互为倒 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧面 PAD为等腰直角三角形，且 PAD ，a b 3 2
数， P是C与D的一个公共点，则 PFF 的面积为 . F为棱 PC上的点（异于端点），平面 ADF与棱 PB交于点 E．1 2
(1)求证：EF / /平面 ABCD．
4sinπx,0 x 1
13．已知函数 f x x 1 ，若关于 x 2 的方程[ f x ] 2 m f x 1 m 0恰有 5个不同的实2 PE 4 x,x 1 (2)若 ，且平面 PAD 平面 ABCD，求异面直线 PB与 DF所成角的余弦值．EB 5
数解，则实数m的取值范围为 ．
14．某市政府决定派遣 8名干部（5男 3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要
求每组至少 3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有 种.（用数字作答）
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知V ABC的内角A， B，C的对边分别为 a，b， c，且满足 3bcosC 3a csin B． 18．（17分）
y2
(1)求 B； 已知 F1、F2是双曲线 x2 1的左、右焦点，直线 l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线左、右两支分别3
(2)若b 13， a 3c，求V ABC的面积． 相交于A、 B两点.
(1)求直线 l斜率的取值范围；
(2)若F1B
5
AB，求V AOB的面积.
4
16．（15分）
已知函数 f x lnx ax, g x axlnx，其中 a 0 .
19．（17分）
(1)求函数 f x 的单调区间；
定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列
(2)若 F x f x g x 在 0, 上单调递增，求 a的取值范围. 的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列1,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列
1,4,3,5,2,7,5,8,3．设数列 a,b,c经过 n次“和扩充”后得到的数列的项数为 Pn，所有项的和为 Sn．
(1)若 a 2,b 3,c 4，求 P2 ,S2；
(2)求不等式 Pn 2024的解集；
(3)是否存在数列 a,b,c a,b,c R ，使得数列 Sn 为等比数列？请说明理由
数学试题 第 3页（共 4页） 数学试题 第 4页（共 4页）
{#{QQABZQyoxgiwgAYACY5KEUGUCUgQkJAQLcoGQVCUKAxrwAFAFIA=}#}
