江苏省泰州市海陵区 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | > 1}，集合 = { | 2 < < 1}，则 ∩ =( )
A. ( 2, 1) B. ( 1,1) C. ( 1, +∞) D. ( 2, +∞)
2.“2 > 2 ”是“log2 > log2 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若函数 ( ) = 2 + 3在区间( ∞, 2)上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] B. [2, +∞) C. ( ∞, 4] D. [4, +∞)
4.若 的终边与 的终边垂直，且0 < < ，则 =( )
6
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
1 5
5.已知sin( + ) = ，则sin( ) + 2 2
( )的值是( )
6 3 6 3
5 1 5 1+4√ 2
A. B. C. D.
9 9 9 3
6.北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天
发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在
不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 ( / )和燃料的质量 ( )、火箭(除燃料外)的质量 ( )的
函数关系的表达式为 = 2 (1 + )，若火箭的最大速度 达到10 / ，则 的值是( )
A. 5 1 B. 5 1 C. 510 1 D. 105 1
, ≤ 0 11
7.已知定义在 上的函数 ( ) = { ( ), > 0，则 ( )的值是( ) 3
√ 3 1 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
3 1
8.已知 = 24， = 32， = log34， = log45，则 ， ， ， 的大小关系为( )
A. > > > B. > > > C. > > > D. > > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 、 、 、 均为非零实数，则下列一定正确的有( )
2
A. 2 + 2
( + )
≥
2
1
B. | | + ≥ 2
| |
第 1 页，共 6 页
1 1
C. 若 > ，则 <
D. 若 < < 0， < < 0，则 >
10.如图，摩天轮的半径为40 ，其中心 点距离地面的高度为50 ，
摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20 转一圈，若摩天轮上点 的起
始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )
A. 转动10 后点 距离地面10
1
B. 若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
2
C. 第17 和第43 点 距离地面的高度相同
D. 摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于70 的时间为5
11.设定义在 上的函数 ( )满足：①当 < 0时， ( ) < 1；② ( ) + ( ) = ( + ) + 1，则( )
A. (0) = 1 B. ( )为减函数
C. ( ) + ( ) = 2 D. (2 ) + (2 ) ≥ 2 (1)
三、填空题：本题共 3 小题，共 24 分。
2 1
12.已知正实数 ， 满足4 + 7 = 4，则 + 的最小值为______．
+3 2 +
2 + 1, ≤ 0 3
13.设函数 ( ) = { ，则满足 ( ) + ( ) > 3的 的取值范围是______． 3 , > 0 2
1
14.已知函数 ( ) = 9 + 1的零点为 1.若 1 ∈ ( , + 1)( ∈ )，则 的值是______；若函数 ( ) =2
3 + 2的零点为 2，则 1 + 2的值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 ∈ ( , )．
2
(1)化简： √ 1 + tan2 ；
1 1
(2)若 + = ，求 的值．
5
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )的图象关于点( , 0)对称．
12
(1)求 的值；
第 2 页，共 6 页
1
(2)将函数 = ( )的图象向右平移 个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的 倍(纵坐标不
6 2
变)，得到函数 = ( )的图象.当 ∈ [0, ]时，求函数 ( )的值域．
4
17.(本小题12分)
设 ∈ ，集合 = { |关于 的方程 2 + + + 3 = 0无实根)， = { |2 2 2 ≥ 0}．
(1)若 = 2，求 ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
1
设 为实数，已知函数 ( ) = 2 ， ( ) = ( 2) + ． 2
(1)若函数 ( )和 ( )的定义域为[1, +∞)，记 ( )的最小值为 1， ( )的最小值为 2 .当 2 ≤ 1时，求 的
取值范围；
(2)设 为正实数，当 ( ) > 0恒成立时，关于 的方程 ( ( )) + = 0是否存在实数解？若存在，求出此方
程的解；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
若存在实数 ， 使得 ( ) = ( ) + ( )，则称函数 ( )为 ( )， ( )的“ ( , )函数“．
(1)若 ( ) = 为 ( )， ( )的“ (2,1)函数”，其中 ( )为奇函数， ( )为偶函数，求 ( )， ( )的解析
式；
(2)设函数 ( ) = ln( + 1)， ( ) = ，是否存在实数 ， 使得 ( )为 ( )， ( )的“ ( , )函数”，且
同时满足：① ( )是偶函数；② ( )的值域为[ 2, +∞).若存在，请求出 ， 的值；若不存在，请说明理
由．
注： = 2.71828 为自然对数的底数．
第 3 页，共 6 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
9
12.【答案】
4
13.【答案】(1, +∞)
14.【答案】1 2
sin2 cos2 +sin2 1
15.【答案】解：(1) √ 1 + tan2 = √ 1 + 2 = √ 2 = √ ， cos cos cos2
因为 ∈ ( , )，
2
所以 < 0，
1
所以原式= ( ) = 1；
1
(2)因为 + = ，
5
所以( + )2
1 12
= 1 + 2 = ，解得 = ，
25 25
49
所以( )2 = 1 2 = ，
25
因为 ∈ ( , )，
2
所以 > 0， < 0，可得 > 0，
7
所以 = ，
5
7 1
1 ( )( + ) × 7
所以 = = = 5 5 = ．
12 12
25
第 4 页，共 6 页
16.【答案】解：(1)由于函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )的图象关于点( , 0)对称，
12
故有2 × ( ) + = ， ∈ ，即 = + ， ∈ ，∴ = ， ( ) = sin(2 + ).
12 6 6 6
(2)将函数 = ( ) = sin(2 + )的图象向右平移 个单位，可得 = sin(2 )的图象；
6 6 6
1
然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数 = ( ) = sin(4 )的图象．
2 6
5
当 ∈ [0, ]时，4 ∈ [ , ]，
4 6 6 6
1
故当4 = 时，函数 ( )取得最小值为 ；当4 = 时，函数 ( )取得最大值为1，
6 6 2 6 2
1
故函数 ( )的值域为[ , 1]．
2
17【. 答案】解：(1)若关于 的方程 2 + + + 3 = 0无实根，则 = 2 4( + 3) < 0，解得 2 < < 6，
所以集合 = { |关于 的方程 2 + + + 3 = 0无实根} = { | 2 < < 6}，
当 = 2时， = { |2 2 2 4 ≥ 0} = { | ≤ 1或 ≥ 2}，
因此，可得 ∪ = { | 2 < < 6} ∪ { | ≤ 1或 ≥ 2} = ；
(2)由(1)得 = { | 2 < < 6}，
根据题意，可得集合 是集合 的子集，即不等式2 2 2 ≥ 0对任意 ∈ ( 2,6)都成立．
2
2
结合 + 2 > 0，将2 2 2 ≥ 0整理，得 ≤ ，
+2
2 2
( +2) +4 4( +2) 4
因为 = = ( + 2) + 4 ≥ 2√ 4 4 = 0，
+2 +2 +2
2 2
4 2
所以当 + 2 = 时，即 = 0时， 的最小值为0， 的最小值也是0．
+2 +2 +2
因此，不等式2 2 2 ≥ 0对任意 ∈ ( 2,6)都成立时， ≤ 0，实数 的取值范围是( ∞, 0]．
1 1
18.【答案】解：(1)当 ≥ 1时，2 ≥ 2， ≥ ， 2 2
1 3 3
所以 ( ) = 2 ≥ ，当 = 1时取等号，即 1 = ， 2 2 2
当 ≥ 1时， ≥ 0， ( ) = ( 2) + = ( 1)2 + 1，
根据二次函数的性质可知，当 = 1，即 = 时 ( )取得最小值 2 = 1，
3
当 2 ≤ 1时， 1 ≤ ， 2
5
所以 ≤ ，
2
5
故 的取值范围为( ∞, ]；
2
(2)因为 ( ) = ( 2) + = ( 1)2 + 1 > 0恒成立，
第 5 页，共 6 页
所以 1 > 0，即 > 1，
此时2 ( )
1
> 1，0 < ( ) < 1， 2
1
则 ( ( )) + = 2 ( ) ( ) + > 0， 2
所以关于 的方程 ( ( )) + = 0不存在实数解．
19.【答案】解：(1)因为 ( ) = 为 ( )， ( )的“ (2,1)函数”，
所以2 ( ) + ( ) = ①，所以2 ( ) + ( ) = ．
因为 ( )为奇函数， ( )为偶函数，所以 ( ) = ( )， ( ) = ( )．
所以 2 ( ) + ( ) = ②．
1 1
联立①②解得 ( ) = ( )， ( ) = ( + ).
4 2
(2)假设存在实数 ， ，使得 ( )为 ( )， ( )的“ ( , )函数”，
则 ( ) = ( ) + ( ) = ( + 1) + ．
①因为 ( )是偶函数，所以 ( ) = ( )．
+1
即 ( + 1) = ( + 1) + ，即
+ 2 = 0，
+1
整理得(2 + ) = 0．
因为(2 + ) = 0对 ∈ 恒成立，所以 = 2 ．
1
② ( ) = ( + 1) + = 2 ( + 1) + = 2 = 1 ，
( +1) + +2
1 1因为 + + 2 ≥ 4，当且仅当
= ，即 = 0时取等号．
1 1
所以ln 1 ≤ ln = 2 2，
+ +2 4
由于 ( )的值域为[ 2, +∞)，
所以 < 0，且 2 = 1．
1
又因为 = 2 ，所以 = 1， = ，
2
1
综上，存在 = 1， = 满足要求．
2
第 6 页，共 6 页
