浙江省宁波市镇海区仁爱中学2024-2025学年上学期八年级数学期末试卷
一、单选题
1．下列图形中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列能够说明“设a，b是任意非零实数，若，则”是假命题的一组整数a，b的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
6．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B． C．1或 D．2或
7．如图，，，再添加一个条件仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点是轴上的点，则点的坐标可以是 ．（写出一个即可）
12．满足不等式的最小整数解为 ．
13．如图，点在的延长线上，于点，若，，则的度数是 ．
14．已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是______________．
15．已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为 ．
16．如图，在中，，边上有一点，过点作的垂线交延长线于点．若，则 ．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）解不等式组：．
（3）解方程：．
18．已知一次函数的图象经过点．
(1)求此一次函数的表达式．
(2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由．
19．如图，已知为延长线上一点，，．
(1)求证：．
(2)连接交于点F，若，，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，直线．
(1)在图中画出关于直线l的轴对称图形．
(2)的面积为______．
(3)连结为直线l上一点，且和的面积相等，请直接写出点P的坐标．
21．如图，在中，于点，点E在上，，连结．M，N分别是的中点，连结．
(1)求证：．
(2)求证：是等腰直角三角形．
(3)若，求的长．
22．为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元．
(1)求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？
(2)为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？
(3)为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系．
23．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示，光滑桌面长为．小球P与木块Q同时从点A出发向B沿直线路径始终保持匀速运动（小球P和木块Q大小厚度忽略不计），速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与t的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题．
(1)小球P第一次到达挡板l的时间是_____s，小球P的速度为_____，木块Q的速度为_____．
(2)小球P第一次从挡板l返回到与木块Q第一次相遇（实验开始时小球和木块在同一起点，不视为相遇），求出该过程中y关于t的函数关系式．
(3)若小球P每一次反弹后的速度与第一次弹回时的速度保持一致，在整个运动过程中，当小球P与木块Q距离为时，直接写出t的值．
24．如图，已知中，，D为边上一点，，E为三角形外一点，交于点．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
(3)当为直角三角形时，求的值．
(4)若，直接写出的面积．
试卷第1页，共3页
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《浙江省宁波市镇海区仁爱中学2024-2025学年上学期八年级数学期末试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C C A B C C B D
1．D
【难度】0.85
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2．A
【难度】0.85
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．
【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
3．C
【难度】0.85
【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，除法运算及二次根式的性质，根据运算法则逐一计算即可判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项正确；
D、，所以D选项错误．
故选：C．
4．C
【难度】0.85
【知识点】举例说明假（真）命题
【分析】本题考查了举例说明真假命题，举反例说明一个命题是假命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．根据题意逐一判断出一组，的值能够说明“若，则”是假命题即可．
【详解】解：A、当，时，则，不符合题意；
B、当，时，可得出，则，不能说明是假命题，
C、当，时，可得出，则，能说明是假命题，
D、当，时，则，不符合题意；
故选：C．
5．A
【难度】0.85
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查象限点的坐标特征．根据第二象限的点：横坐标为负，纵坐标为正，可得到关于m的不等式组，即可求解．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得：，
则m的值可能为．
故选：A．
6．B
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴且，
∴，
故选：B．
7．C
【难度】0.85
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】根据题意得到，证明，结合，再分别对每个选项进行判断即可．
【详解】解：，
，
，
又，
当，，故选项A不符合题意；
当，，故选项B不符合题意；
当，不能判断，故选项C符合题意；
当，，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答此题的关键是明确全等三角形的判定方法．
8．C
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】先根据函数为减函数判断出k＜0，再根据kb＞0判断出b＜0，再根据一次函数图象的特点解答即可．
【详解】解：∵一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵kb＞0，∴b＜0，
∴函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
【点睛】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限．
9．B
【难度】0.85
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
设，
∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，
∴，
∵，
在中，，即
解得：
即线段的长为
故选：B．
10．D
【难度】0.4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求两点距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平移的性质求解
【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，，则，
，则，
设，
∵
∴
∴
即到和的距离的和
如图所示，作关于轴的对称点
∴ 的长为的最小值，最小值为．
故选：D ．
【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键．
11．
【难度】0.85
【知识点】坐标与图形
【分析】此题考查了点的坐标．根据轴上的点的纵坐标为0即可求解此题．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点是轴上的点，
则点的坐标可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【难度】0.85
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出最小整数解即可．
【详解】解：，
∴，
解得：，
所以最小整数解是，
故答案为：．
13． /度
【难度】0.85
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，根据垂直定义得出，根据三角形内角和定理得出，，再根据三角形的外角性质得出即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
14．
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握本一次函数性质是解题的关键．根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大可得答案．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴y随着x的增大而增大．
∵一次函数的图象过点，，，
∴，
故答案为：．
15．
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定；分为腰和底两种情况分别讨论，即可求解．
【详解】解：当为腰时，如图所示，
依题意，
∴
∴等腰是等边三角形，
∴
当为底时，如图所示，
依题意，，，
∴
∴等腰是等边三角形，
∴，
综上所述，边的长为，
故答案为：．
16．
【难度】0.4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、公式法解一元二次方程
【分析】延长交于点，根据已知条件证明，进而得出，，设，则，勾股定理表示出的关系，进而根据在中，，勾股定理求得的值，根据，代入数据，进行计算即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴即，
在中，
∴
∴，，
设，则
在中，
在中，
∴，即
在中，，
∴
∴即
解得：（负值舍去）
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
17．（1）；（2）；（3），
【难度】0.65
【知识点】二次根式的混合运算、解一元二次方程——配方法、求不等式组的解集
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程和解不等式组．
（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）根据题意分别解出两个不等式，并取其公共部分即可；
（3）由题意直接利用配方法进行解方程即可得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解不等式组：
解不等式①，得，
不等式②，得，
∴不等式组解集是；
（3）解方程：，
，
，
，
，
，．
18．(1)一次函数表达式为；
(2)点在该函数图象上，理由见解析．
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）把代入（）得到的函数表达式中，求出的值，与点的纵坐标比较即可判断；
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：把点代入得：，
解得，
故所求一次函数表达式为；
（2）解：当时，，
故点在该函数图象上．
19．(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先得到，然后根据，即可证明出；
（2）首先画出图形，由得到，然后根据三角形内角和定理求解出，进而得到，再求出，根据，结合三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质得到即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)
(3)或
【难度】0.65
【知识点】一次函数与几何综合、画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查作图轴对称变换三角形的面积等知识，一次函数的应用．
（1）分别作出点，关于直线l对称的点，依次连接点即可；
（2）利用割补法计算即可；
（3）由（1）（2）可得的面积为，求出直线的解析式，过点P作轴的垂线交直线于点D，设，求出，进而求出，根据三角形面积公式构建方程求解即可．
【详解】（1）解：作出点，关于直线l对称的点，
如图所示依次连接点．
（2）解：的面积为：；
（3）解：由（1）（2）可得的面积为，
∴的面积为，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴的垂线交直线于点D，设，
令，则，
∴，
∴，
，
，
或，
综上，点P的坐标或．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）利用证明即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，和斜边上的中线，得到，即可得证；
（3）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（2）证明∵，
∴，，
∵M，N分别是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知：，是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，斜边上的中线，勾股定理．掌握相关性质是解题的关键．
22．(1)每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元
(2)共有8种购买方案
(3)
【难度】0.65
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减中的无关型问题，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
（1）设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，根据总费用和绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的建立不等式组，解不等式组即可得；
（3）设购买总费用为元，则，再根据（2）中的所有购买方案费用相同可得含的项的系数等于0，由此即可得．
【详解】（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，
由题意得：，
解得，
答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元．
（2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，
由题意得：，
解得，
为正整数，
可能为23，24，25，26，27，28，29，30，
答：共有8种购买方案．
（3）解：设购买总费用为元，
则，
∵（2）中的所有购买方案费用相同，
，
．
23．(1)，，
(2)
(3)或
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，故可判断得解；
（2）依据题意，观察函数图象，得到当a秒时，小球P与木块Q所运动的距离为桌面长的2倍，结合（1）中小球P与木块Q的速度，列式先求出a的值，利用待定系数法即可解答；
（3）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（2）中解析式计算即可．
【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得，
小球P第一次到达挡板l的时间是，
∴小球P的速度为，
由题意，，
又，
∴；
故答案为：24，10，6；
（2）解：由题意，，
设小球P第一次返回时，，
将，代入得，，
解得，
∴；
（3）解：由题意，设小球P运动前的函数关系式为，
∵函数过，
∴，
∴，
∴此时函数为，
又令，
∴，
又当小球运动到后，结合（2）函数关系式为，
∴令，
解得，
综上，当小球P与木块Q距离为时，或．
24．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【难度】0.15
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）设，则，则，再由互余得到，即可求解；
（2）由得到，再由即可证明；
（3）导角证明，则当为直角三角形，只能是，故为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，过点作于点，不妨设，则由勾股定理得：，均为等腰直角三角形，则，由（1）得，那么，则，再由三角形面积公式求解；
（4）过点作于点，导角得，则，设，则，，，由勾股定理得，，利用平方根定义解得，那么，设，则，由勾股定理得解得：，则，再由求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：由（1）得，，
∵，
∴；
（3）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴当为直角三角形，只能是，
∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，
过点作于点，
不妨设，则由勾股定理得：，
∵，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴；
（4）解：过点作于点，如图：
由（2）得，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
由（2）得，
∴，
∴由勾股定理得，，
∴
整理得：，
∴，
解得：或（舍），
∴，
∴，
设，则，
∴由勾股定理得，，
∴
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和、外角定理等知识点，难度较大，对角度推导能力要求很高．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
