13.3.1 空间图形的表面积
［学习目标］ 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.
一、多面体的侧面积和表面积
问题1 我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，多面体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的展开图是什么样子的？
知识梳理
1.几种特殊的多面体
(1)直棱柱：侧棱和底面 的棱柱.
(2)正棱柱：底面为 的直棱柱.
(3)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是 ，那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形.
(4)正棱台：正棱锥被 所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台.
2.几种特殊的多面体的表面积
多面体 图形 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧= (c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高). S表=S侧+2S底
正棱锥 S正棱锥侧=ch'(c为正棱锥的底面周长，h'为斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)). S表=S侧+S底
正棱台 S正棱台侧=(c+c')h'(c'，c分别为正棱台的上、下底面的周长，h'为斜高). S表=S侧+S上底+S下底
例1 正四棱台两底面边长分别为a和b(a
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
延伸探究 若正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长.
反思感悟 (1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长、高、斜高、侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数.
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到.
跟踪训练1 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.
二、旋转体的侧面积和表面积
问题2 如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？
问题3 如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
问题4 如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
知识梳理
圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 图形 表面积公式
圆柱 底面积：S底= ， 侧面积：S侧=cl= ， 表面积：S表=
圆锥 底面积：S底= ， 侧面积：S侧=cl= ， 表面积：S表=
圆台 上底面面积：S上底= ，下底面面积：S下底= ，侧面积：S侧=(c+c')l= ， 表面积：S表=
例2 如图，△ABC的三边长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.
延伸探究 如图，本例若改为以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.
跟踪训练2 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是 cm2.(结果中保留π)
三、简单组合体的表面积
例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2，π取3.14)
跟踪训练3 如图所示的空间图形是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后空间图形的表面积是多少？(π取3.14)
1.知识清单：
(1)柱体、锥体、台体的侧面积和表面积.
(2)组合体的表面积.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：平面图形与空间图形的切换不清楚.
1.棱长均为1的三棱锥的表面积S为( )
A.3 B.2 C. D.4
2.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于( )
A.6 B.6π
C.3π D.6π
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π C.8π D.10π
4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为 cm2.
答案精析
问题1
知识梳理
1.(1)垂直 (2)正多边形 (3)底面中心
(4)平行于底面的平面 2.ch
例1 解 (1)如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高.
由题意知∠C1CO=45°，CE=CO-EO=CO-C1O1=(b-a).
在Rt△C1CE中，C1E=CE=(b-a)，
又在Rt△CEF中，EF=CE·sin 45°=(b-a)，
∴C1F=
= =(b-a).
∴S侧=(4a+4b)×(b-a)
=(b2-a2).
(2)∵S侧=S底，S底=a2+b2，
∴4·(a+b)·h斜=a2+b2，
∴h斜=.
又由(1)得EF=，
∴h= =.
延伸探究 解 如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x+10)cm，
在Rt△E1FE中，
EF==5(cm).
∵E1F=12 cm，∴斜高E1E
==13(cm).
∴S侧=4×(x+x+10)×13
=52(x+5)，
S表=52(x+5)+x2+(x+10)2
=2x2+72x+360.
∵S表=512 cm2，
∴2x2+72x+360=512，
解得x=-38(舍去)或x=2.
∴x+10=12.
∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm，12 cm.
跟踪训练1 解 如图，设PO=3，PE是斜高，
∵S侧=2S底，
∴4××BC×PE=2BC2，
∴BC=PE.在Rt△POE中，PO=3，
OE=BC=PE，
∴9+=PE2，
∴PE=2.
∴S底=BC2=PE2=(2)2=12，
S侧=2S底=2×12=24，
∴S表=S底+S侧=12+24=36.
问题2 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线)，如图所示.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l).
问题3 圆锥的侧面展开图是一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，如图所示.侧面展开图扇形的面积为×2πrl=πrl，所以S圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
问题4 圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图可得=，解得x=l，S扇环=S大扇形-S小扇形=(x+l)×2πR-x·2πr=π［(R-r)x+Rl］=π(r+R)l，所以S圆台侧=π(r+R)l，S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).
知识梳理
2πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl
πr(r+l) πr'2 πr2 π(r+r')l π(r'2+r2+r'l+rl)
例2 解 在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5知，AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC，
那么△ABC以AC所在直线为轴旋转一周所得旋转体是一个圆锥，且底面半径r=BC=4，母线l=AB=5.
所以S表=πr(r+l)=π×4×(4+5)=36π.
延伸探究 解 在△ABC中，
由AC=3，BC=4，AB=5知，
AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC.
所以CD=，记为r=，
那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r=，
母线长分别是AC=3，BC=4，
所以S表=πr·(AC+BC)=π××(3+4)=π.
所以旋转体的表面积是π.
跟踪训练2 1 100π
例3 解 上部分圆锥体的母线长为 m，
其侧面积为S1=π××(m2).
下部分圆柱体的侧面积为S2=π×5×1.8(m2).
∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
S=S1+S2=π××+π×5×1.8
≈50.03(m2).
跟踪训练3 解 因为正方体的棱长为4 cm，而洞深只有1 cm，所以正方体没有被挖透，这样一来挖洞后所得空间图形的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
正方体的表面积为4×4×6=96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后空间图形的表面积约为
96+6.28=102.28(cm2).
随堂演练
1.C 2.C 3.B 4.112或72(共76张PPT)
13.3.1
第13章
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空间图形的表面积
1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.
2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
3.培养空间想象能力和思维能力.
学习目标
前面我们已经学习了简单空间图形(柱、锥、台、球)的有关概念和结构特征，这节课我们将学习简单空间图形的表面积，表面积是指空间图形表面的面积，怎样计算简单空间图形的表面积呢？
导 语
一、多面体的侧面积和表面积
二、旋转体的侧面积和表面积
课时对点练
三、简单组合体的表面积
随堂演练
内容索引
多面体的侧面积和表面积
一
提示
我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，多面体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的展开图是什么样子的？
问题1
1.几种特殊的多面体
(1)直棱柱：侧棱和底面 的棱柱.
(2)正棱柱：底面为 的直棱柱.
(3)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是_________，那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形.
(4)正棱台：正棱锥被 所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台.
垂直
正多边形
底面中心
平行于底面的平面
2.几种特殊的多面体的表面积
多面体 图形 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧= (c为直棱柱的底面周
长，h为直棱柱的高).
S表=S侧+2S底
正棱锥 S正棱锥侧=ch'(c为正棱锥的底面周长，h'为斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)).
S表=S侧+S底
ch
多面体 图形 表面积公式
正棱台 S正棱台侧=(c+c')h'(c'，c分别为正棱台的上、下底面的周长，h'为斜高).
S表=S侧+S上底+S下底
(1)正棱台的侧面积公式可类比梯形的面积公式记忆.
(2)一般的棱柱、棱锥和棱台，求侧面积时要注意柱体、锥体、台体的几何特征，应分别计算出各个侧面的面积，再求和，必要时要展开.
注 意 点
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正四棱台两底面边长分别为a和b(a
例 1
如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高.
由题意知∠C1CO=45°，
CE=CO-EO=CO-C1O1=(b-a).
在Rt△C1CE中，C1E=CE=(b-a)，
又在Rt△CEF中，EF=CE·sin 45°=(b-a)，
∴C1F===(b-a).
∴S侧=(4a+4b)×(b-a)=(b2-a2).
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
∵S侧=S底，S底=a2+b2，
∴4·(a+b)·h斜=a2+b2，
∴h斜=.
又由(1)得EF=，
∴h==.
若正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长.
延伸探究
如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x+10)cm，
在Rt△E1FE中，
EF==5(cm).
∵E1F=12 cm，
∴斜高E1E==13(cm).
∴S侧=4×(x+x+10)×13=52(x+5)，
S表=52(x+5)+x2+(x+10)2
=2x2+72x+360.
∵S表=512 cm2，
∴2x2+72x+360=512，
解得x=-38(舍去)或x=2.
∴x+10=12.
∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm，12 cm.
(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长、高、斜高、侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数.
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到.
反
思
感
悟
已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.
跟踪训练 1
如图，设PO=3，PE是斜高，
∵S侧=2S底，
∴4××BC×PE=2BC2，
∴BC=PE.
在Rt△POE中，PO=3，OE=BC=PE，
∴9+=PE2，
∴PE=2.
∴S底=BC2=PE2=(2)2=12，
S侧=2S底=2×12=24，
∴S表=S底+S侧=12+24=36.
二
旋转体的侧面积和表面积
提示 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线)，如图所示.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l).
如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？
问题2
提示 圆锥的侧面展开图是一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，如图所示.侧面展开图扇形的面积为×2πrl=πrl，所以S圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
问题3
提示 圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图可得=，解得x=l，S扇环=S大扇形-S小扇形=(x+l)×2πR-x·2πr=π[(R-r)x+Rl]=π(r+R)l，所以S圆台侧=π(r+R)l，S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).
如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
问题4
圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 图形 表面积公式
圆柱 底面积：S底=_____，
侧面积：S侧=cl=_____，
表面积：S表=________
圆锥 底面积：S底=____，
侧面积：S侧=cl=____，
表面积：S表=_______
2πr2
2πrl
2πr(r+l)
πr2
πrl
πr(r+l)
旋转体 图形 表面积公式
圆台 上底面面积：S上底=_____，下底面面积：
S下底=____，侧面积：S侧=(c+c')l=_______，
表面积：S表=_____________
πr'2
πr2
π(r+r')l
π(r'2+r2+r'l+rl)
(1)圆锥的侧面积公式可类比三角形的面积公式来记.
(2)圆台的侧面积公式可类比梯形的面积公式来记.
注 意 点
<<<
如图，△ABC的三边长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.
例 2
在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5知，
AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC，
那么△ABC以AC所在直线为轴旋转一周所得旋转体是一个圆锥，且底面半径r=BC=4，母线l=AB=5.
所以S表=πr(r+l)=π×4×(4+5)=36π.
如图，本例若改为以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.
延伸探究
在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5知，
AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC.
所以CD=，记为r=，
那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是
两个同底的圆锥，且底面半径r=，
母线长分别是AC=3，BC=4，
所以S表=πr·(AC+BC)=π××(3+4)=π.
所以旋转体的表面积是π.
反
思
感
悟
(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底面半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面.
(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积.
(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.
圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是 cm2.(结果中保留π)
跟踪训练 2
1 100π
如图所示，
设圆台的上底面周长为c cm，上、下底面半径分别为r1，r2，
因为扇环的圆心角是180°，
故c=π×SA=2π×10，所以SA=20(cm).
同理可得SB=40(cm).
所以AB=SB-SA=20(cm)，
所以S表=S侧+S上+S下=π(r1+r2)×AB+π+π
=π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.
简单组合体的表面积
三
牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2，π取3.14)
例 3
上部分圆锥体的母线长为 m，
其侧面积为S1=π××(m2).
下部分圆柱体的侧面积为S2=π×5×1.8(m2).
∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
S=S1+S2=π××+π×5×1.8≈50.03(m2).
反
思
感
悟
(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成，然后再根据条件求各个空间图形的基本量，注意方程思想的应用.
(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有.
如图所示的空间图形是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后空间图形的表面积是多少？(π取3.14)
跟踪训练 3
因为正方体的棱长为4 cm，而洞深只有1 cm，所以正方体没有被挖透，这样一来挖洞后所得空间图形的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
正方体的表面积为4×4×6=96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后空间图形的表面积约为
96+6.28=102.28(cm2).
1.知识清单：
(1)柱体、锥体、台体的侧面积和表面积.
(2)组合体的表面积.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：平面图形与空间图形的切换不清楚.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.棱长均为1的三棱锥的表面积S为
A.3 B.2
C. D.4
√
S=4×××1=.
1
2
3
4
2.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于
A.6
B.6π
C.3π
D.6π
√
∵圆台的母线长为=，
∴S圆台侧=π(1+2)×=3π.
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A.12π B.12π
C.8π D.10π
1
2
3
4
√
因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2 ×π×()2+2π××2=12π.
1
2
3
4
4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为 cm2.
112或72
设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm，
则
解得
∴S侧=4×4×7=112(cm2)或S侧=4×6×3=72(cm2).
课时对点练
五
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B AB C A 2∶1 π
题号 11 12 13 14 15
答案 D B A 36 20 224π
1
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
如图所示，所得几何体的表面积为S=S底+S柱侧+S锥侧
=π()2+2π·×+π·×3
=(3+6+3)π(cm2).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
10.
如图，设O，O1分别是两底面的中心，
则OO1是高，E，E1分别是其所在边的中点，
则EE1是斜高，过E1作E1F⊥OE于F.
在Rt△E1FE中，
EE1==
==20(mm).
答案
1
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3
4
5
6
7
8
9
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15
16
10.
∴S正棱台侧=4××(440+80)×20≈279 968(mm2).
故制造该下料斗约需铁板279 968 mm2.
答案
1
2
3
4
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16
16.
如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h'.
过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，
则SE⊥AB，SE=h'.
∵S侧=2S底，
∴3×a×h'=a2×2，
∴a=h'.
∵SO⊥OE，∴在Rt△SEO中，SO2+OE2=SE2，
答案
1
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15
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16.
∴32+=h'2，
∴h'=2，∴a=h'=6.
∴S底=a2=×62=9，S侧=2S底=18，
∴S表=S侧+S底=18+9=27.
答案
1
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3
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5
6
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15
16
基础巩固
1.若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为
A.π B.2π
C.3π D.4π
√
设圆锥的母线长为l，则l==2，
所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.
答案
2.已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为
A.6 B.12
C.24 D.48
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√
正四棱锥的斜高h'==4，
S侧=4××6×4=48.
答案
3.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D. cm
√
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S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π，
∴r2=4，∴r=2.
答案
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分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm2，36π cm2.
4.(多选)以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为
A.64π cm2 B.36π cm2
C.54π cm2 D.48π cm2
√
√
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5.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为
A.81π B.100π
C.168π D.169π
√
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圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，
则它的母线长为l===5r=10，
所以r=2，R=8.
故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π，
S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.
答案
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6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为
A.160 B.80
C.100 D.120
√
设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，所以=152-52，=92-52.
又+=4a2，即152-52+92-52=4a2，
所以a=8，所以S侧=ch=4×8×5=160.
答案
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S圆柱=2·π·+2π··a=πa2，
S圆锥=π·+π··a=πa2，
∴S圆柱∶S圆锥=2∶1.
7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为 .
2∶1
答案
8.如果圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 .
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π
设圆锥底面半径为r，母线长为l，
则πrl+πr2=3πr2，得l=2r，
所以侧面展开得到的扇形半径为2r，弧长为2πr，
所以扇形的圆心角为=π.
答案
9.在底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.
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如图所示，所得几何体的表面积为S=S底+S柱侧+S锥侧
=π()2+2π·×+π·×3
=(3+6+3)π(cm2).
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10.如图，粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算制造该下料斗所需的铁板的面积(厚度不计，参考数据：≈13.46).
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如图，设O，O1分别是两底面的中心，
则OO1是高，E，E1分别是其所在边的中点，
则EE1是斜高，过E1作E1F⊥OE于F.
在Rt△E1FE中，EE1=
==
=20(mm).
∴S正棱台侧=4××(440+80)×20≈279 968(mm2).
故制造该下料斗约需铁板279 968 mm2.
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11.设圆柱的一个底面面积为S，若其侧面展开图为一个正方形，则这个圆柱的侧面积为
A.πS B.2πS
C.3πS D.4πS
√
综合运用
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设圆柱的底面半径为r，则有πr2=S，
所以r=，
所以底面圆的周长为2π，
又因为展开图为正方形，
所以这个圆柱的侧面积为=4πS.
答案
12.如图，已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积的比值是
A. B.
C. D.
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√
设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D-A1BC1的棱
长为，表面积为4×××sin 60°=2，
∴正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积的比值是.
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13.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
√
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如图，PA，PB，PC两两垂直且PA=PB=PC，
△ABC为等边三角形，AB=a，
∴PA=PB=PC=a，
∴表面积为×a2+××3=a2+a2=a2.
答案
14.有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为 .
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36
易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，
∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.
∴该空间图形的表面积为36.
答案
15.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为 cm，表面积等于 cm2.
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拓广探究
20
224π
答案
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积
S圆=πl2.
又圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=8πl.
∵圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，
∴πl2=2.5×8πl，
∴l=20(cm).
圆锥的表面积S表=S圆锥侧+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).
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16.如图，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3，求此正三棱锥的表面积.
答案
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如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h'.
过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，
则SE⊥AB，SE=h'.
∵S侧=2S底，
∴3×a×h'=a2×2，
∴a=h'.
∵SO⊥OE，
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∴在Rt△SEO中，SO2+OE2=SE2，
∴32+=h'2，
∴h'=2，∴a=h'=6.
∴S底=a2=×62=9，S侧=2S底=18，
∴S表=S侧+S底=18+9=27.
答案13.3.2 空间图形的体积
［学习目标］ 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积.
一、柱体、锥体、台体的体积公式
问题1 正方体、长方体和圆柱的体积公式是什么？它们能否统一为一个公式？
知识梳理
1.柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体的体积公式： (S为底面积，h为高).
(2)锥体的体积公式：V锥体=Sh(S为底面积，h为高).
(3)台体的体积公式：V台体=h(S++S')(S'，S分别为上、下底面面积，h为高).
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体=ShV台体=h(S++S')V锥体=Sh.
例1 (1)棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是( )
A.18+6 B.6+2 C.24 D.18
(2)把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为 .
(3)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.
①求剩余部分的体积；
②求三棱锥A-A1BD的体积及高.
跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD'，求棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比.
(2)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为 .
二、球的表面积和体积
问题2 设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的表面积公式吗？
知识梳理
球的表面积和体积公式
(1)球的表面积公式：S球面=4πR2(R为球的半径).
(2)球的体积公式：V球=πR3.
例2 已知一个球的表面积是16π，则它的体积是( )
A.64π B. C.32π D.
跟踪训练2 已知球的体积为，求它的表面积.
三、球的截面问题
问题3 用一个平面去截球，截面图形是什么？
知识梳理
球的截面的特点
(1)球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任意截面均为圆面.
(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
例3 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球的表面积与球的体积.
反思感悟 球的截面问题的求解方法
有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2=d2+r2.用方程思想求未知线段的长.
跟踪训练3 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积.
四、简单组合体的体积
例4 如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此空间图形的体积.
跟踪训练4 已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是 ，表面积是 .
1.知识清单：
(1)柱体、锥体、台体的体积公式.
(2)球的表面积和体积.
(3)球的截面问题
(4)简单组合体的体积.
2.方法归纳：公式法、等积法、补体法、分割法.
3.常见误区：平面图形与空间图形切换不清楚.
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )
A.2π B.
C. D.
4.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是 cm.
答案精析
问题1 V正方体=a3，V长方体=abc，V圆柱=πr2h=Sh，它们可以统一为一个公式V柱体=Sh.
知识梳理
1.(1)V柱体=Sh
例1 (1)B (2)或
(3)解 ①
=S△ABD·A1A
=×·AB·AD·A1A=a3.
故剩余部分的体积
V=V正方体-
=a3-a3=a3.
②==a3.
设三棱锥A-A1BD的高为h，
则=··h
=×××(a)2h=a2h，
故a2h=a3，解得h=a.
跟踪训练1 (1)解 方法一 设AB=a，AD=b，DD'=c，
则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc，又S△A'DD'=bc且三棱锥C-A'DD'的高为CD=a，
所以V三棱锥C-A'DD'=S△A'DD'·CD=abc.
则剩余部分的几何体体积
V剩=abc-abc=abc.
故V棱锥C-A'DD'∶V剩=abc∶abc=1∶5.
方法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD'A'-BCC'B'，
设它的底面ADD'A'面积为S，高为h，
则它的体积为V=Sh.
而棱锥C-A'DD'的底面面积为S，高为h，
因此棱锥C-A'DD'的体积
VC-A'DD'=×Sh=Sh，
剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh=1∶5.
(2)21π
解析 设上、下底面半径、母线长分别为r，R，l.
如图，作A1D⊥AB于点D，则A1D=3，∠A1AB=60°，
又∠BA1A=90°，∴∠BA1D=60°，
∴AD==，∴R-r=.
BD=A1D·tan 60°=3，
∴R+r=3，
∴R=2，r=，而h=3.
∴V圆台=πh(R2+Rr+r2)
=π×3×［(2)2+2×+()2］=21π.∴圆台的体积为21π.
问题2 能，分割，求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的表面积公式.
例2 D
跟踪训练2 解 设球的半径为R，则πR3=，解得R=5，所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.
问题3 截面为圆面.
例3 解 如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，
由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心.
设M是AB的中点，由于AC=BC，
则O1∈CM.设O1M=x，
易知O1M⊥AB，
则O1A=，
O1C=CM-O1M=-x.
又O1A=O1C，∴=-x，解得x=.
∴O1A=O1B=O1C=.
在Rt△OO1A中，O1O=，
∠OO1A=90°，OA=R，
由勾股定理得+=R2，
解得R=，
则S球=4πR2=54π，V球=πR3=27π.
跟踪训练3 解 当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，
图(1)
则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R cm，
∵π·O2B2=49π，
∴O2B=7(cm).
同理，得O1A=20(cm).
设OO1=x cm，则OO2=(x+9)cm.
在Rt△O1OA中，R2=x2+202， ①
在Rt△OO2B中，R2=72+(x+9)2， ②
联立①②可得x=15，R=25.
∴S球=4πR2=2 500π(cm2)，
故球的表面积为2 500π cm2.
当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，
图(2)
则OO1⊥O1A，
OO2⊥O2B.
设球的半径为R cm，
∵π·O2B2=49π，∴O2B=7(cm).
∵π·O1A2=400π，
∴O1A=20(cm).
设O1O=x cm，则OO2=(9-x)cm.
在Rt△OO1A中，R2=x2+400.
在Rt△OO2B中，R2=(9-x)2+49.
∴x2+400=(9-x)2+49，
解得x=-15，不符合题意，舍去.
综上所述，球的表面积为2 500π cm2.
例4 解 V六棱柱=×42×6×2
=48(cm3)，
V圆柱=π×32×3=27π(cm3)，
V挖去圆柱=π×12×(3+2)=5π(cm3)，
∴此空间图形的体积V=V六棱柱+V圆柱-V挖去圆柱=(48+22π) cm3.
跟踪训练4 90 138
随堂演练
1.B 2.A 3.B 4.4(共81张PPT)
13.3.2
第13章
<<<
空间图形的体积
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积.
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.
3.会求简单组合体的体积.
学习目标
埃及的金字塔是世界的一大奇观，在生产工具落后的时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的金字塔，这真是一个十分难解的谜，若某金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长100 m，塔高50 m，你能计算出此金字塔的体积吗？
导 语
一、柱体、锥体、台体的体积公式
二、球的表面积和体积
课时对点练
三、球的截面问题
随堂演练
内容索引
四、简单组合体的体积
柱体、锥体、台体的体积公式
一
提示 V正方体=a3，V长方体=abc，V圆柱=πr2h=Sh，它们可以统一为一个公式V柱体=Sh.
正方体、长方体和圆柱的体积公式是什么？它们能否统一为一个公式？
问题1
1.柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体的体积公式： (S为底面积，h为高).
(2)锥体的体积公式：V锥体=Sh(S为底面积，h为高).
(3)台体的体积公式：V台体=h(S++S')(S'，S分别为上、下底面面积，h为高).
V柱体=Sh
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体=Sh V台体=h(S++S') V锥体=Sh.
(1)柱体的体积仅与它的底面积和高有关系，与柱体是直棱柱、圆柱还是斜棱柱均没有关系.
(2)棱柱的体积与直截面(垂直于侧棱的截面)面积之间的关系为：V棱柱=S直截面l(l为棱柱的侧棱长).
注 意 点
<<<
(1)棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是
A.18+6 B.6+2
C.24 D.18
例 1
√
V=(S++S')h=×(2++4)×3=6+2.
(2)把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积
为 .
设圆柱的底面半径为r，母线长为l，
则①当2πr=6时，r=，l=3，所以V圆柱=πr2·l=π··3=.
②当2πr=3时，r=，l=6，所以V圆柱=πr2·l=π··6=.
所以所求圆柱的体积为.
或
(3)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.
①求剩余部分的体积；
=S△ABD·A1A=×·AB·AD·A1A=a3.
故剩余部分的体积V=V正方体-=a3-a3=a3.
②求三棱锥A-A1BD的体积及高.
==a3.
设三棱锥A-A1BD的高为h，
则=··h=×××(a)2h=a2h，
故a2h=a3，解得h=a.
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.
(4)分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积.
提醒：求空间图形的体积时，要注意利用好空间图形的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出空间图形的高和底面积.
求空间图形体积的常用方法
反
思
感
悟
(1)如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD'，求棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比.
跟踪训练 1
方法一 设AB=a，AD=b，DD'=c，
则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc，
又S△A'DD'=bc且三棱锥C-A'DD'的高为CD=a，
所以V三棱锥C-A'DD'=S△A'DD'·CD=abc.
则剩余部分的几何体体积
V剩=abc-abc=abc.
故V棱锥C-A'DD'∶V剩=abc∶abc=1∶5.
方法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD'A'-BCC'B'，
设它的底面ADD'A'面积为S，高为h，
则它的体积为V=Sh.
而棱锥C-A'DD'的底面面积为S，高为h，
因此棱锥C-A'DD'的体积
VC-A'DD'=×Sh=Sh，
剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh=1∶5.
(2)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为 .
21π
设上、下底面半径、母线长分别为r，R，l.
如图，作A1D⊥AB于点D，则A1D=3，∠A1AB=60°，
又∠BA1A=90°，∴∠BA1D=60°，
∴AD==，∴R-r=.
BD=A1D·tan 60°=3，
∴R+r=3，
∴R=2，r=，而h=3.
∴V圆台=πh(R2+Rr+r2)=π×3×[(2)2+2×+()2]=21π.
∴圆台的体积为21π.
二
球的表面积和体积
提示 能，分割，求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的表面积公式.
设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的表面积公式吗？
问题2
球的表面积和体积公式
(1)球的表面积公式：S球面=4πR2(R为球的半径).
(2)球的体积公式：V球=πR3.
已知一个球的表面积是16π，则它的体积是
A.64π B.
C.32π D.
例 2
√
设球的半径为R，则由题意可知4πR2=16π，解得R=2.
所以球的体积V=πR3=.
反
思
感
悟
公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
已知球的体积为，求它的表面积.
跟踪训练 2
设球的半径为R，则πR3=，解得R=5，
所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.
球的截面问题
三
提示 截面为圆面.
用一个平面去截球，截面图形是什么？
问题3
球的截面的特点
(1)球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任意截面均为圆面.
(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球的表面积与球的体积.
例 3
如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，
由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心.
设M是AB的中点，由于AC=BC，
则O1∈CM.设O1M=x，易知O1M⊥AB，
则O1A=，
O1C=CM-O1M=-x.
又O1A=O1C，
∴=-x，解得x=.
∴O1A=O1B=O1C=.
在Rt△OO1A中，O1O=，
∠OO1A=90°，OA=R，
由勾股定理得+=R2，
解得R=，
则S球=4πR2=54π，V球=πR3=27π.
反
思
感
悟
有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2=d2+r2.用方程思想求未知线段的长.
球的截面问题的求解方法
一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积.
跟踪训练 3
当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R cm，
∵π·O2B2=49π，
∴O2B=7(cm).
同理，得O1A=20(cm).
设OO1=x cm，则OO2=(x+9)cm.
图(1)
在Rt△O1OA中，R2=x2+202， ①
在Rt△OO2B中，R2=72+(x+9)2， ②
联立①②可得x=15，R=25.
∴S球=4πR2=2 500π(cm2)，
故球的表面积为2 500π cm2.
当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.
图(2)
设球的半径为R cm，
∵π·O2B2=49π，∴O2B=7(cm).
∵π·O1A2=400π，∴O1A=20(cm).
设O1O=x cm，则OO2=(9-x)cm.
在Rt△OO1A中，R2=x2+400.
在Rt△OO2B中，R2=(9-x)2+49.
∴x2+400=(9-x)2+49，
解得x=-15，不符合题意，舍去.
综上所述，球的表面积为2 500π cm2.
图(2)
简单组合体的体积
四
如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为
3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此空间图形的体积.
例 4
V六棱柱=×42×6×2=48(cm3)，
V圆柱=π×32×3=27π(cm3)，
V挖去圆柱=π×12×(3+2)=5π(cm3)，
∴此空间图形的体积V=V六棱柱+V圆柱-V挖去圆柱
=(48+22π) cm3.
反
思
感
悟
计算组合体的体积时，应考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等简单空间图形的体积.
已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是 ，表面积是 .
跟踪训练 4
90
138
该几何体的体积V=4×6×3+×4×3×3=90，
表面积S=3×+4×3+2××4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+2
×3×3=138.
1.知识清单：
(1)柱体、锥体、台体的体积公式.
(2)球的表面积和体积.
(3)球的截面问题
(4)简单组合体的体积.
2.方法归纳：公式法、等积法、补体法、分割法.
3.常见误区：平面图形与空间图形切换不清楚.
随堂演练
五
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2
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4
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
√
V=3×4×5=60(cm3).
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2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为
A.3 B.4
C.5 D.6
√
由题意知，V=(π+2π+4π)·h=7π，
所以h=3.
3.将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为
A.2π B.
C. D.
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√
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设圆锥底面半径为r，扇形弧长为l，
则l=2πr=×1，∴r=，
∴圆锥的高为=，
∴圆锥的体积为V=××=.
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4.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是 cm.
4
∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，
∴铜质的五棱柱的体积V=16×4=64(cm3).
设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，
则a3=64，解得a=4.
课时对点练
六
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B B A 0.5
题号 11 12 13 14 15
答案 D B ABD 5 100π V
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9.
∵正方体的表面积为S正方体=4×4×6=96，
圆柱形孔的半径为1，高为4，
∴圆柱的侧面积S圆柱侧=2π×1×4=8π，
圆柱的底面积S底=2×π×12=2π，
∴打孔后的几何体的表面积为S=96+8π-2π=96+6π，
又正方体的体积为V正方体=4×4×4=64，圆柱的体积为V圆柱=4π，
∴打孔后的几何体的体积为V=64-4π.
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10.
如图，☉O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.
设将球取出后，水面在MN处，
MN与CD交于点E.
则DO=r，AD=r，AB=AC=BC=2r，
∴CD=3r.
由图形知V圆锥CE∶V圆锥CD=∶
=CE3∶CD3.
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10.
又∵V圆锥CD=r)2·3r=3πr3，
V圆锥CE=V圆锥CD-V球O=3πr3-πr3=πr3，
∴∶3πr3=CE3∶(3r)3，
∴CE=r.
∴球从容器中取出后，水的深度为r.
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16.
要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，
则必须有V圆锥≥V半球，
而V半球=××43，V圆锥=π×42×h，则有π×42×h≥××43，
解得h≥8，
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.
又因为S圆锥侧=4π，
所以当高为8 cm时，制作的杯子最省材料，材料最省为16π cm2.
答案
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基础巩固
1.把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为
A.12 cm B.14 cm
C.16 cm D.18 cm
√
设大铁球的半径为R，
由πR3=π×63+π×83+π×103，
得R3=1 728，解得R=12.
答案
2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点S为棱A1B1上一动点，四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的
A. B.
C. D.不确定
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√
令正方体棱长为a，则V正方体=a3，
V四棱锥S-ABCD=×a2×a=a3，
∴V四棱锥S-ABCD=V正方体.
答案
3.若一个圆台如图所示，则其体积等于
A.3π B.3
C. D.
√
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圆台的上底面面积S=π，
下底面面积S'=4π，高h=，
所以V圆台=××(π+4π+2π)=.
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设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，
∴3×πr3+πr2·6=πr2·6r，
解得r=3(cm).
4.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(水面恰为圆柱的上底面)，则球的半径为
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
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5.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为
A. m3 B. m3
C.1 m3 D. m3
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设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，
则2ah=1，a=1，
解得a=，h=，
所以六棱柱的体积V=×××6×=(m3).
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6.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是
A.54 B.54π
C.58 D.58π
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设上底面半径为r，
则由题意求得下底面半径为3r，
设圆台高为h1，
则52=πh1(r2+9r2+3r·r)，
∴πr2h1=12.令原圆锥的高为h，
由相似知识得=，∴h=h1，
∴V原圆锥=π(3r)2×h=3πr2×h1=×12=54.
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=DD1×1=，
又点F到平面DD1E的距离为1，
所以==×1=.
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积
为 .
答案
8.陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性.某陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台形容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台形容器的轴截面的下底为10 cm，上底为6 cm，面积为80 cm2，则该茶壶的容积约为 L.(结果精确到0.1，参考数据：π≈3，1 L =
1 000 cm3)
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0.5
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圆台形容器的轴截面为等腰梯形，设高为h cm，
则(6+10)h=80，解得h=10，
所以圆台形容器的容积
V=π(32+52+3×5)×10≈490(cm3)≈0.5(L).
答案
9.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积.
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∵正方体的表面积为S正方体=4×4×6=96，
圆柱形孔的半径为1，高为4，
∴圆柱的侧面积S圆柱侧=2π×1×4=8π，
圆柱的底面积S底=2×π×12=2π，
∴打孔后的几何体的表面积为S=96+8π-2π=96+6π，
又正方体的体积为V正方体=4×4×4=64，
圆柱的体积为V圆柱=4π，
∴打孔后的几何体的体积为V=64-4π.
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10.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.
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如图，☉O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.
设将球取出后，水面在MN处，MN与CD交于点E.
则DO=r，AD=r，AB=AC=BC=2r，
∴CD=3r.
由图形知V圆锥CE∶V圆锥CD=∶=
CE3∶CD3.
又∵V圆锥CD=r)2·3r=3πr3，
V圆锥CE=V圆锥CD-V球O=3πr3-πr3=πr3，
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∴∶3πr3=CE3∶(3r)3，
∴CE=r.
∴球从容器中取出后，水的深度为r.
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11.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
A.5π B.6π
C.20π D.10π
√
综合运用
用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5=20π，故所求几何体的体积为10π.
答案
12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
A.2寸 B.3寸
C.4寸 D.6寸
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由已知得，天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸，
则盆口面积为196π，盆底面积为36π，
又盆深18寸，盆中水深9寸，
则积水水面的半径为=10(寸)，
∴积水水面面积为100π，
∴积水的体积V=×(36π++100π)×9=588π，
∴平地降雨量为=3(寸).
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13.(多选)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则以下说法正确的是
A.球O的半径是2
B.当矩形ABCD是正方形时，四棱锥P-ABCD的体积最大
C.四棱锥P-ABCD的体积的最大值是
D.四棱锥P-ABCD的体积的最大值是
√
√
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设球O的半径为R，
由S=4πR2=16π，得R=2，故A正确；
设矩形的长、宽分别为x，y，
点P到平面ABCD的距离为h，
则VP-ABCD=·S矩形ABCD·h=·xy·h，
而2xy≤x2+y2=(2R)2(当且仅当x=y时取“=”)，hmax=R，
∴VP-ABCD的最大值为×2R2×R=R3=.
答案
14.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球的半径是 cm，表面积是 cm2.
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5
100π
如图，设球心为O，OC是与冰面垂直的一条半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，球的半径为R cm，则OD=R-1，
则(R-1)2+32=R2，解得R=5，
所以该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π(cm2).
答案
15.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB=3CD，M为AE的中点，设E-ABCD的体
积为V，那么三棱锥M-EBC的体积为 .
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4
5
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9
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11
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13
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15
16
拓广探究
V
答案
设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，
连接MD，如图所示.
因为M是AE的中点，
所以VM-ABCD=V，
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC，VE-MDC=VD-EMC，
所以==.
1
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13
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16
答案
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，
而AB∥CD，且2AB=3CD，
所以=.
所以VM-EBC=VE-MBC=V.
1
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16
答案
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4
5
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16
16.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？材料最省为多少？
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
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13
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15
16
要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，
则必须有V圆锥≥V半球，
而V半球=××43，V圆锥=π×42×h，
则有π×42×h≥××43，解得h≥8，
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧=4π，
所以当高为8 cm时，制作的杯子最省材料，材料最省为16π cm2.
答案培优课 与球有关的内切、外接问题
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.
一、直接法(公式法)
例1 若正三棱柱ABC- A'B'C'的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点在同一个球面上，则球的表面积为 .
跟踪训练1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .
二、构造法(补形法)
例2 (1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是 .
(2)在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A.2π B.4π C.6π D.8π
反思感悟 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R=.
跟踪训练2 三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且VA-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为 .
三、寻求轴截面圆半径法
例3 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为 .
跟踪训练3 求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.
四、确定球心位置法
例4 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA=2，AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
反思感悟 找空间图形的外接球球心，即找点O，使点O到空间图形各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.
跟踪训练4 在三棱锥A-BCD中，侧棱长为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 .
五、利用等体积法求内切球半径
例5 在正三棱锥A-BCD中，底面边长为2，高为1，则该三棱锥的表面积为 ，内切球半径为 .
反思感悟 内切球问题处理方法
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
跟踪训练5 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 .
答案精析
例1 π
解析 如图，设H'，H分别为上、下底面的中心，则H'H的中点O为外接球的球心.由题意知，在Rt△OAH中，AH=，OH=，则外接球的半径R=OA==，
∴S球=4πR2=π.
跟踪训练1
解析 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
则有∴
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=，
球心到底面的距离d=.
∴外接球的半径R==1.
∴V球=.
例2 (1)6π
解析 根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R，
则有(2R)2=12+()2+()2=6.
∴R2=.
故其外接球的表面积S=4πR2=6π.
(2)C ［如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，
设长、宽、高分别为a，b，c，
则
三式相加得a2+b2+c2=6，
因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，
所以4R2=a2+b2+c2=6，所以外接球的表面积S=4πR2=6π.］
跟踪训练2 4π
例3
跟踪训练3 解 如图，等边三角形ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OE=R，
OA==2OE=2R.
∴AD=OA+OD=2R+R=3R，
BD=AD·tan 30°=R，
∵V球=πR3，
V圆锥=π·BD2×AD
=π(R)2×3R=3πR3，
∴V球∶V圆锥=4∶9.
例4 16π
跟踪训练4 π
例5 3
解析 如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的中点，
∵底面边长为2，
∴DE=，OD=，OE=，
∴AE=
==，
S△ABC=×2×=，
S△BCD=×2×=，
S表=3S△ABC+S△BCD=2+=3，
设内切球半径为r，球心为O'，
∴VA-BCD=VO'-ABC+VO'-ACD+VO'-ABD+VO'-BCD，
∴××1=3×+××r，
解得r=.
跟踪训练5 2π
解析 如图，由题意知，
AO==2.
设圆锥内半径最大的球O'与底面切于O，与侧面切于B，球O'的半径为r，则AO'=2-r，
又=，
即=，
∴r=，
∴S球=4πr2=2π.(共66张PPT)
培优课
第13章
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与球有关的内切、外接问题
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.
一、直接法(公式法)
二、构造法(补形法)
课时对点练
三、寻求轴截面圆半径法
内容索引
四、确定球心位置法
五、利用等体积法求内切球半径
直接法(公式法)
一
若正三棱柱ABC- A'B'C'的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点在同一个球面上，则球的表面积为 .
例 1
π
如图，设H'，H分别为上、下底面的中心，则H'H的中点O为外接球的球心.由题意知，在Rt△OAH中，
AH=，OH=，
则外接球的半径R=OA==，
∴S球=4πR2=π.
反
思
感
悟
本题运用公式R2=r2+d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式.
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，
则这个球的体积为 .
跟踪训练 1
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
则有∴
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=，
球心到底面的距离d=.
∴外接球的半径R==1.
∴V球=.
二
构造法(补形法)
(1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是 .
例 2
6π
根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R，
则有(2R)2=12+()2+()2=6.
∴R2=.
故其外接球的表面积S=4πR2=6π.
(2)在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为
A.2π B.4π
C.6π D.8π
√
如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，
设长、宽、高分别为a，b，c，
则
三式相加得a2+b2+c2=6，
因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，
所以4R2=a2+b2+c2=6，
所以外接球的表面积S=4πR2=6π.
反
思
感
悟
一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R=.
三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且VA-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为 .
跟踪训练 2
4π
AB⊥BC，BC⊥CD，
故可构造如图所示的长方体，
则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.
设外接球的半径为R.
∵VA-BCD=××BC×CD×AB=×2×CD×2=，∴CD=2，
∴该长方体为正方体，
∴AD=2，∴R=，
外接球体积为V=πR3=4π.
寻求轴截面圆半径法
三
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，
D都在同一球面上，则此球的体积为 .
例 3
如图，设正四棱锥的底面中心为O1，
∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，
∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在△ASC中，由SA=SC=，AC=2，
得SA2+SC2=AC2.
∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.
∴=1是外接圆的半径，也是外接球的半径.
故V球=.
反
思
感
悟
根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通用解法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.
跟踪训练 3
如图，等边三角形ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.
设球的半径OE=R，
OA==2OE=2R.
∴AD=OA+OD=2R+R=3R，
BD=AD·tan 30°=R，
∵V球=πR3，
V圆锥=π·BD2×AD=π(R)2×3R=3πR3，
∴V球∶V圆锥=4∶9.
确定球心位置法
四
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA=2，AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
例 4
16π
取PC的中点O，连接OA，OB(图略)，
∵△PAC为直角三角形且∠PAC=90°，
∴OA=PC，同理OB=PC，
即OA=OB=OP=OC，
即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，
∴O为外接球的球心，
PC==4，
∴R=PC=2，
∴S球=4πR2=16π.
反
思
感
悟
找空间图形的外接球球心，即找点O，使点O到空间图形各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.
在三棱锥A-BCD中，侧棱长为2，底面是边长为2的等
边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 .
跟踪训练 4
π
如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心，令O'A=O'D=R，
OD=DE=×2×=2，AD=2，
∴AO==4，
∴OO'=4-R，
又OO'2+OD2=O'D2，
∴(4-R)2+4=R2，
解得R=，
∴V球=πR3=π.
利用等体积法求内切球半径
五
在正三棱锥A-BCD中，底面边长为2，高为1，则该三棱锥的表面
积为 ，内切球半径为 .
例 5
3
如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的中点，
∵底面边长为2，
∴DE=，OD=，OE=，
∴AE===，
S△ABC=×2×=，
S△BCD=×2×=，
S表=3S△ABC+S△BCD=2+=3，
设内切球半径为r，球心为O'，
∴VA-BCD=VO'-ABC+VO'-ACD+VO'-ABD+VO'-BCD，
∴××1=3×+××r，
解得r=.
反
思
感
悟
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
内切球问题处理方法
已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 .
跟踪训练 5
2π
如图，由题意知，
AO==2.
设圆锥内半径最大的球O'与底面切于O，
与侧面切于B，球O'的半径为r，则AO'=2-r，
又==，
∴r=，
∴S球=4πr2=2π.
课时对点练
六
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A A ABC 64π π∶2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
9.
如图，取底面中心E，
连接AE，A-BCD为正四面体，
∴AE垂直于底面BCD，
∴外接球球心与内切球球心重合且球心在线段AE上，
设球心为O，连接OB，令外接球半径为R，内切球半径为r，
∵△BCD为等边三角形，
∴BE=a××=a，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
9.
∴AE===a，
∴
解得R=a，r=a，
∴外接球的表面积S外表=4πR2=a2，
内切球的表面积S内表=4πr2=a2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
10.
(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD.
∵∠ADP=90°，即AD⊥DP，
又CD∩DP=D，CD，DP 平面CDP，∴AD⊥平面PCD.
∵CE 平面PCD.∴AD⊥CE.
∵PD=AD，CD=AD，∠PDC=60°，
∴△PCD为等边三角形.
∵E为PD的中点，∴CE⊥DP.
∵AD∩DP=D，AD，DP 平面PAD，∴CE⊥平面PAD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
10.
(2)由(1)知，CE⊥平面PAD，又AE 平面PAD，故AE⊥CE，
∴△ABC，△AEC都是以AC为斜边的直角三角形，取AC的中点O，连接OE，OB(图略)，
由直角三角形斜边中点O到三角形三顶点距离相等知：
OE=OC=OA=OB，
即O为三棱锥E-ABC外接球的球心，
∴外接球的半径为=，
∴三棱锥E-ABC外接球的体积V=π×()3=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为
A.16π B.20π
C.24π D.32π
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∵正四棱锥的高为3，体积为6，
∴S底=6，
∴底面正方形的边长为，其对角线为2.
设球的半径为R，
则R2=(3-R)2+()2，解得R=2，
∴S球=4πR2=16π.
答案
2.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A.3πa2 B.6πa2
C.12πa2 D.24πa2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为=a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，
长度为=a，
则球的半径R==a，
所以球的表面积S=4πR2=6πa2.
答案
3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积为
A.153π B.160π
C.169π D.360π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由于直三棱柱的底面是直角三角形，
所以可以把此三棱柱补成长方体，
其体对角线就是外接球的直径，
所以球O的半径R=×=，
所以球O的表面积S=4π×=169π.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作出该球的轴截面图如图所示，
由题意BE=2，AE=CE=4，
设DE=x，故AD=2+x，
因为AD2=AE2+DE2，
则(2+x)2=42+x2，解得x=3，
故该球的半径AD=5，
所以V=πR3=(cm3).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为
A. B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB=.
连接OO1，则OO1⊥平面ABC，
OO1===，
所以三棱锥O-ABC的体积
V=S△ABC×OO1=××1×1×=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6.(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为-1，则
A.正方体的外接球的表面积为12π
B.正方体的内切球的体积为π
C.正方体的棱长为2
D.线段MN长度的最大值为2
√
√
√
答案
设正方体的棱长为a，则正方体的外接球半径为正方体体对角线长的
一半，即a，内切球半径为棱长的一半，即a，
∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，
∴MN最小值=a-=a=-1，
∴a=2，即正方体的棱长为2，
∴正方体外接球的表面积为4π×()2=12π，
内切球体积为，线段MN长度的最大值为a+=+1，故A，B，C
正确，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
7.若三棱锥P-ABC的各顶点都在球O的表面上，AB=BC=CA=4，PA=PB =PC=4，则球O的表面积为 .
64π
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
设P在平面ABC中的射影为D，
∵AB=BC=CA=4，
∴AD=××4=4，
∵PA=4，
∴PD==4，
设外接球的半径为R，则R2=42+(4-R)2，
∴R=4，∴外接球的表面积为4πR2=64π.
答案
8.在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
π∶2
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方法一 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正
方体的棱长为a，那么CC'=a，OC=.
在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2+OC2=OC'2，
即a2+=R2，∴R=a.
从而V半球=πR3=π×=πa3，
V正方体=a3.
因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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方法二 将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a，球的半径为R，
则根据长方体的体对角线性质，
得(2R)2=a2+a2+(2a)2，
即4R2=6a2，∴R=a.
答案
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从而V半球=πR3=π×=πa3，
V正方体=a3.
因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2.
答案
9.在正四面体A-BCD中，所有棱长为a，求该四面体的外接球和内切球的表面积.
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答案
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如图，取底面中心E，
连接AE，
A-BCD为正四面体，
∴AE垂直于底面BCD，
∴外接球球心与内切球球心重合且球心在线段AE上，设球心为O，
连接OB，令外接球半径为R，内切球半径为r，
∵△BCD为等边三角形，
∴BE=a××=a，
答案
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∴AE===a，
∴
解得R=a，r=a，
∴外接球的表面积S外表=4πR2=a2，
内切球的表面积S内表=4πr2=a2.
答案
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10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90°，PD=AD，∠PDC=60°，E为PD的中点.
(1)证明：CE⊥平面PAD；
答案
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∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD.
∵∠ADP=90°，即AD⊥DP，
又CD∩DP=D，CD，DP 平面CDP，
∴AD⊥平面PCD.
∵CE 平面PCD.
∴AD⊥CE.
答案
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∵PD=AD，CD=AD，∠PDC=60°，
∴△PCD为等边三角形.
∵E为PD的中点，
∴CE⊥DP.
∵AD∩DP=D，AD，DP 平面PAD，
∴CE⊥平面PAD.
答案
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(2)求三棱锥E-ABC外接球的体积.
答案
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由(1)知，CE⊥平面PAD，
又AE 平面PAD，故AE⊥CE，
∴△ABC，△AEC都是以AC为斜边的直角三角形，
取AC的中点O，连接OE，OB(图略)，
由直角三角形斜边中点O到三角形三顶点距离相等知：OE=OC=OA=OB，
即O为三棱锥E-ABC外接球的球心，
∴外接球的半径为=，
∴三棱锥E-ABC外接球的体积V=π×()3=.
答案作业41 空间图形的表面积
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
2.已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
3.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D. cm
4.(多选)以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( )
A.64π cm2 B.36π cm2
C.54π cm2 D.48π cm2
5.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A.81π B.100π
C.168π D.169π
6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为( )
A.160 B.80
C.100 D.120
7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为 .
8.如果圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 .
9.(10分)在底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.
10.(12分)如图，粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算制造该下料斗所需的铁板的面积(厚度不计，参考数据：≈13.46).
11.设圆柱的一个底面面积为S，若其侧面展开图为一个正方形，则这个圆柱的侧面积为( )
A.πS B.2πS C.3πS D.4πS
12.如图，已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积的比值是( )
A. B.
C. D.
13.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
14.有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为 .
15.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为 cm，表面积等于 cm2.
16.(12分)如图，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3，求此正三棱锥的表面积.
答案精析
1.C 2.D 3.B 4.AB 5.C 6.A
7.2∶1 8.π
9.解 如图所示，
所得几何体的表面积为S=S底+S柱侧+S锥侧
=π()2+2π·×+π·×3
=(3+6+3)π(cm2).
10.解 如图，设O，O1分别是两底面的中心，
则OO1是高，E，E1分别是其所在边的中点，则EE1是斜高，过E1作E1F⊥OE于F.
在Rt△E1FE中，
EE1=
=
==20(mm).
∴S正棱台侧=4××(440+80)×20≈279 968(mm2).故制造该下料斗约需铁板279 968 mm2.
11.D 12.B 13.A
14.36
解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，∴S表=2×22+4×［22+()2+12］=36.
∴该空间图形的表面积为36.
15.20 224π
解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S圆=πl2.
又圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=8πl.
∵圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，
∴πl2=2.5×8πl，∴l=20(cm).
圆锥的表面积S表=S圆锥侧+S底
=π×8×20+π×82=224π(cm2).
16.解 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h'.
过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，
则SE⊥AB，SE=h'.
∵S侧=2S底，
∴3×a×h'
=a2×2，
∴a=h'.
∵SO⊥OE，
∴在Rt△SEO中，SO2+OE2=SE2，
∴32+=h'2，
∴h'=2，∴a=h'=6.
∴S底=a2=×62=9，S侧=2S底=18，
∴S表=S侧+S底=18+9=27.作业42 空间图形的体积
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )
A.12 cm B.14 cm
C.16 cm D.18 cm
2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点S为棱A1B1上一动点，四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的( )
A. B. C. D.不确定
3.若一个圆台如图所示，则其体积等于( )
A.3π B.3
C. D.
4.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(水面恰为圆柱的上底面)，则球的半径为( )
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
5.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为( )
A. m3 B. m3
C.1 m3 D. m3
6.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )
A.54 B.54π
C.58 D.58π
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 .
8.陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性.某陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台形容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台形容器的轴截面的下底为10 cm，上底为6 cm，面积为80 cm2，则该茶壶的容积约为 L.(结果精确到0.1，参考数据：π≈3，1 L=1 000 cm3)
9.(10分)如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积.
10.(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.
11.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A.5π B.6π C.20π D.10π
12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)( )
A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.6寸
13.(多选)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则以下说法正确的是( )
A.球O的半径是2
B.当矩形ABCD是正方形时，四棱锥P-ABCD的体积最大
C.四棱锥P-ABCD的体积的最大值是
D.四棱锥P-ABCD的体积的最大值是
14.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球的半径是 cm，表面积是 cm2.
15.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB=3CD，M为AE的中点，设E-ABCD的体积为V，那么三棱锥M-EBC的体积为 .
16.(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？材料最省为多少？
答案精析
1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A
7. 8.0.5
9.解 ∵正方体的表面积为
S正方体=4×4×6=96，
圆柱形孔的半径为1，高为4，
∴圆柱的侧面积S圆柱侧=2π×1×4=8π，
圆柱的底面积S底=2×π×12=2π，
∴打孔后的几何体的表面积为
S=96+8π-2π=96+6π，
又正方体的体积为V正方体=4×4×4=64，
圆柱的体积为V圆柱=4π，
∴打孔后的几何体的体积为V=64-4π.
10.解 如图，☉O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.设将球取出后，水面在MN处，MN与CD交于点E.则DO=r，AD=r，AB=AC=BC=2r，
∴CD=3r.由图形知V圆锥CE∶V圆锥CD=∶
=CE3∶CD3.
又∵V圆锥CD=r)2·3r=3πr3，
V圆锥CE=V圆锥CD-V球O
=3πr3-πr3=πr3，
∴∶3πr3=CE3∶(3r)3，
∴CE=r.
∴球从容器中取出后，水的深度为r.
11.D 12.B
13.ABD ［设球O的半径为R，
由S=4πR2=16π，得R=2，故A正确；
设矩形的长、宽分别为x，y，点P到平面ABCD的距离为h，则VP-ABCD=·S矩形ABCD·h=·xy·h，
而2xy≤x2+y2=(2R)2(当且仅当x=y时取“=”)，hmax=R，
∴VP-ABCD的最大值为×2R2×R=R3=.］
14.5 100π
解析 如图，设球心为O，OC是与冰面垂直的一条半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，球的半径为R cm，则OD=R-1，
则(R-1)2+32=R2，解得R=5，
所以该球表面积为
S=4πR2=4π×52=100π(cm2).
15.V
解析
设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，
连接MD，如图所示.
因为M是AE的中点，所以VM-ABCD=V，
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC，
VE-MDC=VD-EMC，
所以==.
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB=3CD，所以=.所以VM-EBC=VE-MBC=V.
16.解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，
则必须有V圆锥≥V半球，
而V半球=××43，V圆锥=π×42×h，则有π×42×h≥××43，解得h≥8，
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧=4π，
所以当高为8 cm时，制作的杯子最省材料，材料最省为16π cm2.作业43 与球有关的内切、外接问题
(分值：65分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分
1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A.16π B.20π
C.24π D.32π
2.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.3πa2 B.6πa2
C.12πa2 D.24πa2
3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积为( )
A.153π B.160π
C.169π D.360π
4.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
5.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为( )
A. B. C. D.
6.(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为-1，则( )
A.正方体的外接球的表面积为12π
B.正方体的内切球的体积为π
C.正方体的棱长为2
D.线段MN长度的最大值为2
7.若三棱锥P-ABC的各顶点都在球O的表面上，AB=BC=CA=4，PA=PB=PC=4，则球O的表面积为 .
8.在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 .
9.(12分)在正四面体A-BCD中，所有棱长为a，求该四面体的外接球和内切球的表面积.
10.(12分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90°，PD=AD，∠PDC=60°，E为PD的中点.
(1)证明：CE⊥平面PAD；(6分)
(2)求三棱锥E-ABC外接球的体积.(6分)
答案精析
1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.ABC
7.64π
8.π∶2
解析 方法一 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'=a，OC=.
在Rt△C'CO中，由勾股定理，
得CC'2+OC2=OC'2，
即a2+=R2，∴R=a.
从而V半球=πR3=π×=πa3，V正方体=a3.因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2.
方法二 将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a，球的半径为R，
则根据长方体的体对角线性质，
得(2R)2=a2+a2+(2a)2，
即4R2=6a2，∴R=a.
从而V半球=πR3=π×=πa3，
V正方体=a3.
因此V半球∶V正方体=πa3∶a3
=π∶2.
9.解 如图，取底面中心E，
连接AE，A-BCD为正四面体，
∴AE垂直于底面BCD，
∴外接球球心与内切球球心重合且球心在线段AE上，设球心为O，
连接OB，令外接球半径为R，内切球半径为r，
∵△BCD为等边三角形，
∴BE=a××=a，
∴AE===a，
∴
解得R=a，r=a，
∴外接球的表面积S外表=4πR2=a2，
内切球的表面积S内表=4πr2=a2.
10.(1)证明 ∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD.
∵∠ADP=90°，即AD⊥DP，
又CD∩DP=D，CD，DP 平面CDP，
∴AD⊥平面PCD.
∵CE 平面PCD.
∴AD⊥CE.
∵PD=AD，CD=AD，∠PDC=60°，
∴△PCD为等边三角形.
∵E为PD的中点，
∴CE⊥DP.
∵AD∩DP=D，AD，DP 平面PAD，
∴CE⊥平面PAD.
(2)解 由(1)知，CE⊥平面PAD，
又AE 平面PAD，故AE⊥CE，
∴△ABC，△AEC都是以AC为斜边的直角三角形，取AC的中点O，连接OE，OB(图略)，
由直角三角形斜边中点O到三角形三顶点距离相等知：
OE=OC=OA=OB，
即O为三棱锥E-ABC外接球的球心，
∴外接球的半径为=，
∴三棱锥E-ABC外接球的体积V=π×()3=.
