湖南师大附中 2025 届高三月考试卷(六)
数 学
命题:龚红玲 曹菲菲 孙瑶 吴雪飞 审题:高三数学备课组
时量:120 分钟 满分:150 分
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.设集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知 是关于 的方程 的一个根,其中 ,则 ( )
A.-16 B.16 C.-4 D.4
3.已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A.3 B.6 C.9 D.27
4.空间中有两个不同的平面 和两条不同的直线 ,则下列命题为真命题的是( )
A.若 ,则
B.若 ,则
C.若 ,则
D.若 ,且 ,则
5.已知某班级将学生分为 4 个不同的大组,每个大组均有 14 名学生,现从这个班级抽取 5 名学生
参加年级活动,要求每个大组至少有 1 名同学参加,则不同的抽取结果共有( )
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
6.设 ,点 在 轴上,点 在 轴上,且 0,当点 在 轴上运动
时,点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
7.若钝角 满足 ,则 的值为( )
1
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的右顶点为 ,抛物线 的焦点为 .若
在双曲线 的渐近线上存在一点 ,使得 ,则双曲线 的离心率的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9.已知一组样本数据 ,若 ,则下列说法正确的是( )
A.该样本数据的上四分位数为
B.若样本数据的方差为 ,则这组样本数据的平均数为 2
C.剔除某个数据 后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D.若 的均值为 2,方差为 的均值为 6,方差为 2,则 的方
差为 5
10.已知函数 的定义域为 ,则( )
A. B. 是奇函数
C. 的图象关于点 对称 D.
11.设 是一个无穷数列 的前 项和,若一个数列满足对任意的正整数 ,不等式
恒成立,则称数列 为和谐数列,下列说法正确的是( )
A.若数列 满足: ,则 为和谐数列
B.对任意的正整数 均有 ,则 为和谐数列
C.若等差数列 是和谐数列,则 一定存在最大值
2
D.若 的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列 是和谐数列
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象,则
的对称中心为_____.
13.在孟德尔豌豆试验中,子二代的基因型为 ,其中 为显性基因, 为隐性基因,
且这三种基因型的比为 .如果在子二代中任意选取 2 颗豌豆作为父本母本杂交,那么子三
代中基因型为 的概率是_____.
14.设 ,若不等式 恒成立,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
在 中,角 所对的边分别为 ,满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 , 的平分线 交 于点 ,且 1,求 的值.
3
16.(本小题满分 15 分)
如图,在多面体 中,底面 是边长为 的正方形, 平面 ,四边形
为矩形.
(1)若 ,证明:平面 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 ,求平面 与平面 的夹角的余弦值.
4
17.(本小题满分 15 分)
某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会,其中一个项目为投篮游戏.游戏的规则如下:每局
游戏需投篮 3 次,若投中的次数多于未投中的次数,该局得 3 分,否则得 1 分.已知甲投篮的命中率
为 ,且每次投篮的结果相互独立.
(1)求甲在一局游戏中投篮命中次数 的分布列与期望；
(2)若参与者连续玩 局投篮游戏获得的分数的平均值大于 2,即可获得一份大奖.现有
和 两种选择,要想获奖概率最大,甲应该如何选择 请说明理由.
5
18.(本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 ,且四个顶点所围成的菱形的面积为 4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形 的顶点在椭圆上,且对角线 过原点 ,设 ,满足
.
(j)求证:直线 和直线 的斜率之和为定值；
(ii)求四边形 面积的最大值.
6
19.(本小题满分 17 分)
函数 ,曲线 在点 处的切线在
轴上的截距为 .
(1)求 ;
(2)判断 的单调性；
(3)设 ,证明: .
7湖南师大附中 2025 届高三月考试卷(六)
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C B C D C B BC ABD ABD
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.B【解析】因为 ,所以
,故选 B.
2.B【解析】将 代入方程 ,得 ,解得 ,所
以 .故选 B.
3.C【解析】因为 是等差数列,所以由 得 ,即 ,所以
,故选 C.
4.B【解析】对于 ,若 ,则 或 ,由 ,则 与 斜交、垂直、平
行均有可能,故 为假命题；对于 ,若 , ,则 或 ,又 ,所以
,故 为真命题;对于 ,若 ,则 或 与 相交,故 为
假命题;对于 ,若 ,且 ,则 或 为假命题.故选 B.
5.C【解析】由题意,要求每个大组至少有 1 名同学参加,即在 4 个大组中,必有一个大组有 2 名同
学参加活动,其余组各有 1 名同学.运用分步乘法计数原理解决:先从 4 个大组中抽取一个有 2 名
同学参加的组,有 种,再从另外三个大组中分别各取1名同学,有 种,最后确定有2个同学
参加的组的人选,有 种.由分步乘法计数原理,抽取结果共有
种.故选 C.
6.D【解析】由 知点 为 的中点,设 ,则 ,所以
, ,即 .故所求的点 的轨迹方程是
.故选 D.
1
7.C【解析】
,则 ,因为 为钝角,故 .故选
C.
8.B【解析】双曲线 的右顶点为 ,抛物线 的焦
点为 ,双曲线的渐近线方程为 .在双曲线 的渐近线上存在一点 ,使得
,等价于以 为直径的圆与渐近线有公共点,所以 的中点 到渐近
线的距离 ,即 ,即 ,所以 ,即 ,所以 ,又
,所以 ,选 B.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9.BC【解析】由 得样本数据的上四分位数为 ,故 A 错误;
,所以 ,又 ,所以 ,故
正确.对于 ,剔除某个数据 后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极
差,故 正确;对于 ,由 ,得
,所以 的方差为 ,故 D 错误.故选:
BC.
10.ABD【解析】令 ,则 ,即 ,解得
,故 A 正确;
2
令 ,则 ,得 ,由 可知
,则 ,即 ,故 是奇函数,B 正确;
对任意的 都有 ,可得 ,因此 的
图象关于点 对称,故 C 错误;
由于 且 是奇函数,得 ,即 ,因
此 ,所以
正确.故选 ABD.
11.ABD【解析】因为 ,对
于 A, ,所以 为和谐数列,故 A 正确;对于 B,若
,则 ,所以 B 正确;对于 C,设等差数列 的公差为 ,则
,所以 ,即 为公差为 的等差数列,若 为和
谐数列,即 ,则 ,则数列 是单调递增的等差数列,又 是无穷数列,所以
无最大值,所以 错误;对于 ,取 ,则
,下面证明 ,即说明存在
公比为负数的一个等比数列是和谐数列,即证 ,即证
,即证 ,当 时,上式左边为负数,
显然成立;当 时,即证 ,即证
,即
式成立,所以 正确.故选 ABD.
3
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. .【解析】由题意,函数 ,令 ,解得
,则 的对称中心为 .
13. 【解析】记事件 :子三代中基因型为 ,记事件 :子二代中父本母本选择的是 、
,记事件 :子二代中父本母本选择的是 ,记事件 :子二代中父本母本选择的是
,
则 .
在子二代中任取 2 颗豌豆作为父本母本杂交,分以下三种情况讨论:
①若选择的是 、 ,则子三代中基因型为 的概率为 ；
②若选择的是 、 ,则子三代中基因型为 的概率为 ；
③若选择的是 ,则子三代中基因型为 的概率为 .
综上所述，
.
因此,子三代中基因型为 的概率是 .
14. 【解析】解法一: 恒成立,
即为 恒成立,
当 时,可得 ,
4
当且仅当 即 时取得最小值 ,即有 ,则 ;
当 时,可得 ,
由 ,
当且仅当 即 时取得最小值 ,即有 ,则 ,综上可得
,
所以实数 的取值范围是 .
解法二:不等式 恒成立, .令
,则 为偶函数.
当 时, ;当 时, .画出函数图象:
过 作 的切线,
设切点 ,则 ,即 ,
5
所以切线的斜率为 ,所以 ,即 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】(1)由正弦定理知, ,
,
又 ,
,
,
.
(2)因为 ,
即 ,
所以 ,
解得 或 ,
当 时, ;
当 时, .
16.【解析】证明:(1)取 中点 ,连接 ,
四边形 为矩形, ,
平面 平面 ,
易证 都是直角三角形,
又底面 是正方形, ,
,且 , 为等腰三角形, , ,
又平面 平面 平面 平面 ,
为二面角 的平面角,
6
,又 ,
,
二面角 为直二面角, 平面 平面 .
(2)易证 两两垂直,
如图,以 为原点,分别以直线 和 为 轴,建立如图所示空间直角坐标系,
平面 平面 平面 ,
由 ,
得 .
则 ,
则 ,
,
设平面 一个法向量为 ,
则 取 ,得 ,
同理得平面 的一个法向量 ,
则 .
则平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
7
17.【解析】(1)由题意知 ,
则 ,
所以 的分布列为
0 1 2 3
(2)由(1)可知在一局游戏中,甲得 3 分的概率为 ,得 1 分的概率为 ,
若选择 ,此时要能获得大奖,则需 次游戏的总得分大于 ,
设 局游戏中,得 3 分的局数为 ,则 ,即 .
易知 ,
当 时,获大奖的概率 .
当 时,获大奖的概率 ,
因为 ,所以选择 时,甲获奖的概率更大.
8
18.【解析】(1)因为椭圆的离心率为 ,所以 ,①因为椭圆的四个顶点所围成的菱
形的面积为 4,所以 ,②又 ,③联立①②③,解得 ,
则椭圆的标准方程为 ;
(2)(j)证明:易知直线 斜率存在,不妨设直线 的方程为 ,
联立 消去 并整理得 ,
此时 ,
由韦达定理得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
整理得 ,解得 ,
因为 ,
所以 ,
故直线 和直线 的斜率之和为定值,定值为 0;
(ii)由(i)得,不妨令 ,
此时 ,
易知原点 到直线 的距离 ,
9
此时
因为 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,
则 .
故四边形 的面积的最大值为 4.
19.【解析】(1)由题意知切点坐标为 .
对 求导,得 ,从而 .
所以切线方程为 ,
令 ,得 ,解得 .
(2)因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 恒成立,
所以 在区间 上单调递增.
(3)(方法一)由(1)知 ,故 在 上单调递减, ,
由(2)知 在 上单调递增, ,
当 时,
.
10
当 时, ,
故 ,
所以 ,
因为 ,所以 .
(方法二)要证 ,即证 ,
下证 .易知 在 上单调递减,且 .
若 ,则 .
此时, ,只需证 ,
只需证 .此时, .
由(2)知 .
若 ,则 .
此时, ,只需证 .
只需证 .此时, .
由(2)知, .
综上所述, 成立.
11
所以 .
易知 ,所以 成立.故原不等式得证.
12
