专题六 分式方程（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.关于x的方程
①；
②；
③；
④.
其中是分式方程是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④
2.天龙山公路,高低落差较大,全长,被誉为“云端上的公路”.爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路,已知返程时的平均速度比去时慢,结果返程比去时多用了,求马老师去时的平均速度.设马老师去时的平均速度为,则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
3.解分式方程,去分母得( )
A. B.
C. D.
4.甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时.设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为( )
A. B.
C. D.
5.“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为( )
A. B. C. D.
6.若关于x的方程有增根,则m的值是( )
A. B.1 C.或1 D.0或1
7.若分式与值相等，则m的值不可能是( )
A. B.0 C. D.
8.若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是( )
A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣4
9.解分式方程，分以下四步，其中错误的一步是( )
A.两边同乘以 B.得整式方程
C.解这个整式方程，得 D.原方程的解为
10.如图,甲、乙两位同学玩数字游戏,甲同学提供m和n两个数值,乙同学根据m、n的情况求出x的值,由图可知本轮游戏x的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.分式方程无解，则a的值是( )
A.3或2 B.3 C.或3 D.或2
12.对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为( )
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.为了缅怀革命先烈,传承红色精神,某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走,过了后,其余师生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍,设骑车师生的速度为.根据题意,可列方程____________.
14.若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为_______.
15.某村电路发生断电,该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离该村15千米,抢修车装载着所需材料先从供电局出发,15分钟后,电工乘吉普车从同一地点出发,结果他们同时到达.已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍,则抢修车的速度是______千米/小时.
16.若关于x的方程无解,则______.
17.若关于x的分式方程的解是负数,则字母m的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）解方程：.
19.（8分）某班组织学生乘坐大巴车前往“红色教育”基地开展爱国主义教育活动.该基地距离学校60 km，队伍早上从学校出发，张老师因有事情于从学校自驾小车以大巴车速度的1.5倍追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍早10 min到达基地.
（1）大巴车与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴车时，他距离基地还有多少千米？
20.（8分）（1）下面是小颖解分式方程的过程.
解：方程两边同时乘以______， 得，第一步 去括号，得，第二步 移项、合并同类项，得，第三步 解得.第四步
请回答下列问题.
①第一步中“______”处应填写__________，这一步的目的是__________，其依据是__________.
②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了关键步骤.请你补全小颖的解答过程，并说明补全部分不能缺少的理由.
（2）新概念运用：“”称为“二阶行列式”，规定运算法则为.请根据上述法则，求下列等式中x的值：.
21.（10分）小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合.
(1)已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟.求地铁的平均速度.
(2)游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价a元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼.两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了b元/斤，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼.
①用a，b表示小美购买酥饼的平均价格_________，小聪购买酥饼的平均价格_________；
②小美和小聪谁的平均价格低？说明理由.
22.（12分）嘉淇准备完成题目：解分式方程，发现数字◆印刷不清楚.
（1）他把“◆”猜成5，请你解方程：.
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”请通过计算说明原题中“◆”是几.
23.（13分）阅读下列材料，完成探究与运用.
【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？
设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…．
同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：
由，
从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…．
【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律．
（1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①=______，②=______；
【运用】
（2）请用上述规律，解分式方程．
答案以及解析
1.答案：B
解析：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，
故选：B.
2.答案：D
解析：设马老师去时的平均速度为,则返程时的平均速度为,根据题意得：
,
故选：D.
3.答案：A
解析：分式方程整理得：,
去分母得：,
故选：A.
4.答案：B
解析：设原来的平均速度为x千米/时，
由题意得，.
故选B.
5.答案：D
解析：设原来参加游览的同学共人，
根据题意可得：，
故选：D.
6.答案：A
解析：关于x的分式方程去分母得,,解得：,
∵分式方程有增根,
∴,解得：.
故选：A.
7.答案：C
解析：由题得：，
解得.
又，
，则.
故选：C.
8.答案：D
解析：去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D.
9.答案：D
解析：A、分式方程的最简公分母为，故选项A说法正确，不符合题意；
B、方程两边乘以，得整式方程，故选项B说法正确，不符合题意；
C、解得：，故选项C说法正确，不符合题意；
D、经检验是增根，分式方程无解，故选项D说法错误，符合题意；
故选：D.
10.答案：B
解析：,,
,
,
,即,
去分母得：,
解得:,
检验：把代入得：,
是分式方程的根,
故选:B.
11.答案：A
解析：，
两边同时乘得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
①当即时，整式方程无解，则分式方程无解；
②当即时，整式方程有解，经检验是分式方程的增根；
综上，a的值为3或2，
故选：A.
12.答案：C
解析：∵，
当时，，故①错误，
∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确；
∵，，， ，……
∴，故③正确；
∵，，，……
∴
，故④错误，
综上，正确的有2个.
故选：C.
13.答案：
解析：∵汽车的速度是骑车师生速度的2倍,且骑车师生的速度为,
∴汽车的速度为,
根据题意得：,
故答案为：.
14.答案：且
解析：由，得：且，
∵关于x的方程的解是正数，
∴且，
解得：且，
故答案是：且.
15.答案：20
解析：设抢修车的速度为x千米/时,则吉普车的速度为千米/时,
由题意得：
解得：,
经检验,是原方程的根.
故答案为：20.
16.答案：或3/3或
解析：去分母,得：,
整理,得：,
当时,分式方程无解,
当时,若,则,即；
即当时,是增根,分式方程无解,
综上所述,或,
故答案为：3或.
17.答案：且
解析：,
方程两边同乘,得,
,
解得,,
∵关于x的分式方程的解是负数,
,
解得,且,
故答案为：且.
18.答案：
解析：去分母得：,
移项得：,
合并同类项得：,
系数化为1得：,
检验,当时,,
原方程的解为.
19.答案：（1）大巴车的平均速度是，小车的平均速度是
（2）张老师追上大巴车时，他距离基地还有
解析：（1）设大巴车的平均速度是，则小车的平均速度是.
根据题意，得，
解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：大巴车的平均速度是，小车的平均速度是.
（2）设张老师追上大巴车时，他行驶了.
根据题意，得，解得，
张老师追上大巴车时，他距离基地还有.
答：张老师追上大巴车时，他距离基地还有.
20.答案：（1）见解析
（2）4
解析：（1）①；去分母；等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等）
②检验：当时，，
因此不是原分式方程的解.
原分式方程无解.
理由如下：
分式方程的解需要满足分式有意义的条件，
解完分式方程必须检验.
（2）根据题中的运算法则，得
，
去分母，得，
移项，得，
解得.
检验：当时，，
是该分式方程的解，故x的值为4.
21.答案：(1)地铁的平均速度为40千米/小时；
(2)①（元/斤）；（元/斤）；②小聪的平均价格低
解析：（1）（1）设公交的平均速度为x千米/小时，则地铁的平均速度为千米/小时，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：地铁的平均速度为40千米/小时.
（2）①（元/斤）
（元/斤）
故答案为：（元/斤）；（元/斤）
②小聪的平均价格低，理由如下：
，
，
小聪的平均价格低.
22.答案：（1）
（2）3
解析：（1）方程整理得，
去分母得，解得.
检验：当时，，
分式方程的解为.
（2）设原题中“◆”是a，
方程变形得，
去分母得.
由分式方程无解，得到，把代入整式方程得.
故原题中“◆”是3.
23.答案：（1）
（2）
解析：（1）小恒同学发现的规律为：已知a，b，c，d均不为0，
若，则①，②；
故答案为：；
（2），
从而可得：，
，
，
，
解得，
经检验都是原方程的解，
故原方程的解为．
