专题七 一元二次方程（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.关于x的方程,其中a,b,c满足和.则该方程的根是( )
A.1,3 B.1, C.,3 D.,
2.一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
3.“绿色电力.与你同行”,我国新能源汽车销售量逐年增加,据统计,2022年新能源汽车年销售量为690万辆,预计2024年新能源汽车手销售量将达到1166万辆,设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x,则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知x为实数,且满足,那么的值为( )
A.1 B.-3或1 C.3 D.-1或3
5.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )
A. B.且
C. D.且
6.若菱形两条对角线的长度是方程的两个根，则该菱形的边长为( )
A. B.4 C. D.5
7.中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到小明短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有133人，那么小明发短信的人数为
A.8 B.9 C.10 D.11
8.已知关于y的一元二次方程的根都是整数，且m满足等式，则满足条件的所有整数m的和是( )
A.-5 B.-4 C.0 D.-6
9.已知关于x的一元二次方程，其中m，n满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( )
A.无实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
10.如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设，则b的值为( )
A. B. C. D.
11.定义为方程的特征数.若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为( )
A.或4 B.4 C. D.或1
12.对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则；
⑤若方程两根为且满足，则方程，必有实数根，.其中，正确的是( )
A.②④⑤ B.②③⑤ C.①②③④⑤ D.①②④⑤
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.在实数范围内定义一种运算“”,其规则为,根据这个规则,方程的解为______.
14.一个两位数等于它的两个数字积的3倍,十位上的数字比个位上的数字小2,则这个两位数是____________.
15.已知三个均不为0且互不相等的实数m，n，p，满足，.请解决下列问题：
(1)当时，__________；
(2)当时，___________.
16.如图有一个三角形点阵,从上向下有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,,第n行有n个点,容易发现,10是三角点阵中前4行的点数之和当三角点阵中点数之和是时,则三角点阵点的行数为______.
17.关于x的方程两根为m，n，且，则a的值为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）解方程：
(1).
(2).
19.（8分）2022年暑期,我区遭遇连续高温和干旱,一居民小区的部分绿化树枯死.小区物业管理公司决定补种绿化树,计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种.其中小叶榕每棵680元,香樟每棵1000元,经测算,购买两种树共需38800元.
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时,经物业管理公司与商家协商,每棵小叶榕和香樟的售价均下降元(),且两种树的售价每降低10元,物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵,香樟1棵.物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元,求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
20.（8分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”,例如,一元二次方程的两个根是和,则方程是“倍根方程”.
(1)根据上述定义,通过计算,判断一元二次方程是不是“倍根方程”；
(2)若一元二次方程是“倍根方程”,求c的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”,求a、b、c之间的关系.
21.（10分）周末,小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发,匀速跑向距离处的B地,小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍,那么小明比小红早5分钟到达B地.
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后,小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息),据了解,在他从跑步开始前30分钟内,平均每分钟消耗热量10卡路里,超过30分钟后,每多跑步1分钟,平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里,在整个锻炼过程中,小明共消耗2300卡路里的热量,小明从A地到C地锻炼共用多少分钟.
22.（12分）已知关于x的一元二次方程有,两个实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若,求及m的值；
(3)是否存在实数m,满足？若存在,求出实数m的值；若不存在,请说明理由.
23.（13分）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：,.习惯上把这个结论称作“韦达定理”.
定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根(都不为0),且其中一个根等于另外一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程的两个根是和,则方程就是“倍根方程”。
(1)若一元二次方程是“倍根方程”,求c的值；
(2)若是“倍根方程”,求m与n的关系；
(3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”,请说明,
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意可知,当时,；
当时,；
∴该方程的根是1,,
故选：B.
2.答案：B
解析：,
,
,
,
故选B.
3.答案：A
解析：依题意得,,
故选：A.
4.答案：A
解析：令,则原方程可化为.
分解因式得,.解得,.
当时,,无解；
当时,,有解.
故选A.
5.答案：B
解析：由题意知，，方程有两个不相等的实数根，
所以，.
又方程是一元二次方程，，
且.
故选：B.
6.答案：A
解析：解方程，得或.
如图，由题意得，.
四边形ABCD是菱形，
，，，在中，由勾股定理，得，故选A.
7.答案：D
解析：设小明发短信的人数为x.
由题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
即小明发短信的人数为11.
8.答案：D
解析：满足等式，
，解得，
，
，
解得，，
关于y的一元二次方程的根都是整数，且，m是整数，
或-2或-4，
满足条件的所有整数m的和是.
故选D.
9.答案：C
解析：，
，
，
，
原方程有两个不相等的实数根，
故选：C.
10.答案：B
解析：根据题意得：正方形的边长为，长方形的长为，宽为b，
则，即，
，
，
解得：，
，
，
当时，，
故选：B.
11.答案：C
解析：根据题意可知，该方程为，
方程的两实数根的平方和为12，
，
，
设两实数根为，，则，，
，
整理得：，
解得：，，
，
，
故选：C.
12.答案：D
解析：①若，则是一元二次方程的解
，故①正确；
②方程有两个不相等的实数根
方程必有两个不相等的实数根，故②正确；
③c是方程的一个根
当时，无法得出，故③错误；
④是一元二次方程的根
，故④正确；
⑤方程两根为，
，
，
方程可化为：
即：
或，故⑤正确；
综上分析可知，正确的是①②④⑤.
故选：D
13.答案：或
解析：据题意得,
,
,
或.
故答案为：或.
14.答案：24
解析：设个位数字为a,则十位上的数字是.则
,
整理,得
,即,
解得,(不合题意,舍去),
则,
故答案是：24.
15.答案：(1)-6；
(2)2；
解析：(1)，，
，.
，
.
，
m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，
∴.
(2)，，
，.
，
，
m，n是一元二次方程的两个实数根，且，
，，
，
.
16.答案：24
解析：由于第一行有1个点,第二行有2个点第n行有n个点,
则前五行共有个点,
前10行共有个点,
,
前n行共有个点,
然后求它们的和,
前n行共有个点,
根据题意,有,
整理这个方程,得：,
解方程得：,(舍去),
故答案为：.
17.答案：/1.5/
解析：关于x的方程两根为m，n，
，，
，，
，
，
，
解得或，
，
a，b均为非零实数，
，
故答案为：.
18.答案：(1),
(2),
解析：(1)
,.
(2)
,.
19.答案：(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
解析：(1)设原计划购买小叶榕x棵,则购买香樟棵,
根据题意,可得,
解得,.
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵.
(2)根据题意,可得,
整理得,,
解得：,,
∵,∴,
∴购买了39棵小叶榕,17棵香樟,
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵.
20.答案：(1)是
(2)
(3)
解析：(1),即,
解得和,
故一元二次方程是“倍根方程”.
(2)由题意可设：与且是方程的两个根,
∴,
解得：,；
(3)设与是方程的解,
∴,,
∴消去n得：.
21.答案：(1)；
(2)
解析：(1)设小红的速度为,则小明的速度为,
依据题意列方程得,,
,
,
经检验,是原式方程的解.
.
小红的速度为,小明的速度为.
故答案为：；.
(2)小明的速度为,
小明从A地道B地需要的时间为：.
小明在他从跑步开始前30分钟内,平均每分钟消耗热量10卡路里,
.
设B地到C地的距离为,依据题意列方程得,
,
,
,
,
或(舍去).
A地到C地所需要时间为：.
故答案为：.
22.答案：(1)
(2),
(3)存在,1或4
解析：(1)∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
解得：.
(2)∵关于x的一元二次方程有,两个实数根,
∴,,且,
解得：,.
(3)∵关于x的一元二次方程有,两个实数根,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得：,,
∴存在实数m,它的值为1或4.
23.答案：(1)8
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)设方程的两个根为,,
∵一元二次方程是“倍根方程”,∴,
∵,,∴,∴,,∴；
(2)∵方程的一个根为2,
则另一个根为1或4,
当另一个根为1时,则,
∴,即：
当另一个根为4时,则,
∴,即：
(3)由求根公式得,,,
若,则,
化简得：.
若,则,
化简得：.
因此,总有.
