专题一 实数（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是：今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若收入80元记作+80元,则-60元表示( )
A.收入60元 B.收入20元 C.支出60元 D.支出20元
2.的相反数是( )
A.2024 B. C. D.
3.在实数：①，②，③，④，⑤中，无理数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列各式中,正确的是( )
A. B. C. D.
6.下列说法错误的是( )
A.1的平方根是 B.的立方根是
C.是2的平方根 D.是的平方根
7.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示那么化简的结果( )
A. B.b C. D.
8.下列说法错误的是( )
A.相反数等于本身的数是0 B.倒数等于本身的数是0及
C.绝对值等于本身的数是非负数 D.平方根等于本身的数是0
9.如图,在数轴上的点A表示的数是a,点B表示的是b,且a、b满足,点C表示的数是的倒数,若将数轴折叠,使得点A与点C重合,则与点B重合的点表示的数是( )
A.6 B.1 C.5.5 D.
10.已知那么的立方根为( )
A.0 B.-1 C.1 D.
11.有一款计算器，显示屏最多能显示14位（包括小数点）的数，例如：计算时，显示于显示屏.现在，想利用这款计算器知道中3的下一位数字是什么，可以用这款计算器计算下面( )的值.
A. B. C. D.
12.若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为( )（式子中的“+”，“-”依次相间）
A.22 B. C.23 D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.岳阳市《政府工作报告》指出，2023年我市加快发展现代农业，新建高标准农田41.3万亩.将“41.3万”用科学记数法表示应为_________.
14.我们用表示不大于a的最大整数,的值称为数a的小数部分,如,2.13的小数部分为.
(1)______,______,的小数部分______.
(2)设的小数部分为a,则______.
(3)已知：,其中x是整数；且,则的相反数是______.
15.如图1,在一条可以折叠的数轴上有A,B,C三点,其中点A,点B表示的数分别为-8和+5,现以点C为折点,将数轴向右对折,点A对应的点落在B的右边；如图2,再以点B为折点,将数轴向左折叠,点对应的点落在B的左边.若,B两点之间的距离为1,设B,C两点之间的距离为x,则______.
16.如果两个无理数的积是有理数，那么称这两个无理数为一对伙伴数，如与是一对伙伴数，与是一对伙伴数.若两个无理数a、b是一对伙伴数，则下列四个结论：①与一定是一对伙伴数；②与一定是一对伙伴数；③a与一定是一对伙伴数；④与可能是一对伙伴数.其中正确结论的序号为_________.
17.如图①，数轴上点A对应的数为-1，线段垂直于数轴，线段的长为.
（1）将线段绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点为，则点在数轴上表示的数为_______；
（2）在（1）的条件下，连接，则线段的长度可能落在图②中的第_______段（填序号）；
（3）若要使线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点与原点重合，则数轴的单位长度需扩大为原来的_______倍.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）观察下列两个等式：,给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a,b”为“共生有理数对”,记为,如：数对,都是“共生有理数对”.
(1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”；
(2)若是“共生有理数对”,则__________“共生有理数对”(填“是”或“不是”)；
(3)如果是“共生有理数对”,且,求的值.
19.（8分）如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形…如此进行下去.
(1)利用图形计算：；
(2)计算________；
(3)数轴上O,A两点的距离为3,一动点P从点A出发,按以下规律跳动,第1次跳动到的中点处,第2次从点跳动到的中点处,第3次从点跳动到的中点处.按照这样的规律继续跳动到点(,n是整数)处,那么线段的长度为________(,n是整数).
20.（8分）观察与探究：大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗？事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
又例如：∵,即,
∴的整数部分为2,小数部分为.
请解答：(1)的整数部分是__________,小数部分是__________.
(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值；
(3)已知：,其中x是整数,且,求的相反数.
21.（10分）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示数a、b.A、B两点之间的距离表示为.则数轴上A、B两点之间的距离.
回答下列问题：
(1)数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是______,如果,那么x为______；
(3)当取最小值时,符合条件的整数x有______；
(4)令,问当x取何值时,y最小,最小值为多少？请求解.
22.（12分）已知与互为相反数．
求的平方根；解关于x的方程．
已知正实数y的平方根是m和．
当时，求m．
若，求y的值．
在条件下，k是的小数部分，求的值备注：一个数的小数部分是指这个数减去不超过该数的最大整数
23.（13分）阅读下列材料：
正方形的边长为a，则其面积为.若正方形的边长增加b，则其面积是多少？
探究：如图把正方形分割成四个正方形或长方形，从中可以求得正方形面积是，同时又可以求得正方形的面积是.
所以可以得到：.
我们把公式称为完全平方公式.
例如：.
(1)探究1：请模仿上述例子进行填空：
______=______；
(2)探究2：究竟有多大呢？探究并完成填空：
我们知道面积是2的正方形的边长是，并且.设，则，由完全平方公式可得：______.
x的值很小，的值更小，可以略去，得：
解得：______.（保留到0.001）______.
(3)探究3：是不是有理数呢？
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，于是有.
是偶数，也是偶数，n是偶数，
设（t是正整数），则，即，
，m也是偶数
m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾. 假设错误
不是有理数.
解决问题：请你探究是不是有理数.
答案以及解析
1.答案：C
解析：根据题意,若收入80元记作+80元,则-60元表示支出60元.
故选C.
2.答案：A
解析：的相反数是2024,
故选：A.
3.答案：C
解析：,是整数,是分数,它们均为有理数;
都是无限不循环小数,它们均为无理数;
综上无理数有 3 个,
故选: C
4.答案：D
解析：A.,故A选项错误；
B.,故B选项错误；
C.,故B选项错误；
D.,故D选项正确.
故选：D.
5.答案：B
解析：A.,,,
,故此选项不成立；
B.,,,
,故此选项成立；
C.,,,
,故此选项不成立；
D.0大于一切负数,
,故此选项不成立；
故选：B.
6.答案：D
解析：A、1的平方根是,说法正确,故本选项不符合题意；
B、的立方根是,说法正确,故本选项不符合题意；
C、是2的平方根,说法正确,故本选项不符合题意；
D、是的平方根,原说法错误,故本选项符合题意；
故选：D.
7.答案：C
解析：由数轴可得，，，
故选：C.
8.答案：B
解析：A、相反数等于本身的数是0,原说法正确,本选项不符合题意；
B、倒数等于本身的数是1,,原说法错误,本选项符合题意；
C、绝对值等于本身的数是非负数,原说法正确,本选项不符合题意；
D、平方根等于本身的数是0,原说法正确,本选项不符合题意；
故选：B.
9.答案：A
解析：∵,
∴,,
∴,,
∵点C表示的数是的倒数,
∴点C表示的数是7,
∵,
将数轴折叠,使得点A与点C重合,
∴对折点表示的数为：,
∴.
故选：A.
10.答案：C
解析：
,,
,
,
的立方根为1.
故选C.
11.答案：B
解析：，
，有14位，不符合题意；
，有13位，符合题意；
，有14位，不符合题意；
，有14位，不符合题意；
故选：B.
12.答案：C
解析：，，
与之间共有2个数，
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
.
故选：C.
13.答案：
解析：41.3万，
故答案为：.
14.答案：(1)1,2,
(2)1
(3)
解析：(1),
,
,
,
,
,
的小数部分为：,
故答案为：1,2,；
(2),
,
的整数部分为2,
的小数部分为：,
,
,
,
,
,
故答案为：1；
(3),
,
,x是整数,且,
,,
,
的相反数为：,
故答案为：.
15.答案：6
解析：由折叠得：,,
∵,B两点之间的距离为1,
∴,
∵A表示-8,B表示+5,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴
故答案为：6.
16.答案：①②④
解析：a、b是两个无理数，
与是无理数，
两个无理数a、b是一对伙伴数，
是一个有理数，
是一个有理数，
与一定是一对伙伴数，故①结论正确；
两个无理数a、b是一对伙伴数，
是一个有理数
是一个有理数，故②结论正确；
两个无理数a、b是一对伙伴数，
a与一定是无理数，但不一定是有理数，故③结论不正确；
两个无理数a、b是一对伙伴数，
与一定是无理数，
，
当时，是有理数，故结论④正确，
其中正确结论的序号为①②④.
故答案为：①②④.
17.答案：；③；
解析：旋转后，，
点A向正半轴移动个单位即可得到对应的数值，即.
根据勾股定理可知，并且，
落在③内；
旋转后，，
若与原点重合，那么数轴的单位长度扩大即可.
故答案为：；③；
18.答案：(1)不是
(2)是
(3)
解析：(1)∵,
∴,
∴数对不是“共生有理数对”；
(2)∵是“共生有理数对”,
∴,
∴,
∴是“共生有理数对”,
故答案为：是；
(3)∵是“共生有理数对”,
∴,
∵,
∴,
∴.
19.答案：(1)
(2)或
(3)
解析：(1)由图形中数据可知,,,,
∴,
,
；
(2)同(1)理可得：
或；
(3)同(1)理可得：,
,
.
20.答案：(1)4；
(2)1
(3)
解析：(1)4；
(2)∵,,
∴的小数部分,的整数部分,
∴.
(3)∵,其中x是整数,且,
∴x是的整数部分,y是的小数部分.
∵,∴,
∴的整数部分是11,小数部分是,
∴,
∴的相反数是.
21.答案：(1)4；3
(2),1或-3
(3)-1,0,1,2
(4)时,y最小,最小值为4
解析：(1)数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：；
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：；
(2)∵A,B分别表示的数为x,-1,
∴数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,
如果,则,
解得：或-3；
(3)当取最小值时,,
∴符合条件的整数x有-1,0,1,2；
(4)当取最小值时,,
∴当时,y最小,
即最小值为：.
故时,y最小,最小值为4.
22.答案：（1）
（2）
5
9
解析：与互为相反数，，则，，，
当，时，，的平方根为：；
，，；
正实数y的平方根是m和，，得：，
当时，，；
，，，，则，，是正实数，．
当时，，，，．
23.答案：(1)，1024
(2)，0.014，1.414
(3)证明过程见详解
解析：(1).
故答案为：，1024.
(2)令，
即，
x的值很小，
的值更小，可以略去，
得：，
解得：.（保留到0.001），
，
故答案为：，0.014，1.414.
(3)假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，于是有.
是偶数，
也是偶数，
n是偶数，
设（t是正整数），则，即，
，
是偶数，
是偶数，
3是奇数，
是偶数，
m也是偶数，
m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾.
假设错误，
不是有理数.
