山西省太原市小店区太原市师范学校附属学校2024-2025学年
高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知命题，有实数解，则命题的否定是（ ）
A．，有实数解
B．，无实数解
C．，有实数解
D．，无实数解
3．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．或2 D．或
4．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设，则下面不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为，且对任意，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上为增函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程在区间上有4个不同的实根
二、填空题
12．已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为 ．
13．函数的零点，则的值为 ．
14．已知函数为定义在上的奇函数，则 .
三、解答题
15．已知集合，，，，求：
(1)的值；
(2)集合和集合；
(3)，的值.
16．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)判断在上的单调性并利用定义法证明；
(3)求在上的最大值.
17．近几年手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2025年利用3D技术生产手办，通过调研分析：生产手办全年需要投入固定成本8万元，生产手办（千件），其它成本为（万元），且，经调研可知每件手办的售价为100元，且每年内生产的手办当年全部销售完.
(1)求出2025年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式；
(2)2025年的年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
18．已知函数，.
(1)求证：为奇函数；
(2)解关于的不等式；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数的图像经过点，且两条对称轴间的距离的最小值为.
(1)求函数的解析式；
(2)当，求函数的单调递增区间；
(3)若关于的方程在上有且仅有两个实数根，求实数的取值范围，并求出的值.
参考答案
1．A
解析：因为集合，
所以.
故选：A.
2．B
解析：由存在量词命题的否定是全称量词命题可得命题的否定是，无实数解.
故选：B.
3．D
解析：由三角函数定义可得，解得，
所以的值为或.
故选：D.
4．D
解析：对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误；
对于BCD，是方程的两个根，
所以，
所以，
，故BC错误，D正确；
故选：D.
5．C
解析：依题意，，
所以.
故选：C
6．C
解析：由题意可知当时，单调递增，则①，
当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②，
因为函数是增函数，所以③，
由①②③解得，
故选：C
7．B
解析：因为，
所以，
因为，
所以，
因为
所以，
即，其余选项无法确定，
故选：B.
8．B
解析：对于A选项，，由，
当时，则不存在满足情况，故函数不是正积函数；
对于B选项，，由，
则任意一个自变量的值，都存在唯一一个满足，故函数是正积函数；
对于C选项，，
由，
得，当时，，则不唯一，
故函数不是正积函数；
对于D选项，，由，
当时，则不存在满足情况，故函数不是正积函数．
故选：B．
9．BC
解析：由题意，，则，
对于A，，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确；
故选：BC.
10．ABC
解析：对于A，，
所以，故A正确；
对于B，当时，，，所以，
当时， ，
即，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，，，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，，
，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：ABC
11．ACD
解析：∵对任意，都有，∴为偶函数.
∵，∴当时，，
∴，故，是周期为4的函数.
∵当且时，都有成立，
∴在上为增函数，函数大致图象如下：
由以上分析得，选项A正确.
由图象可得函数在区间上为减函数，选项B错误.
由图象可得直线是函数的一条对称轴，选项C正确.
由图象可得方程在区间上有4个不同的实根，分别为，选项D正确.
故选：ACD.
12．
解析：设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，
由扇形的面积公式，得，解得，
由弧长公式.
故答案为：.
13．
解析：因为和均单调递增，所以也单调递增，
又注意到，
所以由零点存在定理可知函数的唯一零点，
所以，即有.
故答案为：.
14．
解析：由于为定义在上的奇函数，
故的对称中心为，则，.
故答案为：2025
15．(1)；
(2)，；
(3).
解：（1）由题设，故，则.
（2）由（1）知：，
又，，所以；
（3）由（2）知，则，可得.
16．(1)；
(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析；
(3).
解：（1）因为，所以，即
因为，所以．
（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
因为，且，所以，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（3）当时，由（2）知在上单调递减，所以；
当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以若，则，
若，则．
综上，.
17．(1)
(2)年产量为10千件，最大利润是17万元.
解：（1）由题意得总收入：（万元），
当时，，
当时，
所以2025年总利润为：
（2）当时，，
当时，利润最大，最大利润是8万元.
当时，，
当且仅当，即：时，利润最大，最大利润是17万元.
因为，所以年产量为10千件时，利润最大，最大利润是17万元.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
解：（1）函数，即，
可得，解得或，
可得的定义域为，关于原点对称，
又，则为奇函数.
（2）不等式，即为式，
设，即，可得在上单调递减，
所以由，所以，解得，
所以原不等式的解集为.
（3）由题意，则，解得，
所以恒成立，即恒成立，
化为，即对恒成立
由，
当且仅当，即时，取得等号，
所以，即的取值范围是.
19．(1)
(2)
(3)的取值范围：，的值为：或.
解：（1）∵的图像经过点，
∴，∴或，
∵，∴，
令，解得，
∵两条对称轴间的距离的最小值为，
∴，且，
∴，
∴
（2）令，
解得，
当时，，时，
又∵，∴函数的单调递增区间为.
（3）由（2）可知函数在区间上函数单调递增，在上单调递减，
在区间内存在两条对称轴分别为和，
，，，
函数大致图像为：
∵有且仅有两个实根，即有两个交点，如图所示
由图像可知的取值范围：，
由三角函数的对称性可知的值为：或.
