10.1.1 两角和与差的余弦
［学习目标］ 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值.
一、两角和与差的余弦公式
问题1 教材是怎样推出公式cos(α-β)的？
问题2 如何由公式cos(α-β)得到公式cos(α+β)？
知识梳理
1.两角差的余弦公式
cos(α-β)= .(C(α-β))
2.两角和的余弦公式
cos(α+β)= .(C(α+β))
例1 计算：
(1)cos(-15°)；
(2)cos 105°；
(3)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°.
跟踪训练1 (1)cos 80°cos 35°+sin 80°cos 55°的值是( )
A. B.-
C. D.-
(2)cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)·sin(α+25°)=.
二、给值求值
例2 已知sin α=，求cos(α-β)的值.
反思感悟 (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角.
(2)在将所求角分解成某两角的和或差时，应注意如下变换：α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α=β-(β-α)，α=(2α-β)-(α-β)，α=［(β+α)-(β-α)］等.
跟踪训练2 已知sin α=-<β<π，求cos(α-β).
三、给值求角
例3 已知cos α=，求β的值.
跟踪训练3 若cos(α+β)=<α-β<π，求2β的值.
1.知识清单：
(1)两角和与差的余弦公式.
(2)已知三角函数值求值和求角.
2.方法归纳：换元法、转化与化归.
3.常见误区：忽略角所在的取值(从已给信息得出角α，β的正弦、余弦)范围导致出错.
1.cos 56°cos 26°+sin 56°cos 64°的值为( )
A. B.-
C. D.-
2.cos(-75°)的值为( )
A. B.
C. D.
3.cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°)= .
4.已知cos(α+β)=，则cos αcos β= ，sin αsin β= .
答案精析
问题1 用向量的数量积，如图所示，只考虑0≤α-β≤π的情况，
设向量a==(cos α，sin α)，b=
=(cos β，sin β)，
则a·b=|a||b|cos(α-β)
=cos(α-β).
又由向量数量积的坐标表示，有
a·b=cos αcos β+sin αsin β，
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
问题2 以-β代替公式cos(α-β)中的β，可以得到
cos(α+β)=cos［α-(-β)］
=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)
=cos αcos β-sin αsin β.
知识梳理
1.cos αcos β+sin αsin β
2.cos αcos β-sin αsin β
例1 解 (1)方法一 原式=cos(30°-45°)
=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°
=.
方法二 原式=cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
=.
(2)原式=-cos 75°=-cos(45°+30°)
=-(cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°)
=-.
(3)原式=cos(15°-105°)
=cos(-90°)=cos 90°=0.
跟踪训练1 (1)A (2)
例2 解 ∵α∈，
∴cos α=-.
又β∈，
∴sin β=-.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=
=.
跟踪训练2 解 ∵sin α=-，
π<α<，
∴cos α=-.
又∵sin β=<β<π，
∴cos β=-，
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=.
例3 解 ∵α，β∈，
∴α+β∈(0，π).
∵cos α=，
∴sin α=，
sin(α+β)=.
又∵β=(α+β)-α，
∴cos β=cos［(α+β)-α］
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=.
又∵β∈.
跟踪训练3 解 因为cos(α+β)=，
且<α+β<2π，
所以sin(α+β)=-.
因为sin(α-β)=<α-β<π，
所以cos(α-β)=-，
所以cos 2β=cos［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)·sin(α-β)
==-1.
又易得，所以2β=π.
随堂演练
1.C 2.C 3.(共72张PPT)
第10章
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10.1.1
两角和与差的余弦
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.
2.理解用向量法导出公式的主要步骤.
3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值.
学习目标
导 语
很多同学认为两角差的余弦cos(α-β)=cos α-cos β，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验：cos(60°-30°)与cos 60°-cos 30°的值作比较，cos(60°-30°)=cos 30°=，cos 60°-cos 30°=-，显然，cos(60°-30°)≠cos 60°-cos 30°，由此可得cos(α-β)=cos α-cos β不一定成立.
一、两角和与差的余弦公式
二、给值求值
课时对点练
三、给值求角
随堂演练
内容索引
两角和与差的余弦公式
一
提示 用向量的数量积，如图所示，只考虑0≤α-β≤π的情况，
设向量a==(cos α，sin α)，b==(cos β，sin β)，
则a·b=|a||b|cos(α-β)
=cos(α-β).
又由向量数量积的坐标表示，有
a·b=cos αcos β+sin αsin β，
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
教材是怎样推出公式cos(α-β)的？
问题1
提示 以-β代替公式cos(α-β)中的β，可以得到
cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.
如何由公式cos(α-β)得到公式cos(α+β)？
问题2
1.两角差的余弦公式
cos(α-β)= .(C(α-β))
2.两角和的余弦公式
cos(α+β)= .(C(α+β))
cos αcos β+sin αsin β
cos αcos β-sin αsin β
(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α-β)，cos(α+β)是一个整体.
(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、符号相反”记忆公式.
注 意 点
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计算：
(1)cos(-15°)；
例 1
方法一 原式=cos(30°-45°)
=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°
=×+×=.
方法二 原式=cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
=×+×=.
(2)cos 105°；
原式=-cos 75°=-cos(45°+30°)
=-(cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°)
=-×+×=.
(3)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°.
原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos 90°=0.
反
思
感
悟
(1)把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
(1)cos 80°cos 35°+sin 80°cos 55°的值是
A. B.-
C. D.-
跟踪训练 1
√
原式=cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°
=cos(80°-35°)=cos 45°=.
(2)cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)·sin(α+25°)=______.
原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]
=cos(-35°-25°)=cos(-60°)=cos 60°=.
二
给值求值
已知sin α=，α∈，cos β=-，β∈，求cos(α-β)的值.
例 2
∵α∈，sin α=，
∴cos α=-=-.
又β∈，cos β=-，
∴sin β=-=-.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×=.
反
思
感
悟
(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角.
(2)在将所求角分解成某两角的和或差时，应注意如下变换：α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α=β-(β-α)，α=(2α-β)-(α-β)，α=[(α+β)+(α-β)]，α=[(β+α)-(β-α)]等.
已知sin α=-，sin β=，且π<α<，<β<π，求cos(α-β).
跟踪训练 2
∵sin α=-，π<α<，
∴cos α=-=-.
又∵sin β=<β<π，
∴cos β=-=-，
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×=.
给值求角
三
已知，已知cos α=，cos(α+β)=-，且α，β∈，求β的值.
例 3
∵α，β∈，∴α+β∈(0，π).
∵cos α=，cos(α+β)=-，
∴sin α==，
sin(α+β)==.
又∵β=(α+β)-α，
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
又∵β∈，∴β=.
反
思
感
悟
(1)求角的某一个三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.
求解给值求角问题的一般步骤
若cos(α+β)=，sin(α-β)=，且<α+β<2π，<α-β<π，求2β的值.
跟踪训练 3
因为cos(α+β)=<α+β<2π，
所以sin(α+β)=-.
因为sin(α-β)=<α-β<π，
所以cos(α-β)=-，
所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+×=-1.
又易得<2β<，所以2β=π.
1.知识清单：
(1)两角和与差的余弦公式.
(2)已知三角函数值求值和求角.
2.方法归纳：换元法、转化与化归.
3.常见误区：忽略角所在的取值(从已给信息得出角α，β的正弦、余弦)范围导致出错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.cos 56°cos 26°+sin 56°cos 64°的值为
A. B.-
C. D.-
√
原式=cos 56°cos 26°+sin 56°sin 26°
=cos(56°-26°)=cos 30°=.
2.cos(-75°)的值为
A. B.
C. D.
√
1
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3
4
原式=cos 75°=cos(30°+45°)
=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°
=×-×=.
3.cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°)= .
1
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4
原式=cos[(x+27°)-(x-18°)]
=cos 45°=.
1
2
3
4
4.已知cos(α+β)=，cos(α-β)=，则cos αcos β= ，sin αsin β= .
由两角和与差的余弦公式得，
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=， ①
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. ②
①+②，整理可得，cos αcos β=，
①-②，整理可得，sin αsin β=-.
-
课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B BD D A 0 -
题号 11 12 13 14 15
答案 A B ± D
对一对
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9.
(1)∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为，
∴sin α=，
又α为锐角，∴cos α=.
答案
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9.
(2)∵β为钝角，由(1)得cos β=-，
∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α
=-.
答案
1
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6
7
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10.
因为sin(α-β)=，
且α-β∈，
所以cos(α-β)=-
=-，
答案
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10.
cos(α+β)=
=，
所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=.
答案
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16.
因为，
所以<2α-β<π.
因为cos(2α-β)=-，
所以<2α-β<π，
所以sin(2α-β)=.
答案
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16.
因为，
所以-.
因为sin(α-2β)=.
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=-=0.
答案
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1.cos cos -sin sin 等于
A. B.
C. D.1
√
基础巩固
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答案
原式=cos=cos =.
2.cos 165°等于
A. B.
C.- D.-
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√
原式=cos(180°-15°)=-cos 15°
=-cos(45°-30°)
=-(cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°)=-.
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答案
3.向量a=(sin α，cos α)，b=(cos β，sin β)，且a∥b，若α，β∈，则α+β等于
A.0 B.
C. D.π
√
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答案
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10
由向量平行可得sin αsin β-cos αcos β=0，
即cos(α+β)=0，
又∵α，β∈，∴α+β∈[0，π]，∴α+β=.
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答案
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10
4.(多选)满足cos αcos β=+sin αsin β的一组α，β的值是
A.α=，β= B.α=，β=-
C.α=，β= D.α=，β=
√
因为cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)，代入可得BD正确.
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答案
√
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10
5.若x∈[0，π]，sin sin =cos cos ，则x的值为
A. B.
C. D.
√
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答案
1
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由题意得cos cos -sin sin =0，
所以cos=0.
所以cos x=0，
又因为x∈[0，π]，所以x=.
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答案
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6.已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α=，sin β=-，则cos(α-β)的值为
A.- B.-
C. D.
√
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答案
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∵α为锐角，且cos α=，
∴sin α==.
∵β为第三象限角，且sin β=-，
∴cos β=-=-，
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×=-.
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答案
7.计算：sin 60°-cos 60°= .
原式=sin 30°sin 60°-cos 30°cos 60°
=-cos(30°+60°)=-cos 90°=0.
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0
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答案
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答案
8.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m，且β为第三象限角，则sin β=
.
∵cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α
=cos[(α-β)-α]=m，即cos β=m.
又∵β为第三象限角，
∴sin β=-=-.
-
9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β；
1
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10
∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为，
∴sin α=，sin β=，
又α为锐角，∴cos α=.
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答案
(2)在(1)的条件下，求cos(β-α)的值.
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∵β为钝角，由(1)得cos β=-，
∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α
=-×+×=.
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答案
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10.已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求cos 2β的值.
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答案
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因为sin(α-β)=，sin(α+β)=-，
且α-β∈，α+β∈，
所以cos(α-β)=-=-=-，
cos(α+β)===，
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答案
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所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+×=-.
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答案
11.若cos x-sin x=4-m，则实数m的取值范围是
A.3≤m≤5 B.-5≤m≤5
C.3
综合运用
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答案
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答案
因为cos x-sin x=cos
=4-m，
所以-1≤4-m≤1，
所以-5≤-m≤-3，即3≤m≤5.
12.已知sin α-sin β=1-，cos α-cos β=，则cos(α-β)的值为
A. B.
C. D.1
√
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答案
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答案
因为sin α-sin β=1-，
所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=-. ①
又因为cos α-cos β=，
所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=. ②
由①+②得，2cos(α-β)=，
所以cos(α-β)=.
13.设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a=(2cos A，2sin A)，b=(3cos B，3sin B).若a，b的夹角的弧度数为，则A-B= .
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16
答案
±
cos =
=
=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B).
又A，B为锐角△ABC的两个内角，
∴0
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答案
14.已知0<α<π，sin=，则cos α= .
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答案
由0<α<π，得<α+<，
又sin=<<α+<π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得cos=-=-，
cos α=cos=coscos +sinsin =-×+×
=.
1
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16
答案
15.《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，则cos(α-β)的值为
A. B.
C. D.
√
拓广探究
1
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答案
设大正方形的边长为1，
由于小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，
可得小正方形的边长为，
可得cos α-sin α=， ①
sin β-cos β=. ②
由图可得cos α=sin β，sin α=cos β，
1
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答案
所以①×②得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β
=sin2β+cos2β-cos(α-β)
=1-cos(α-β)，
解得cos(α-β)=.
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答案
16.已知cos(2α-β)=-，sin(α-2β)=，且<α<，0<β<，求cos(α+β)的值.
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答案
因为<α<，0<β<，
所以<2α-β<π.
因为cos(2α-β)=-，
所以<2α-β<π，
所以sin(2α-β)=.
因为<α<，0<β<，
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答案
所以-<α-2β<.
因为sin(α-2β)=，所以0<α-2β<，
所以cos(α-2β)=.
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=-×+×=0.
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16
答案10.1.3 两角和与差的正切
［学习目标］ 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
一、两角和与差的正切公式
问题1 根据两角和与差的正弦、余弦公式，如何求tan 15°的值？
问题2 如何由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
问题3 如何由两角和的正切公式得到两角差的正切公式？
知识梳理
两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切公式 tan(α+β)=_________ T(α+β) α，β，α+β≠kπ+(k∈Z)
两角差的正切公式 tan(α-β)=_________ T(α-β) α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)
例1 化简求值：
(1)；
(2)；
(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
跟踪训练1 (1)化简等于( )
A. B.
C.3 D.1
(2)(1+tan 18°)(1+tan 27°)= .
二、给值求值(角)
例2 (1)已知tan(α+β)=等于( )
A. B.
C. D.
(2)已知tan(α-β)=，α，β∈(0，π)，求tan(2α-β)的值.
延伸探究 在本例(2)的条件下，求2α-β.
跟踪训练2 已知tan α=<β<π.求：
(1)tan(α-β)的值；
(2)α+β的值.
三、两角和与差的正切公式的综合应用
例3 (1)已知tan α=2，证明：sin2α+sin αcos α=.
(2)如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，在BC上取一点P，使得AB+BP=PD，求tan∠APD的值.
反思感悟 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
跟踪训练3 (1)如图，在某开发区内新建两栋高楼AB，CD(AC为水平地面)，P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角∠BPD=45°，AB=AC=50 m.试求楼CD的高度(测量仪器的高度不计).
(2)若A+B=，求证：tan Atan B+tan A+tan B=1.
1.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)给值求值(角).
(3)两角和与差的正切公式的综合应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.
1.tan 105°等于( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
2.已知sin α=，α为第二象限角，且tan(α+β)=-，则tan β的值为( )
A.- B.
C.- D.
3.计算= .
4.已知A，B都是锐角，且tan A=，则A+B= .
答案精析
问题1 先分别求出sin 15°和cos 15°，再由tan 15°=即可求得.
问题2 tan(α+β)=
=
=.
问题3 用-β代替tan(α+β)中的β即可，
则tan(α-β)=.
知识梳理
例1 解 (1)原式=tan(74°+76°)
=tan 150°=-.
(2)原式=
=tan 60°=1.
(3)∵tan 60°=，
∴tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°，
∴tan 23°+tan 37°+.
跟踪训练1 (1)B (2)2
例2 (1)C
(2)解 ∵tan β=-，
∴tan α=tan［(α-β)+β］
=
=，
tan(2α-β)=tan［(α-β)+α］
=
==1.
延伸探究 解 由本例(2)知，
tan(2α-β)=1.
∵tan α=<0，α，β∈(0，π)，
∴α∈，
∴α-β∈(-π，0).
又∵tan(α-β)=>0，
∴α-β∈，
2α-β=α+(α-β)∈(-π，0).
而tan(2α-β)=1，∴2α-β=-.
跟踪训练2 解 (1)tan(α-β)
=
==7.
(2)∵tan(α+β)
==-1，
且0<α<<β<π，
∴，
∴α+β=.
例3 (1)证明 因为tan α=2，
所以左边
=
=.
右边=
=
=
=，
所以左边=右边，
所以原等式成立.
(2)解 由AB+BP=PD，
得a+BP=，
解得BP=a，
设∠APB=α，∠DPC=β，
则tan α=，
∴tan(α+β)==-18，
又∠APD+α+β=π，
∴tan∠APD=tan
=-tan(α+β)=18.
跟踪训练3 (1)解 如图，
设∠APB=α，∠CPD=β，
则α+β+45°=180°，β=135°-α.
依题意，得tan α==2.
∴tan β=tan(135°-α)
==3.
∴在Rt△DCP中，CD=PCtan β=25×3=75.
即楼CD的高度为75 m.
(2)证明 ∵A+B=，
左边=tan Atan B+tan A+tan B
=tan Atan B+tan(A+B)(1-tan Atan B)
=tan Atan B+tan(1-tan Atan B)
=tan Atan B+1-tan Atan B=1=右边.
∴原等式成立.
随堂演练
1.A 2.C 3.1 4.(共82张PPT)
第10章
<<<
10.1.3
两角和与差的正切
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
学习目标
导 语
如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α=，tan β=，∠COD=α-β.能否求出tan(α-β)和tan(α+β)的值？
一、两角和与差的正切公式
二、给值求值(角)
课时对点练
三、两角和与差的正切公式的综合应用
随堂演练
内容索引
两角和与差的正切公式
一
提示 先分别求出sin 15°和cos 15°，再由tan 15°=即可求得.
根据两角和与差的正弦、余弦公式，如何求tan 15°的值？
问题1
提示 tan(α+β)=
==.
如何由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
问题2
提示 用-β代替tan(α+β)中的β即可，
则tan(α-β)=.
如何由两角和的正切公式得到两角差的正切公式？
问题3
两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切公式 tan(α+β)=___________ T(α+β) α，β，α+β≠kπ+(k∈Z)
两角差的正切公式 tan(α-β)=___________ T(α-β) α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)
(1)T(α±β)公式适用的条件应满足tan α，tan β，tan(α±β)有意义.
(2)公式的结构特征：右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β
的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
(3)符号规律：分子同，分母反.
注 意 点
<<<
化简求值：
(1)；
例 1
原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2)；
原式=
=tan(45°+15°)=tan 60°=1.
(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
∵tan 60°==，
∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°，
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
反
思
感
悟
(1)分析式子结构，正确选用公式形式.
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
(2)注意隐含条件，能缩小角的范围.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)化简等于
A. B.
C.3 D.1
跟踪训练 1
√
=
=tan(45°-15°)
=tan 30°=.
(2)(1+tan 18°)(1+tan 27°)= .
(1+tan 18°)(1+tan 27°)
=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°
=1+tan 45°(1-tan 18°tan 27°)+tan 18°tan 27°=2.
2
二
给值求值(角)
(1)已知tan(α+β)=，tan=，那么tan等于
A. B.
C. D.
例 2
√
tan=tan
=
==.
(2)已知tan(α-β)=，tan β=-，α，β∈(0，π)，求tan(2α-β)的值.
∵tan β=-，tan(α-β)=，
∴tan α=tan[(α-β)+β]===，
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]===1.
在本例(2)的条件下，求2α-β.
延伸探究
由本例(2)知，tan(2α-β)=1.
∵tan α=>0，tan β=-<0，α，β∈(0，π)，
∴α∈，β∈，
∴α-β∈(-π，0).
又∵tan(α-β)=>0，
∴α-β∈，2α-β=α+(α-β)∈(-π，0).
而tan(2α-β)=1，∴2α-β=-.
反
思
感
悟
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
已知tan α=，tan β=-2，且0<α<<β<π.
求：(1)tan(α-β)的值；
跟踪训练 2
tan(α-β)=
==7.
(2)α+β的值.
∵tan(α+β)===-1，
且0<α<<β<π，
∴<α+β<，
∴α+β=.
两角和与差的正切公式的综合应用
三
(1)已知tan α=2，证明：sin2α+sin αcos α=--.
例 3
因为tan α=2，
所以左边====.
右边=--=--
=--tan=--tan =，
所以左边=右边，
所以原等式成立.
(2)如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，在BC上取一点P，使得AB+BP=PD，求tan∠APD的值.
由AB+BP=PD，
得a+BP=，
解得BP=a，PC=a，
设∠APB=α，∠DPC=β，
则tan α==，tan β==，
∴tan(α+β)==-18，
又∠APD+α+β=π，
∴tan∠APD=tan
=-tan(α+β)=18.
反
思
感
悟
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
(1)如图，在某开发区内新建两栋高楼AB，CD(AC为水平地面)，P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角∠BPD=45°，AB=AC=50 m.试求楼CD的高度(测量仪器的高度不计).
跟踪训练 3
如图，设∠APB=α，∠CPD=β，
则α+β+45°=180°，β=135°-α.
依题意，得tan α===2.
∴tan β=tan(135°-α)
===3.
∴在Rt△DCP中，CD=PCtan β=25×3=75.
即楼CD的高度为75 m.
(2)若A+B=，求证：tan Atan B+tan A+tan B=1.
∵A+B=，
左边=tan Atan B+tan A+tan B
=tan Atan B+tan(A+B)(1-tan Atan B)
=tan Atan B+tan(1-tan Atan B)
=tan Atan B+1-tan Atan B=1=右边.
∴原等式成立.
1.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)给值求值(角).
(3)两角和与差的正切公式的综合应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.tan 105°等于
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
√
原式=tan(60°+45°)
===-2-.
2.已知sin α=，α为第二象限角，且tan(α+β)=-，则tan β的值为
A.- B.
C.- D.
√
1
2
3
4
1
2
3
4
∵α为第二象限角，sin α=，
∴cos α=-，∴tan α=-.
∴tan β=tan[(α+β)-α]=
==-.
3.计算= .
1
2
3
4
1
原式==tan(60°-15°)
=tan 45°=1.
1
2
3
4
4.已知A，B都是锐角，且tan A=，sin B=，则A+B= .
∵B为锐角，sin B=，
∴cos B=，∴tan B=，
∴tan(A+B)===1.
又∵0
五
答案
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B A A CD
题号 11 12 13 14 15
答案 C C 3 D
9.
(1)∵tan=2，
∴=2，
解得tan α=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
9.
(2)原式=
=
=tan(β-α)=
=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
由tan B+tan C+得，
tan(B+C)=
=，
又0
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
又由tan B+1
=tan Atan B得，
tan(A+B)=
=.
又0
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
由①②及A+B+C=π，
解得B=.
∴△ABC为等腰三角形.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
假设存在锐角α，β使得(1)α+2β=同时成立.
由(1)得，
所以tan.
又tan ，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
所以tan ，
因此tan =0的两个根，设方程的两根分别为x1，x2，
解得x1=1，x2=2-.
若tan ，这与α为锐角矛盾，
所以tan ，tan β=1，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
所以α=，
所以满足条件的α，β存在，
且α=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.tan 255°等于
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
√
基础巩固
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
原式=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)=
===2+.
11
12
13
14
15
16
答案
2.设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的两个实数根，则tan(α+β)的值为
A.-3 B.-1
C.1 D.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
11
12
13
14
15
16
答案
由题意知tan α+tan β=3，tan α·tan β=2，
所以tan(α+β)===-3.
3.若tan 28°tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°等于
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
∵28°+32°=60°，
∴tan 60°=tan(28°+32°)
==，
∴tan 28°+tan 32°=(1-m).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.与相等的是
A.tan 66° B.tan 24°
C.tan 42° D.tan 21°
√
11
12
13
14
15
16
答案
原式=
=tan(45°+21°)=tan 66°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
√
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由题意知tan A+tan B=，tan Atan B=，
∴tan(A+B)==，
∴tan C=tan
=-tan(A+B)=-，
又C∈(0，π)，∴C为钝角.
∴△ABC为钝角三角形.
11
12
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14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6.(多选)已知cos α=-，则tan等于
A.- B.-7
C. D.7
√
√
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为cos α=-，
所以sin α=±=±，
所以tan α=±.
当tan α=时，tan==；
当tan α=-时，tan==7.
11
12
13
14
15
16
答案
7.已知=3，tan(α-β)=2，则tan(β-2α)= .
由条件知==3，
则tan α=2.
因为tan(α-β)=2，
所以tan(β-α)=-2.
故tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]
===.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
8.已知tan=，tan=-，则tan = .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tan =tan
=
==.
11
12
13
14
15
16
答案
9.已知tan=2，tan β=.
(1)求tan α的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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答案
∵tan=2，
∴=2，∴=2，
解得tan α=.
(2)求的值.
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答案
原式=
==
=tan(β-α)===.
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10.在△ABC中，tan B+tan C+tan Btan C=，tan A+tan B+1=
tan Atan B，试判断△ABC的形状.
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答案
1
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10
由tan B+tan C+tan Btan C=得，
tan(B+C)=
==，
又0
又由tan A+tan B+1=tan Atan B得，
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答案
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tan(A+B)=
==-.
又0
由①②及A+B+C=π，
解得B=，C=，A=.
∴△ABC为等腰三角形.
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答案
11.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为
A.16 B.8
C.4 D.2
√
综合运用
1
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答案
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答案
由于21°+24°=45°，23°+22°=45°，
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2，
(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2，
故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.
12.已知α，β均为锐角，且tan β=，则tan(α+β)等于
A. B.
C.1 D.
√
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答案
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答案
因为tan β===tan，
又α，β均为锐角，
所以-<-α<，0<β<，可得β=-α，
即α+β=，
所以tan(α+β)=tan =1.
13.已知tan α+tan β=2，tan(α+β)=4，则tan2α+tan2β的值为 .
因为tan(α+β)=4，
所以=4，
又tan α+tan β=2，所以tan αtan β=，
所以tan2α+tan2β=(tan α+tan β)2-2tan αtan β
=22-2×=3.
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答案
3
14.已知α，β，γ都是锐角，且tan α=，tan β=，tan γ=，则α+β+γ= .
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答案
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答案
∵tan(α+β)===，
∴tan(α+β+γ)===1，
∵α，β，γ∈，∴α+β∈(0，π)，
又tan(α+β)=>0，∴α+β∈，
∴α+β+γ∈(0，π)，∴α+β+γ=.
15. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为a2，大正方形的面积为25a2，直角三角形中较小的锐角为θ，则tan等于
A.- B.-
C.- D.-
拓广探究
1
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答案
√
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6
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16
答案
由题意可知小正方形的边长为a，大正方形的边长为5a，一个直角三角形的面积为
=6a2，
设直角三角形的直角边分别为x，y，且x
∴直角三角形的面积为S=xy=6a2，
可得x=3a，y=4a，
1
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16
答案
∴tan θ==，
∴tan=
===-.
16.是否存在锐角α，β，使得(1)α+2β=，(2)tan ·tan β=2-同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由.
1
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答案
假设存在锐角α，β使得(1)α+2β=，(2)tan tan β=2-同时成立.
由(1)得+β=，
所以tan==.
又tan tan β=2-，
所以tan +tan β=3-，
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答案
因此tan ，tan β可以看成方程x2-(3-)x+2-=0的两个根，设方程的两根分别为x1，x2，
解得x1=1，x2=2-.
若tan =1，则α=，这与α为锐角矛盾，
所以tan =2-，tan β=1，
所以α=，β=，
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答案
所以满足条件的α，β存在，
且α=，β=.
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答案10.1.2 两角和与差的正弦
第1课时 两角和与差的正弦(一)
［学习目标］ 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简.
一、两角和与差的正弦公式
问题1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
问题2 如何由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
知识梳理
两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦公式 S(α+β) sin(α+β)= α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α-β) sin(α-β)= α，β∈R
例1 (1)化简：sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°= ；
(2)求值：sin 15°+sin 75°= ；
(3)已知α，β为锐角，且sin α=，则sin(α+β)的值为 ，sin(α-β)的值为 .
跟踪训练1 (1)化简：sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°= ；
(2)求值：= .
二、给值求值
例2 已知α，β都是锐角，且sin α=，求sin β的值.
反思感悟 给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”或特殊角与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
跟踪训练2 已知cos(α为锐角)，则sin α等于( )
A. B.
C. D.
三、 给值求角
例3 已知sin的值.
跟踪训练3 已知锐角α，β满足sin α=， 求α-β的值.
1.知识清单：
(1)两角和与差的正弦公式.
(2)给值求值.
(3)给值求角.
2.方法归纳：构造法、转化化归.
3.常见误区：求角或求值时易忽视角的范围.
1.sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°的值为( )
A.- B.-
C. D.
2.设α∈，若sin α=，则2sin等于( )
A. B.
C. D.2
3.已知cos(α-β)=，sin β=-，且α∈，β∈，则sin α等于( )
A. B.
C.- D.-
4.已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，那么β等于( )
A. B.
C. D.
答案精析
问题1 sin(α+β)=cos
=cos
=cossin β
=sin αcos β+cos αsin β.
问题2 在两角和的正弦公式中，用-β代替β，
可以得到sin(α-β)=sin
=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)
=sin αcos β-cos αsin β.
知识梳理
sin α·cos β+cos αsin β
sin α·cos β-cos αsin β
例1 (1)
解析 (1)原式=sin(20°+40°)=sin 60°=.
(2)原式=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°
=2sin 45°cos 30°=2×.
(3)∵α，β都是锐角，且sin α=，
sin β=，
∴cos α=，
cos β=.
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=.
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=.
跟踪训练1 (1)
解析 (1)原式=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)
=sin 30°=.
(2)原式
=
=
=
=.
例2 解 ∵α为锐角，且sin α=，
∴cos α=，
∵α，β都是锐角，
∴-，
又sin(α-β)=，
∴cos(α-β)=
=，
∴sin β=sin［α-(α-β)］
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=.
跟踪训练2 D
例3 解 方法一 ∵α-，
β-，
∴0<，
cos.
∴cos
=cos
=cos-sin
=，
∴.
方法二 ∵sin，
sin，
α-，
∴α-，
β-，
∴，
cos，
cos.
∴sin
=sin
=sin+cos
=，
∴.
跟踪训练3 解 因为α，β均为锐角，
且sin α=，
所以cos α=，
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=.
又因为α，β均为锐角，
所以-.
随堂演练
1.B 2.A 3.A 4.C(共87张PPT)
第10章
<<<
第1课时
两角和与差的正弦(一)
1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简.
学习目标
导 语
变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果.那么在三角函数中，两角和与差的正弦、余弦、正切之间又有怎样的变换呢？
一、两角和与差的正弦公式
二、给值求值
课时对点练
三、 给值求角
随堂演练
内容索引
两角和与差的正弦公式
一
提示 sin(α+β)=cos
=cos
=coscos β+sinsin β
=sin αcos β+cos αsin β.
如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
问题1
提示 在两角和的正弦公式中，用-β代替β，
可以得到sin(α-β)=sin
=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)
=sin αcos β-cos αsin β.
如何由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
问题2
两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦公式 S(α+β) sin(α+β)=___________________ α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α-β) sin(α-β)=_____________________ α，β∈R
sin α·cos β+cos αsin β
sin α·cos β-cos αsin β
(1)公式中的α，β既可以是一个角，也可以是几个角的组合.
(2)两角和与差的正弦公式可记忆为“正余余正，符号相同”.
注 意 点
<<<
(1)化简：sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°= ；
例 1
原式=sin(20°+40°)=sin 60°=.
(2)求值：sin 15°+sin 75°= ；
原式=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°
=2sin 45°cos 30°=2××=.
(3)已知α，β为锐角，且sin α=，sin β=，则sin(α+β)的值为 ，
sin(α-β)的值为 .
∵α，β都是锐角，且sin α=，sin β=，
∴cos α===，
cos β===.
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=.
反
思
感
悟
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形.
(2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，解题时要逆用或变形用公式.
探究解决给角求值问题的策略
(1)化简：sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°= ；
跟踪训练 1
原式=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°=.
(2)求值：= .
原式=
=
==
===2-.
2-
二
给值求值
已知α，β都是锐角，且sin α=，sin(α-β)=，求sin β的值.
例 2
∵α为锐角，且sin α=，
∴cos α==，
∵α，β都是锐角，
∴-<α-β<，
又sin(α-β)=，
∴cos(α-β)==，
∴sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=.
反
思
感
悟
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”或特殊角与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
给值(式)求值的策略
已知cos=(α为锐角)，则sin α等于
A. B.
C. D.
跟踪训练 2
√
因为α∈，cos=>0，
所以α+∈.
所以sin===.
所以sin α=sin
=sincos -cossin
=×-×=.
给值求角
三
已知，已知sin=，sin=，且α-∈，β-
∈，求的值.
例 3
方法一 ∵α-∈，β-∈，
∴0<<π，cos=，cos=.
∴cos =cos
=coscos-sinsin
=×-×=，
∴=.
方法二 ∵sin=<，sin=<，
α-∈，β-∈，
∴α-∈，β-∈，
∴∈，
cos=，cos=.
∴sin =sin
=sincos+cossin
=×+×=，
∴=.
反
思
感
悟
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值.
解决给值求角问题的方法
已知锐角α，β满足sin α=，cos β=， 求α-β的值.
跟踪训练 3
因为α，β均为锐角，
且sin α=，cos β=，
所以cos α=，sin β=，
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-.
又因为α，β均为锐角，
所以-<α-β<，故α-β=-.
1.知识清单：
(1)两角和与差的正弦公式.
(2)给值求值.
(3)给值求角.
2.方法归纳：构造法、转化化归.
3.常见误区：求角或求值时易忽视角的范围.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°的值为
A.- B.-
C. D.
√
原式=sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37°
=sin(7°-37°)=sin(-30°)
=-sin 30°=-.
2.设α∈，若sin α=，则2sin等于
A. B.
C. D.2
√
1
2
3
4
1
2
3
4
因为α∈，sin α=，
所以cos α=，
又根据两角和的正弦公式得
sin=sin αcos +cos αsin
=sin α+cos α=×+×=，
所以2sin=.
3.已知cos(α-β)=，sin β=-，且α∈，β∈，则sin α等于
A. B.
C.- D.-
√
1
2
3
4
∵∴0<α-β<π.
又cos(α-β)=，
∴sin(α-β)==.
∵-<β<0，sin β=-，
∴cos β=，
1
2
3
4
∴sin α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=×+×=.
1
2
3
4
1
2
3
4
4.已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，那么β等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
∵0<β<α<，∴0<α-β<，
由cos α=，得sin α=，
由cos(α-β)=，得sin(α-β)=，
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×==，
∴β=.
课时对点练
五
答案
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C D C ABC ±1
题号 11 12 13 14 15
答案 A D -2 - -
9.
(1)因为sin α=，
所以cos α=，
所以sincos α
=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
(2)因为α∈，
所以α+，
又因为cos，
所以sin，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
所以sin α=sin
=
=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
(1)因为sin α是方程5x2-7x-6=0的根，
所以sin α=-或sin α=2(舍)，
则原式=
=，
==-cos α，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
由sin α=-，所以α是第三象限或第四象限角，
若α是第三象限角，则cos α=-，
此时-cos α=；
若α是第四象限角，则cos α=，
此时-cos α=-.
故所求式子的值为.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
(2)由(1)知，当α是第四象限角时，sin α=-，
由sin，
得cos，
所以sin
=sin αcos.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(1)由f
=Asin
=，得A=3.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(2)由(1)得f(x)=3sin，
因为f(θ)-f(-θ)=，
所以3sin，
即3-
3，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
得sin θ=，
因为θ∈，
所以f
=3sin.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于
A.- B.-
C. D.
√
基础巩固
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
原式=sin(21°-81°)=sin(-60°)
=-sin 60°=-.
11
12
13
14
15
16
答案
2.在△ABC中，A=，cos B=，则sin C等于
A. B.-
C. D.-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为cos B=且0
又A=，
所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin cos B+cos sin B
=×+×=.
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答案
3.若锐角α，β满足cos α=，cos(α+β)=，则sin β的值是
A. B.
C. D.
√
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答案
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∵cos α=，cos(α+β)=，α，β∈，
∴0<α+β<，
∴sin α=，sin(α+β)=.
∴sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×=.
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答案
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4.在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，则△ABC是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
√
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答案
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答案
∵A=180°-(B+C)，
∴sin A=sin(B+C)=2sin Bcos C.
又∵sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，
∴sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C)=0.
又B，C为三角形内角，
∴B=C，故△ABC为等腰三角形.
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5.已知cos=-(α为锐角)，则sin α等于
A. B.
C. D.
√
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答案
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∵cos=-(α为锐角)，
∴sin=.
∴sin α=sin
=sin-cos
=×-×=.
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答案
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6.(多选)下面各式中，正确的是
A.sin=sin cos +cos
B.cos =sin -cos cos
C.cos=cos cos +
D.cos =cos cos
√
√
√
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答案
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sin=sin cos +cos sin =sin cos +cos ，故A正确；
cos =sin =sin=sin cos -cos sin =sin -cos cos ，故B正确；
cos=cos=cos cos +sin sin =cos cos +，故C正确；
cos =cos=cos cos +sin sin ≠cos cos ，故D不正确.
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答案
7.已知cos αcos β-sin αsin β=0，那么sin αcos β+cos αsin β= .
由已知得cos(α+β)=0，
所以sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)
=±=±1.
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±1
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答案
8.的值是 .
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=
=
=
==.
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答案
9.已知α∈.
(1)若sin α=，求sin的值；
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答案
因为sin α=，α∈，
所以cos α=，
所以sin=sin α+cos α
=+=.
(2)若cos=，求sin α的值.
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答案
因为α∈，
所以α+∈，
又因为cos=，
所以sin=，
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答案
所以sin α=sin
=sin-cos
=-=.
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10.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根.
(1)求的值；
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答案
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因为sin α是方程5x2-7x-6=0的根，
所以sin α=-或sin α=2(舍)，
则原式=
=，
==-cos α，
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答案
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由sin α=-，所以α是第三象限或第四象限角，
若α是第三象限角，则cos α=-，
此时-cos α=；
若α是第四象限角，则cos α=，
此时-cos α=-.
故所求式子的值为或-.
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答案
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(2)若α是第四象限角，sin=，求sin的值.
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答案
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由(1)知，当α是第四象限角时，sin α=-，cos α=，
由sin=，
得cos=，
所以sin=sin
=sin αcos-cos αsin=-×-×=-.
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答案
11.已知α，β∈，sin=，tan α=2tan β，则sin等于
A. B.
C. D.
√
综合运用
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答案
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答案
由tan α=2tan β，得=，
则sin αcos β=2cos αsin β， ①
由sin(α+β)=，得sin αcos β+cos αsin β=， ②
联立①②解得
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=.
12.已知-2cos(α+β)=，则
A.sin β=2sin α B.cos β=2cos α
C.cos α=2cos β D.sin α=2sin β
√
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答案
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答案
∵-2cos(α+β)=，
∴sin[α+(α+β)]-2sin αcos(α+β)=sin α，
∴sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)-2sin αcos(α+β)=sin α，
∴sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin α，
∴sin[(α+β)-α]=sin α，
∴sin β=sin α，即sin α=2sin β.
13.计算：(tan 10°-)·= .
原式=(tan 10°-tan 60°)·
=·
=·
=-·
=-=-2.
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答案
-2
14.已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)= .
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答案
-
∵sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1， ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0， ②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1，
即2+2sin(α+β)=1，
∴sin(α+β)=-.
15.已知cos β-3sin α=2，sin β+3cos α=，则sin(β-α)= .
拓广探究
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答案
-
由cos β-3sin α=2得(cos β-3sin α)2=cos2β-6cos βsin α+9sin2α=4， ①
由sin β+3cos α=得(sin β+3cos α)2=sin2β+6sin βcos α+9cos2α=， ②
①+②得10+6(sin βcos α-cos βsin α)=10+6sin(β-α)=，
∴sin(β-α)=-.
16.已知函数f(x)=Asin，x∈R，且f=.
(1)求A的值；
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答案
由f=Asin=Asin
=A=，得A=3.
(2)若f(θ)-f(-θ)=，θ∈，求f.
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答案
由(1)得f(x)=3sin，
因为f(θ)-f(-θ)=，
所以3sin-3sin=，
即3-3=，
得sin θ=，
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答案
因为θ∈，所以cos θ=，
所以f=3sin
=3sin=3cos θ=.
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答案第2课时 两角和与差的正弦(二)
［学习目标］ 1.了解辅助角公式的推导过程.2.掌握辅助角公式的应用3.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明.
一、辅助角公式的推导
问题1 利用两角和与差的正弦、余弦公式，如何化简三角函数式cos α？
问题2 asin x+bcos x的化简结果是什么？
知识梳理
辅助角公式：
例1 (1)已知sinsin α的值为( )
A.- B.
C.2 D.-1
(2)求值：= .
跟踪训练1 (1)化简：sin α+cos α；
(2)求值：.
二、辅助角公式的应用
例2 已知f(x)=sin 2x-cos 2x.
(1)将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式；
(2)求f(x)的最小正周期及最大值.
延伸探究
1.(多选)在本例条件下，f(x)在下列区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
2.在本例条件下，若方程f(x)=m-1有解，求实数m的取值范围.
跟踪训练2 函数y=cos x+cos的最小值是 ，最大值是 .
三、利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明
例3 已知sin(2α+β)+2sin β=0，求证：tan α=3tan(α+β).
反思感悟 三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形.
(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“=1”.
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
跟踪训练3 已知cos(α+β)=1，求证：sin(α+2β)=sin β.
1.知识清单：
(1)掌握辅助角公式.
(2)辅助角公式的应用.
(3)利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明.
2.方法归纳：构造法、转化化归.
3.常见误区：忽略辅助角的范围.
1.化简sin x等于( )
A.2cos B.2cos
C.2cos D.2cos
2.函数f(x)=sin x+cos x的最小正周期为( )
A.2 B.1
C.2π D.π
3.已知x为锐角，，则a的取值范围为( )
A.［-2，2］ B.(1，)
C.(1，2］ D.(1，2)
4.函数f(x)=sin x-cos的值域为 .
答案精析
问题1 逆用两角和与差的正弦、余弦公式，
即cos α
=cos αcos
=cos.
问题2 asin x+bcos x=·
，
若令cos α=，
sin α=，
则原式可化为
asin x+bcos x
=(cos αsin x+sin αcos x)
=sin(x+α).
若令sin θ=，
cos θ=，
则原式可化为asin x+bcos x
=(sin θsin x+cos θcos x)
=cos(x-θ).
知识梳理
cos(x-θ)
例1 (1)B (2)
跟踪训练1 解 (1)sin α+
=2
=2sin.
(2)
=
=
=.
例2 解 (1)f(x)=sin 2x-cos 2x
=
=
=.
(2)由f(x)=得，
f(x)的最小正周期T==π，
f(x)的最大值为.
延伸探究
1.BC ［由f(x)=，
令-+2kπ，k∈Z，
整理得-+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.经检验B，C正确.］
2.解 f(x)=m-1，
即=m-1，
因为sin∈［-1，1］，
所以-，
所以1-.
跟踪训练2 -
例3 证明 将条件化为sin［(α+β)+α］+2sin［(α+β)-α］=0，
展开得sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α+2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α=0，
即3sin(α+β)cos α=cos(α+β)sin α，
由cos(α+β)cos α≠0，
两边同除以cos(α+β)cos α，
可得tan α=3tan(α+β).
跟踪训练3 证明 ∵cos(α+β)=1，∴sin(α+β)=0，
∴sin(α+2β)=sin［(α+β)+β］
=sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β
=0+1·sin β=sin β，
∴sin(α+2β)=sin β成立.
随堂演练
1.B 2.C 3.C 4.［-］(共77张PPT)
第10章
<<<
第2课时
两角和与差的正弦(二)
1.了解辅助角公式的推导过程.
2.掌握辅助角公式的应用
3.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明.
学习目标
一、辅助角公式的推导
二、辅助角公式的应用
课时对点练
三、利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明
随堂演练
内容索引
辅助角公式的推导
一
提示 逆用两角和与差的正弦、余弦公式，
即sin α+cos α=sin αcos +cos αsin =sin或sin α+cos α
=sin sin α+cos cos α=cos αcos +sin αsin =cos.
利用两角和与差的正弦、余弦公式，如何化简三角函数式
sin α+cos α？
问题1
asin x+bcos x的化简结果是什么？
问题2
提示 asin x+bcos x
=，
若令cos α=，sin α=，
则原式可化为
asin x+bcos x
=(cos αsin x+sin αcos x)
=sin(x+α).
若令sin θ=，cos θ=，
则原式可化为asin x+bcos x
=(sin θsin x+cos θcos x)
=cos(x-θ).
辅助角公式：
sin(x+α)
cos(x-θ)
(1)已知sin=，则cos α+sin α的值为
A.- B.
C.2 D.-1
例 1
cos α+sin α=2
=2sin=.
√
(2)求值：sin -cos = .
sin -cos
=2
=2
=2sin=2sin =.
反
思
感
悟
辅助角公式的作用就是把两个同角的正弦、余弦三角函数式化为一个角的三角函数的形式，实质上是两角和与差的正弦公式的逆应用.
(1)化简：sin α+cos α；
跟踪训练 1
sin α+cos α=2=2
=2sin.
(2)求值：.
=
=
==-.
二
辅助角公式的应用
已知f(x)=sin 2x-cos 2x.
(1)将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式；
例 2
f(x)=sin 2x-cos 2x
=
=
=sin.
(2)求f(x)的最小正周期及最大值.
由f(x)=sin得，
f(x)的最小正周期T==π，
f(x)的最大值为.
1.(多选)在本例条件下，f(x)在下列区间上单调递增的是
A. B.
C. D.
延伸探究
√
√
由f(x)=sin，
令-+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，
整理得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.经检验B，C正确.
2.在本例条件下，若方程f(x)=m-1有解，求实数m的取值范围.
f(x)=m-1，即sin=m-1，
因为sin∈[-1，1]，
所以-≤m-1≤，
所以1-≤m≤1+.
反
思
感
悟
要解决形如f(x)=asin x+bcos x的周期、值域、单调区间等问题，一般先要利用辅助角公式把含sin x，cos x的三角式化为一个角的三角函数的形式，再进行求解.
函数y=cos x+cos的最小值是 ，最大值是 .
跟踪训练 2
-
y=cos x+cos xcos -sin xsin
=cos x-sin x=
=cos，
当cos=-1时，ymin=-.
当cos=1时，ymax=.
利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明
三
已知sin(2α+β)+2sin β=0，求证：tan α=3tan(α+β).
例 3
将条件化为sin[(α+β)+α]+2sin[(α+β)-α]=0，
展开得sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α+2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α=0，
即3sin(α+β)cos α=cos(α+β)sin α，
由cos(α+β)cos α≠0，
两边同除以cos(α+β)cos α，
可得tan α=3tan(α+β).
反
思
感
悟
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形.
(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“=1”.
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
三角恒等式证明的常用方法
已知cos(α+β)=1，求证：sin(α+2β)=sin β.
跟踪训练 3
∵cos(α+β)=1，∴sin(α+β)=0，
∴sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=0+1·sin β=sin β，
∴sin(α+2β)=sin β成立.
1.知识清单：
(1)掌握辅助角公式.
(2)辅助角公式的应用.
(3)利用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角恒等式的证明.
2.方法归纳：构造法、转化化归.
3.常见误区：忽略辅助角的范围.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.化简cos x+sin x等于
A.2cos B.2cos
C.2cos D.2cos
√
1
2
3
4
cos x+sin x=2
=2
=2cos.
2.函数f(x)=sin x+cos x的最小正周期为
A.2 B.1
C.2π D.π
√
1
2
3
4
f(x)=sin x+cos x
==sin，
∴T=2π.
3.已知x为锐角，=，则a的取值范围为
A.[-2，2] B.(1，)
C.(1，2] D.(1，2)
√
1
2
3
4
由=，
可得a=sin x+cos x=2sin，
因为x∈，
所以x+∈，
则2sin∈(1，2]，
所以a的取值范围为(1，2].
1
2
3
4
1
2
3
4
4.函数f(x)=sin x-cos的值域为 .
[-，]
f(x)=sin x-cos x+sin x
=sin x-cos x
==sin，
因为x∈R，所以x-∈R，
所以f(x)∈[-].
课时对点练
五
答案
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C CD B B BC
题号 11 12 13 14 15
答案 C ABC B 2-2
9.
sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]
=sin(α+β)cos β，
因为cos(α+β)=0，所以cos β=cos[(α+β)-α]=sin(α+β)sin α，
又知sin(α+β)=±1，所以sin(α+2β)=sin2(α+β)sin α=sin α，
原式得证.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
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15
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10.
(1)f(x)=(1+·cos x
=cos x+
=2
=2sin.
答案
1
2
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4
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10.
(2)∵0≤x<，
∴，
由x+.
∴f(x)在上是减函数.
∴当x=时，f(x)有最大值为2.
答案
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f(x)=a·b
=3sin
=6
=6sin.
答案
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16.
(1)令+2kπ，k∈Z，
解得+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
答案
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(2)∵x∈，
∴2x-，
∴当2x-，
即x=-时，f(x)min=-6.
当2x-时，f(x)max=6sin .
答案
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1.sin 15°-cos 15°等于
A.- B.
C.- D.
√
基础巩固
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答案
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根据辅助角公式，化简sin 15°-cos 15°
= =sin(15°-60°)=-sin 45° =-.
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答案
2.函数y=sin x-cos x(x∈R)的最大值为
A. B.1
C. D.
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答案
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y=sin x-cos x=sin(x+φ)=sin(x+φ)，
其中sin φ=-，cos φ=，φ∈.
而-1≤sin(x+φ)≤1，
所以y=sin x-cos x的最大值为.
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答案
3.(多选)cos α-sin α化简的结果可以是
A.cos B.sin
C.cos D.sin
√
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答案
√
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原式=
=
=sin=cos.
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答案
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4.sin θ+sin=1，则sin的值是
A. B.
C. D.
√
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答案
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答案
因为sin θ+sin=1，
所以sin θ+sin θ+cos θ=1，
即sin θ+cos θ=1，
所以=1，sin=1，
所以sin=.
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5.若函数f(x)=cos x-cos，x∈，则f(x)的最小值为
A.- B.-
C.-1 D.0
√
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答案
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f(x)=cos x-cos x+sin x
=cos x+sin x=sin，
∵x∈，
∴x+∈，
∴当x+=-，
即x=-时，f(x)min=-.
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答案
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6.(多选)已知α∈，下列各值中，sin α+cos α可能取到的是
A. B.
C. D.
√
√
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答案
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sin α+cos α=
=sin，
因为0<α<<α+<，
所以
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答案
7.已知α为锐角，sin α=cos α-，则sin= .
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答案
由已知α为锐角，sin α=cos α-，
所以cos α-sin α=cos=，
即cos=，
故α+仍为锐角，
因此sin==，
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答案
所以sin=sin
=sincos +cossin
=×+×=.
8.形如的式子叫作行列式，其运算法则为=ad-bc，则行列式的值是 .
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=sin 15°-cos 15°
=2
=2sin(15°-45°)
=2sin(-30°)=-1.
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答案
9.已知cos(α+β)=0，求证：sin(α+2β)=sin α.
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答案
sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cos β，
因为cos(α+β)=0，
所以cos β=cos[(α+β)-α]=sin(α+β)sin α，
又知sin(α+β)=±1，
所以sin(α+2β)=sin2(α+β)sin α=sin α，
原式得证.
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10.若函数f(x)=(1+tan x)cos x，0≤x<.
(1)把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式；
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答案
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答案
f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+··cos x
=cos x+sin x=2
=2
=2sin.
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(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值.
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答案
∵0≤x<，
∴≤x+<，
由x+，得x≤.
∴f(x)在上是减函数.
∴当x=时，f(x)有最大值为2.
11.已知cos+sin α=，则sin的值为
A.- B.
C.- D.
√
综合运用
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答案
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答案
∵cos+sin α=，
∴cos αcos +sin αsin +sin α=，
∴cos α+sin α=，
即cos α+sin α=，
∴sin=.
∴sin=-sin=-.
12.(多选)设函数f(x)=cos x-sin x，则下列结论正确的是
A.f(x)的一个周期为2π
B.f(x)的图象关于直线x=-对称
C.f的一个零点为π
D.f(x)在上单调递减
√
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答案
√
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答案
f(x)=cos x-sin x=-2sin.
由正弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π，故A正确；
函数f(x)=-2sin的对称轴满足条件x-=kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，所以y=f(x)的图象关于直线x=-对称，故B正确；
f=-2sin=-2sin x，-2sin π=0，
所以f的一个零点为π，故C正确；
函数f(x)=-2sin上先减后增，故D错误.
13.已知函数f(x)=sin+cos，则下列结论正确的是
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在区间上单调递减
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)的最小值为-2
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答案
√
f(x)=sin
=sin=cos 2x，
所以f(x)是偶函数，故A错误；
由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，
当k=0时，f(x)的单调递减区间为，故B正确；
f(x)的最大值为，f(x)的最小值为- ，故C，D错误.
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答案
14.若函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象的一条对称轴为x=，则ω的
最小值为 .
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答案
f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin，
因为x=是函数图象的一条对称轴，
则有ω-=+kπ，k∈Z，
解得ω=+3k，k∈Z.
又ω>0，所以ω的最小值为.
15.如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，且△PCQ的周长为2，则线段PQ的长度的最小值是 .
拓广探究
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答案
2-2
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答案
设∠CPQ=θ，
则CP=PQcos θ，CQ=PQsin θ，
又△PCQ的周长为2，
即PQ+PQcos θ+PQsin θ=2，
则PQ==，
则当θ+=，即θ=时，PQ取得最小值，
即PQmin==2-2.
16.已知a=，b=，且f(x)=a·b.
(1)求f(x)的单调递减区间；
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答案
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答案
f(x)=a·b=3sin-3cos
=6
=6sin=6sin.
令+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值.
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答案
∵x∈，
∴2x-∈，
∴当2x-=-，
即x=-时，f(x)min=-6.
当2x-=，即x=时，
f(x)max=6sin =3.
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答案作业13 两角和与差的余弦
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.cos cos -sin sin 等于( )
A. B.
C. D.1
2.cos 165°等于( )
A. B.
C.- D.-
3.向量a=(sin α，cos α)，b=(cos β，sin β)，且a∥b，若α，β∈，则α+β等于( )
A.0 B.
C. D.π
4.(多选)满足cos αcos β=+sin αsin β的一组α，β的值是( )
A.α=，β= B.α=，β=-
C.α=，β= D.α=，β=
5.若x∈[0，π]，sin sin =cos cos ，则x的值为( )
A. B.
C. D.
6.已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α=，sin β=-，则cos(α-β)的值为( )
A.- B.-
C. D.
7.(5分)计算：sin 60°-cos 60°= .
8.(5分)已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m，且β为第三象限角，则sin β= .
9.(10分)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β；(5分)
(2)在(1)的条件下，求cos(β-α)的值.(5分)
10.(12分)已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求cos 2β的值.
11.若cos x-sin x=4-m，则实数m的取值范围是( )
A.3≤m≤5 B.-5≤m≤5
C.3
A. B.
C. D.1
13.(5分)设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a=(2cos A，2sin A)，b=(3cos B，3sin B).若a，b的夹角的弧度数为，则A-B= .
14.(5分)已知0<α<π，sin=，则cos α= .
15. 《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，则cos(α-β)的值为( )
A. B.
C. D.
16.(12分)已知cos(2α-β)=-，sin(α-2β)=，且<α<，0<β<，求cos(α+β)的值.
答案精析
1.B 2.C 3.B 4.BD 5.D 6.A
7.0
解析 原式=sin 30°sin 60°-cos 30°cos 60°
=-cos(30°+60°)=-cos 90°=0.
8.-
解析 ∵cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α
=cos［(α-β)-α］=m，即cos β=m.
又∵β为第三象限角，∴sin β=-.
9.解 (1)∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为，
∴sin α=，
又α为锐角，∴cos α=.
(2)∵β为钝角，由(1)得cos β=-，
∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α
=-.
10.解 因为sin(α-β)=，
且α-β∈，
所以cos(α-β)=-
=-，
cos(α+β)=
=，
所以cos 2β=cos［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=.
11.A 12.B 13.±
15.D ［设大正方形的边长为1，
由于小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，
可得小正方形的边长为，
可得cos α-sin α=， ①
sin β-cos β=. ②
由图可得cos α=sin β，sin α=cos β，
所以①×②得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β
=sin2β+cos2β-cos(α-β)
=1-cos(α-β)，
解得cos(α-β)=.］
16.解 因为，
所以<2α-β<π.
因为cos(2α-β)=-，
所以<2α-β<π，
所以sin(2α-β)=.
因为，
所以-.
因为sin(α-2β)=.
所以cos(α+β)=cos［(2α-β)-(α-2β)］
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=-=0.作业14 两角和与差的正弦(一)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于( )
A.- B.-
C. D.
2.在△ABC中，A=，cos B=，则sin C等于( )
A. B.-
C. D.-
3.若锐角α，β满足cos α=，cos(α+β)=，则sin β的值是( )
A. B.
C. D.
4.在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.已知cos=-(α为锐角)，则sin α等于( )
A. B.
C. D.
6.(多选)下面各式中，正确的是( )
A.sin=sin cos +cos
B.cos =sin -cos cos
C.cos=cos cos +
D.cos =cos cos
7.(5分)已知cos αcos β-sin αsin β=0，那么sin αcos β+cos αsin β= .
8.(5分)的值是 .
9.(10分)已知α∈.
(1)若sin α=，求sin的值；(5分)
(2)若cos=，求sin α的值.(5分)
10.(12分)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根.
(1)求的值；(7分)
(2)若α是第四象限角，sin=，求sin的值.(5分)
11.已知α，β∈，sin=，tan α=2tan β，则sin等于( )
A. B.
C. D.
12.已知-2cos(α+β)=，则( )
A.sin β=2sin α B.cos β=2cos α
C.cos α=2cos β D.sin α=2sin β
13.(5分)计算：(tan 10°-)·= .
14.(5分)已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)= .
15.(5分)已知cos β-3sin α=2，sin β+3cos α=，则sin(β-α)= .
16.(12分)已知函数f(x)=Asin，x∈R，且f=.
(1)求A的值；(4分)
(2)若f(θ)-f(-θ)=，θ∈，求f.(8分)
答案精析
1.A 2.A 3.C 4.D 5.C 6.ABC
7.±1 8.
9.解 (1)因为sin α=，
所以cos α=，
所以sincos α
=.
(2)因为α∈，
所以α+，
又因为cos，
所以sin，
所以sin α=sin
=
=.
10.解 (1)因为sin α是方程5x2-7x-6=0的根，
所以sin α=-或sin α=2(舍)，
则原式=
=
==-cos α，
由sin α=-，所以α是第三象限或第四象限角，
若α是第三象限角，则cos α=-，
此时-cos α=；
若α是第四象限角，则cos α=，
此时-cos α=-.
故所求式子的值为.
(2)由(1)知，当α是第四象限角时，sin α=-，
由sin，
得cos，
所以sin
=sin αcos.
11.A 12.D 13.-2
14.-
解析 ∵sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1， ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0， ②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1，
即2+2sin(α+β)=1，
∴sin(α+β)=-.
15.-
解析 由cos β-3sin α=2得(cos β-3sin α)2=cos2β-6cos βsin α+9sin2α=4， ①
由sin β+3cos α=得(sin β+3cos α)2
=sin2β+6sin βcos α+9cos2α=， ②
①+②得10+6(sin βcos α-cos βsin α)
=10+6sin(β-α)=，
∴sin(β-α)=-.
16.解 (1)由f=Asin
=，得A=3.
(2)由(1)得f(x)=3sin，
因为f(θ)-f(-θ)=，
所以3sin，
即3-3，
得sin θ=，
因为θ∈，
所以f
=3sin.作业15 两角和与差的正弦(二)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.sin 15°-cos 15°等于( )
A.- B.
C.- D.
2.函数y=sin x-cos x(x∈R)的最大值为( )
A. B.1
C. D.
3.(多选)cos α-sin α化简的结果可以是( )
A.cos B.sin
C.cos D.sin
4.sin θ+sin=1，则sin的值是( )
A. B.
C. D.
5.若函数f(x)=cos x-cos，x∈，则f(x)的最小值为( )
A.- B.-
C.-1 D.0
6.(多选)已知α∈，下列各值中，sin α+cos α可能取到的是( )
A. B.
C. D.
7.(5分)已知α为锐角，sin α=cos α-，则sin= .
8.(5分)形如的式子叫作行列式，其运算法则为=ad-bc，则行列式的值是 .
9.(10分)已知cos(α+β)=0，求证：sin(α+2β)=sin α.
10.(10分)若函数f(x)=(1+tan x)cos x，0≤x<.
(1)把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式；(5分)
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值.(5分)
11.已知cos+sin α=，则sin的值为( )
A.- B.
C.- D.
12.(多选)设函数f(x)=cos x-sin x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的一个周期为2π
B.f(x)的图象关于直线x=-对称
C.f的一个零点为π
D.f(x)在上单调递减
13.已知函数f(x)=sin+cos，则下列结论正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在区间上单调递减
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)的最小值为-2
14.(5分)若函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的图象的一条对称轴为x=，则ω的最小值为 .
15.(5分)如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，且△PCQ的周长为2，则线段PQ的长度的最小值是 .
16.(12分)已知a=，b=，且f(x)=a·b.
(1)求f(x)的单调递减区间；(6分)
(2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值.(6分)
答案精析
1.A 2.C 3.CD 4.B 5.B 6.BC
7. 8.-1
9.证明 sin(α+2β)=sin［(α+β)+β］
=sin(α+β)cos β，
因为cos(α+β)=0，所以cos β=cos［(α+β)-α］=sin(α+β)sin α，
又知sin(α+β)=±1，所以sin(α+2β)=sin2(α+β)sin α=sin α，
原式得证.
10.解 (1)f(x)=(1+·cos x
=cos x+
=2
=2sin.
(2)∵0≤x<，
∴，
由x+.
∴f(x)在上是减函数.
∴当x=时，f(x)有最大值为2.
11.C 12.ABC 13.B 14.
15.2-2
解析 设∠CPQ=θ，
则CP=PQcos θ，CQ=PQsin θ，
又△PCQ的周长为2，
即PQ+PQcos θ+PQsin θ=2，
则PQ=
=，
则当θ+时，PQ取得最小值，
即PQmin=-2.
16.解 f(x)=a·b
=3sin
=6
=6sin.
(1)令+2kπ，k∈Z，
解得+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)∵x∈，
∴2x-，
∴当2x-，
即x=-时，f(x)min=-6.
当2x-时，
f(x)max=6sin .作业16 两角和与差的正切
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.tan 255°等于( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
2.设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的两个实数根，则tan(α+β)的值为( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
3.若tan 28°tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°等于( )
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
4.与相等的是( )
A.tan 66° B.tan 24°
C.tan 42° D.tan 21°
5.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
6.(多选)已知cos α=-，则tan等于( )
A.- B.-7
C. D.7
7.(5分)已知=3，tan(α-β)=2，则tan(β-2α)= .
8.(5分)已知tan=，tan=-，则tan = .
9.(10分)已知tan=2，tan β=.
(1)求tan α的值；(4分)
(2)求的值.(6分)
10.(12分)在△ABC中，tan B+tan C+tan Btan C=，tan A+tan B+1=tan Atan B，试判断△ABC的形状.
11.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为( )
A.16 B.8
C.4 D.2
12.已知α，β均为锐角，且tan β=，则tan(α+β)等于( )
A. B.
C.1 D.
13.(5分)已知tan α+tan β=2，tan(α+β)=4，则tan2α+tan2β的值为 .
14.(5分)已知α，β，γ都是锐角，且tan α=，tan β=，tan γ=，则α+β+γ= .
15. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为a2，大正方形的面积为25a2，直角三角形中较小的锐角为θ，则tan等于( )
A.- B.-
C.- D.-
16.(12分)是否存在锐角α，β，使得(1)α+2β=，(2)tan ·tan β=2-同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由.
答案精析
1.D 2.A 3.B 4.A 5.A 6.CD
7.
9.解 (1)∵tan=2，
∴=2，
解得tan α=.
(2)原式
=
=
=tan(β-α)=
=.
10.解 由tan B+tan C+得，
tan(B+C)=
=，
又0
又由tan B+1
=tan Atan B得，
tan(A+B)=
=.
又0
由①②及A+B+C=π，
解得B=.
∴△ABC为等腰三角形.
11.C 12.C 13.3
14.
解析 ∵tan(α+β)=
=，
∴tan(α+β+γ)=
==1，
∵α，β，γ∈，∴α+β∈(0，π)，
又tan(α+β)=>0，
∴α+β∈，
∴α+β+γ∈(0，π)，∴α+β+γ=.
15.D
解析 由题意可知小正方形的边长为a，大正方形的边长为5a，一个直角三角形的面积为
=6a2，
设直角三角形的直角边分别为x，y，且x
∴直角三角形的面积为S=xy=6a2，
可得x=3a，y=4a，
∴tan θ=，
∴tan
=.
16.解 假设存在锐角α，β使得(1)α+2β=同时成立.
由(1)得，
所以tan.
又tan ，
所以tan，
因此tan =0的两个根，设方程的两根分别为x1，x2，
解得x1=1，x2=2-.
若tan ，这与α为锐角矛盾，
所以tan ，tan β=1，
所以α=，
所以满足条件的α，β存在，
且α=.
