2025年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（八）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.如图，一次函数的图象过点，则当时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至年底，光缆线路总长度达至千米，其中用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则的整数部分可以是 ( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，点是的中点，与交于点，则与四边形的面积之比( )
A. B. C. D.
6.下列尺规作图，能确定的是( )
A. B. C. D.
7.如图，将连续的偶数，，，，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是( )
A. B. C. D.
8.学校举行篮球比赛图中的四个点分别描述了甲、乙、丙、丁四位同学投篮的命中率投进的次数占尝试投篮次数的百分率与尝试投篮次数的情况，其中所有投进的球记分，描述乙、丁两位同学情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则投篮得分最多的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心，是劣弧上一点已知，，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧已知自然状态下，弹簧的初始长度为从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变，得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示根据图象，下列说法正确的是( )
A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围______．
12.“抖空竹”是我国一项传统体育活动，同时也是国家级非物质文化遗产之一某同学在研究“抖空竹”时，把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是______．
13.早在多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为，则这个圆的内接正十二边形的面积为______．
14.现从，，，，，，，，这个数中任意选取一个数作为的值，则使关于的分式方程的解是负数，且关于的不等式组无解的概率为______．
15.如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，连接若，则________．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.解方程：．先化简，再求值，其中
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分年月日是第三十二届“世界水日”，月日至日是第三十七届“中国水周”某学校积极响应“世界水日中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动．小组在甲，乙两个小区各随机抽取户居民，统计其月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理，描述和分析，得到如下信息．
信息一：
甲小区月份用水量频数分布表
用水量 频数户
信息二：甲，乙两小区月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区 乙小区
平均数
中位数
信息三：乙小区月份用水量在第三组的数据为：
根据以上信息，回答下列问题：
______；
在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较的大小，并说明理由；
若甲小区共有户居民，乙小区共有户居民，估计两个小区月份用水量不低于的总户数；
因任务安排，需在小组和小组分别随机抽取名同学加入小组，已知小组有名男生和名女生，小组有名男生和名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
18.本小题分如图，点为的边上一点，延长至点，使得，点在线段上，且，，．
求的长．
若，平分，求的长．
19.本小题分如图是水槽水龙头图的侧面平面示意图，矩形为水槽侧面，有，在水槽边上方安装水管，水龙头，其中测得，．
求点离水槽底的高度．
若水柱与共线，当手伸到水槽内洗手时即手与水柱的交点在下面，水不会溅出当手与水柱交点离水槽壁的距离为，洗手时水会不会溅出？试通过计算说明参考数据：
20.本小题分为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夹角为点，，，，在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传递到铁环上，会有较好的启动效果．
求证：．
实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长．
21.本小题分如图，在中，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动当点到达点时，，停止运动设点运动的时间为，的面积为，
请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
在平面直角坐标系中，画出的函数图象，
并写出这个函数的一条性质：______；
若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是______．
22.本小题分已知函数为常数的图象经过点，．
求，的值．
当时，求的最大值．
当时，若的最大值与最小值之和为，求的值．
23.本小题分【问题呈现】如图，和都是等边三角形，连接，请判断与的数量关系：______．
【类比探究】如图，和都是等腰直角三角形，连接，请写出与的数量关系：______．
【拓展提升】如图，和都是直角三角形，，且连接，．
求的值；
延长交于点，交于点求的值．2025 年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（八）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.| 2.5|的倒数是( )
A. 2 B. 2.5 C. 2 D. 55 5 2
2.如图，一次函数 = + 的图象过点(1, 3)，则当 < 3 时， 的取值范围是( )
A. > 1 B. ≥ 1 C. ≥ 3 D. < 3
第 2 题图 第 5 题图 第 7 题图
3.我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至 2023 年底，光缆线路总长度达至 64580000 千米，
其中 64580000 用科学记数法可表示为( )
A. 64.58 × 106 B. 6.458 × 107 C. 6.458 × 106 D. 0.6458 × 108
4.已知 5 ≤ ≤ 7，4 ≤ ≤ 6，则 + 的整数部分可以是 ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
5.在平行四边形 中，点 是 的中点， 与 交于点 ，则△ 与四边形 的面积之比( )
A. 13 B.
2
3 C.
2
5 D.
3
5
6.下列尺规作图，能确定∠ = ∠ 的是( )
A. B. C. D.
7.如图，将连续的偶数 2，4，6，8，…排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你 2 仔
细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是( )
A. 2022 B. 2024 C. 2025 D. 2030
第 1页，共 7页
{#{QQABCQwEggioAAAAAQgCAQWACAAQkAEAAYoGREAQMAIBgQFABAA=}#}
8.学校举行篮球比赛.图中的四个点分别描述了甲、乙、丙、丁四位同学投篮的命中率 (投进的次数占尝试
投篮次数的百分率)与尝试投篮次数 的情况，其中所有投进的球记 2 分，描述乙、丁两位同学情况的点恰
好在同一个反比例函数的图象上，则投篮得分最多的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图
9.如图，在⊙ 中，将 沿弦 翻折，使 恰好经过圆心 ， 是劣弧 上一点.已知 = 2，tan∠ = 3，6
则 的长为( )
A. 2 3 B. 6 C. 39 D. 3 5
10.如图 1，质量为 的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下，
弹簧的初始长度为 10 ).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力，弹簧在整个过程
中始终发生弹性形变)，得到小球的速度 ( / )和弹簧被压缩的长度△ ( )之间的关系图象如图 2 所示.
根据图象，下列说法正确的是( )
A.小球从刚接触弹簧就开始减速 B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C.当小球的速度最大时，弹簧的长度为 2 D.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11.若关于 的一元二次方程( 2) 2 2 + = 6 有实数根，则 的取值范围______．
12.“抖空竹”是我国一项传统体育活动，同时也是国家级非物质文化遗产之一.某同学在研究“抖空竹”时，
把它抽象成数学问题，如图所示，已知 // ，∠ = 107°，∠ = 151°，则∠ 的度数是______．
第 12 题图
第 2页，共 7页
{#{QQABCQwEggioAAAAAQgCAQWACAAQkAEAAYoGREAQMAIBgQFABAA=}#}
13.早在 1800 多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面
积.如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为 1，则这个圆的内接正十二边形的面积为______．
14.现从 4， 3， 2， 1，0，1，2，3，4 这 9 个数中任意选取一个数作为 的值，则使关于 的分式方
2 4 + 1 ≥ 3( + 1)
程 +1 = 3 的解是负数，且关于 的不等式组 2 +1 ≤ 无解的概率为______．2
15.如图，在矩形纸片 中， = 10， = 8，将 沿 翻折，使点 落在 ′处， 为折痕；再将
沿 翻折，使点 恰好落在线段 ′上的点 ′处， 为折痕，连接 ′.若 = 3，则
tan∠ ′ ′ =________．
第 15 题图
三、计算题：本大题共 1 小题，共 10 分。
2
16.(1)解方程： 2 2 4 = 0．(2) 1 1先化简，再求值(1 + 2 ) ÷ 2 4，其中 = 2 60° 45°
四、解答题：本题共 7 小题，共 65 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 9 分)2024 年 3 月 22 日是第三十二届“世界水日”，3 月 22 日至 28 日是第三十七届“中国
水周”.某学校积极响应“世界水日 中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活
动． 小组在甲，乙两个小区各随机抽取 30 户居民，统计其 3 月份用水量，分别将两个小区居民的用水量
3 分为 5 组，第一组：5 ≤ < 7，第二组：7 ≤ < 9，第三组：9 ≤ < 11，第四组：11 ≤ < 13，
第五组：13 ≤ < 15，并对数据进行整理，描述和分析，得到如下信息．
信息一：
第 3页，共 7页
{#{QQABCQwEggioAAAAAQgCAQWACAAQkAEAAYoGREAQMAIBgQFABAA=}#}
甲小区 3 月份用水量频数分布表
用水量 / 3 频数(户)
5 ≤ < 7 4
7 ≤ < 9 9
9 ≤ < 11 10
11 ≤ < 13 5
13 ≤ < 15 2
信息二：甲，乙两小区 3 月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区 乙小区
平均数 9.0 9.1
中位数 9.2
信息三：乙小区 3 月份用水量在第三组的数据为：
9,9.2,9.4,9.5,9.6,9.7,10,10.3,10.4,10.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1) =______；
(2)在甲小区抽取的用户中，3 月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为 ，在乙小区抽取的用
户中，3 月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为 ，比较 , 的大小，并说明理由；
(3)若甲小区共有 650 户居民，乙小区共有 850 户居民，估计两个小区 3 月份用水量不低于 13 3的总户数；
(4)因任务安排，需在 小组和 小组分别随机抽取 1 名同学加入 小组，已知 小组有 3 名男生和 1 名女生，
小组有 2 名男生和 2 名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
18.(本小题 9 分)如图，点 为△ 的边 上一点，延长 至点 ，使得 // ，点 在线段 上，且 //
， = 4， = 6．
(1)求 的长．
(2)若∠ = 60°， 平分∠ ，求 的长．
第 4页，共 7页
{#{QQABCQwEggioAAAAAQgCAQWACAAQkAEAAYoGREAQMAIBgQFABAA=}#}
19.(本小题 9 分)如图是水槽水龙头(图 1)的侧面平面示意图，矩形 为水槽侧面，有 = = 20 ，
在水槽边 上方安装水管 = 15 ，水龙头 ，其中 = 12 .测得∠ = 120°，∠ = 95°．
(1)求点 离水槽底 的高度 ．
(2)若水柱 与 共线，当手伸到水槽内洗手时(即手与水柱 的交点在 下面)，水不会溅出.当手与水柱
交点 离水槽壁 的距离为 27 ，洗手时水会不会溅出？试通过计算说明. (参考数据： 35° ≈
0.57, 35° ≈ 0.82, 35° ≈ 0.70, 3 ≈ 1.73)
20.(本小题 9 分)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁
环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙ 与水平地面
相切于点 ，推杆 与铅垂线 的夹角为∠ .点 ， ， ， ， 在同一平面内．当推杆 与铁环⊙
相切于点 时，手上的力量通过切点 传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠ + ∠ = 90 ．
(2)实践中发现，切点 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 是该区域内最低位置，
此时点 距地面的距离 最小，测得∠ = 60 .已知铁环⊙ 的半径为 30 ，推杆 的长为 70 ，求
此时 的长．
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{#{QQABCQwEggioAAAAAQgCAQWACAAQkAEAAYoGREAQMAIBgQFABAA=}#}
21.(本小题 9 分)如图，在△ 中，∠ = 90°， = = 4 .点 从点 出发，以 2 / 的速度沿折
线 → → 运动，同时点 从点 出发，以 1 / 的速度沿线段 运动.当点 到达点 时， ， 停止运动.
设点 运动的时间为 ( )，△ 的面积为 21( )，
(1)请直接写出 1与 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出 1的函数图象，
并写出这个函数的一条性质：______；
(3)若 1与 的函数图象与直线 2 = + 有两个交点，则 的取值范围是______．
22.(本小题 10 分)已知函数 = 2 + + ( , 为常数)的图象经过点(0, 3)，( 6, 3)．
(1)求 ， 的值．
(2)当 4 ≤ ≤ 0 时，求 的最大值．
(3)当 ≤ ≤ 0 时，若 的最大值与最小值之和为 2，求 的值．
第 6页，共 7页
{#{QQABCQwEggioAAAAAQgCAQWACAAQkAEAAYoGREAQMAIBgQFABAA=}#}
23.(本小题 10 分)(1)【问题呈现】如图 1，△ 和△ 都是等边三角形，连接 ， .请判断 与
的数量关系：______．
(2)【类比探究】如图 2，△ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90°.连接 ， .请写出
与 的数量关系：______．
(3) 3【拓展提升】如图 3，△ 和△ 都是直角三角形，∠ = ∠ = 90°，且 = = 4 .连接 ，
．
① 求 的值；
②延长 交 于点 ，交 于点 .求 sin∠ 的值．
第 7页，共 7页
{#{QQABCQwEggioAAAAAQgCAQWACAAQkAEAAYoGREAQMAIBgQFABAA=}#}参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】且
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：，
整理得：，
即，
整理得：，
解得：，
解得：．
解：由题意可知：，
原式，
，
，
当时，原式．
17.【答案】解：；
甲小区平均用水量为，低于平均用水量的户数为户，
，
乙小区平均用水量为，低于平均用水量的户数为户，
，
；
户，
两个小区月份用水量不低于的总户数为；
根据题意列表得：
男 男 男 女
男 男，男 男，男 男，男 女，男
男 男，男 男，男 男，男 女，男
女 男，女 男，女 男，女 女，女
女 男，女 男，女 男，女 女，女
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生有种，
所抽取的两名同学都是男生的概率是．
18.【答案】解：DE=2.4
过作于，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，∽，
，，
，
，，
，
．
19.【答案】解：如图，过点作，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
；
解：水不会溅出．
由可得，，，
在中，，
，
作交于点，，
，，
，
在中，，
，
水不会溅出．
20.【答案】解：过作 ，
由题意可得，
，
铁环 与水平地面相切于点，
，
，
，
推杆 与铁环 相切于点，
，
，
， ，
，
；
；
21.【答案】当时，随的增大而增大
22.【答案】解：把，代入中，
得，．
，
又，
当时，有最大值为．
当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，
或舍去．
当时，
当时有最大值为，
的最大值与最小值之和为，
最小值为，
，
或舍去．
综上所述，或．
23.【答案】 或
