16.2.2 平行线的性质
一、单选题
1．如图，直线a、b被直线c所截，，若，则等于（ ）
A．120 B．130 C．140 D．150
2．下列图形中，由，能得到的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，直线a、b被直线c、d所截，若，，，则的度数是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
4．如图，，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若，则∠EGF的度数是（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
5．如图，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，∠ACB=90°，直线lmn，BC与直线n所夹角为25°，则∠a等于（ ）
A．25° B．55° C．65° D．78°
7．如图，，平分，交于点D．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小明在笔记本的横格线中画了两条线段、，点、、、都在格线上，是上一点．若，，则的度数为（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
9．如图，直线ABCD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD＝148°，则∠OFH的度数为（ ）
A．26° B．30° C．32° D．36°
10．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，直线，，则的度数是 ．
12．如图、已知，，则的度数为 ．
13．如图，直线ab，三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2＝ °．
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DEAC，DE交AB于点E，DFAB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2的关系是 ．
15．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝83°，要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度．
16．如图，于点C，交于点B，若，则的度数是 度．
17．如图所示，已知，∶∶∶∶，则 ．
18．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为 度．（用n来表示）
三、解答题
19．如图，直线，，求的度数．
20．如图，直线，点在直线上，且，，求的度数．
21．如图，已知，，求．
22．如图，和相交于点O，，，，求的度数.
23．完成下列证明：
已知：如图，直线与，分别相交于点，，与，分别相交于点，，，．求证：．
证明：∵（已知）
又∵（ ① ）
∴（等量代换）
∴（ ② ）
∴（ ③ ）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（ ④ ）
24．如图，，，，请将求的过程填写完整．
解：因为，所以 （ ）
又因为，所以．
所以（ ）
所以 （ ）．
因为，所以 ．
25．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分，，．求证：．
26．已知：如图，BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求证：AB∥CD．
27．如图，∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC. ∠ADC=2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何 为什么．
解：（1）AD//BC.理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°（邻补角的定义）
∠ADE+∠BCF=180°(已如）
∴∠ADF=∠ （ ）
∴AD//BC ．
（2）AB∥EF,理由如下：
∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠ABE=∠ABC（ ）
又∵∠ABC=2∠E. （已知）即∠E=∠ABC
∴∠E=∠ （ ）
∴AB//EF（ ）
28．如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，DM∥BC，∠1＝∠2＝25°．
(1)求∠GFC的度数；
(2)求证：∠AMD＝∠AGF．
29．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，．
(1)求证：
(2)若点H在FE的延长线上，且，，求∠H的度数．
30．如图，在一副三角板中，，，．解答下列问题：
(1)如图①，当___________时，；
(2)如图②，若，求的度数；
(3)如图③，若，求的度数．
31．如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，．
(1)如图1，求的值：
(2)如图2，当的平分线与的平分线交于点时，求的度数：
(3)如图3，直线交、的角平分线分别于点，求的值．
答案
一、单选题
1．A
【分析】利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠1的度数．
【解析】解：如图，
∵，
∴∠3=．
又∵∠1+∠3=，
∴．
故选A．
2．B
【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解．
【解析】解：A、因为，所以，故本选项不符合题意；
B、如图，
因为，
所以，
因为，
所以，故本选项符合题意；
C、因为，所以，故本选项不符合题意；
D、由，不能得到，故本选项不符合题意；
故选：B
3．D
【分析】由题意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，证出，由平行线的性质即可得出答案．
【解析】解：如图
∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°，
∴∠5+∠2＝180°，
∴，
∴∠4＝∠3＝135°，
故选：D．
4．A
【分析】先根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义得到，最后根据平行线的性质求解．
【解析】解：∵，
∴，
∵EG平分∠BEF，
∴，
∵，
∴，
故选A．
5．D
【分析】由平行线的性质可知，根据，，可知，进而可知，可求出，再根据对顶角相等即可求出．
【解析】解：∵，
∴∠AEG=∠1=55°，
，，
，
，
∵∠GEF＝∠AEF -∠AEG＝90°-55°=35°，
∴∠2＝∠GEF=35°．
故选：D．
6．C
【分析】先根据mn得出∠1的度数，再由余角的定义求出∠2的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
【解析】解：如图，
∵mn，边BC与直线n所夹角为25°，
∴∠1=25°，
∴∠2=90°-25°=65°．
∵lm,
∴∠α=∠2=65°．
故选：C．
7．B
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质和平角的定义进行求解即可．
【解析】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
8．C
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【解析】解：由题意得，
∴∠BAD=∠2=119°，∠DCE=∠1=25°，
∴∠ACE=180°-∠BAD=61°，
∴∠3=∠ACE-∠DCE=36°，
故选C．
9．A
【分析】先由平角定义求得∠CGO，再由平行线的性质求得∠BOG，由角平分的定义得∠HOF，最后根据三角形的内角和定理求得结果．
【解析】解：∵∠OGD=148°，
∴∠CGO=180°-∠OGD=32°，
∵ABCD，
∴∠BOG=∠CGO=32°，
∵OG平分∠EOF，
∴∠HOF=2∠BOG=64°，
∵FH⊥OE，
∴∠OHF=90°，
∴∠OFH=180°-∠OHF -∠HOF=26°，
故选：A．
10．A
【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；
②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．
【解析】解：①过点F作FH∥AB，如图：
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，
∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，
∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，
∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，
即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，
∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，
∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；
③∵∠MGF＝2∠CGF，
∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；
④∵∠MGF＝n∠CGF，
∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，
∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．
综上，①②③④都正确，共4个，
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】如图，根据平角的定义（等于的角叫做平角）求出的度数，根据平行线的性质得出，代入求出即可．
【解析】如图，∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】根据平行线的性质可得，即可求得的度数．
【解析】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】先由直线ab，根据平行线的性质，得出∠3＝∠1＝40°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2+∠3+∠4＝180°求出∠2．
【解析】解：已知直线ab，
∴∠3＝∠1＝40°，
∠4＝90°，
∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
故答案为：50．
14．∠1=∠2
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠CAD，∠2=∠BAD，从而得解．
【解析】解：∠1=∠2，
理由如下：
∵DEAC，
∴∠1=∠CAD，
∵DFAB，
∴∠2=∠BAD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠1=∠2，
故答案为：∠1=∠2．
15．13
【分析】反向推理，若OD旋转到时，则，求，进而解决此题．
【解析】解：若OD旋转到时，则，
∵，
∴，
∴，
∴要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转13度．
故答案为：13．
16．30
【分析】根据平行线的性质求出∠3，根据垂直的定义可得∠HCE＝90°，根据角的和差计算即可．
【解析】解：如图，∵，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵，
∴∠HCE＝90°，
∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°，
故答案为：30．
17．
【分析】由条件可得，可表示出，再结合，∶∶∶∶可得求解的度数，进而可求得的度数．
【解析】解：，
，
，
由，：：：：，可设，，，
，
解得，
，
．
故答案为：．
18．n或180﹣n
【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【解析】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
三、解答题
19．解：，
，
又，
．
20．解：∵直线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴．
21．解：∵，
∴，
∴．
22．解：，
，
．
23．∵（已知），
∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
24．解：因为，所以（两直线平行，同位角相等）
又因为，所以．
所以（内错角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
因为，所以．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
25．证明：∵CD平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
26．解：证明：∵BE⊥DF，
∠BFD=90°，
∴∠DBE+∠BDF=90°，
∵BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，
∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠BDF=∠EDF=∠BDE，
∴∠ABD+∠BDE=2∠DBE+2∠BDF=180°，
∴AB∥CD．
27．解：（1）AD//BC.理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°（邻补角的定义）
∠ADE+∠BCF=180° (已如）
∴∠ADF=∠BCF（ 同角的补角相等 ）
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）
故答案为：BCF，同角的补角相等，同位角相等，两直线平行；
（2）AB∥EF,理由如下：
∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠ABE=∠ABC（ 角平分线定义 ）
又∵∠ABC=2∠E. （已知）即∠E=∠ABC
∴∠E=∠ ABE（ 等量代换 ）
∴AB//EF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线定义、ABE、等量代换、内错角相等，两直线平行．
28．（1）解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，∠EFC＝90°，
∴∠EFG＝∠1＝25°，
∴∠GFC＝90°+25°＝115°；
（2）证明：∵BD∥EF，
∴∠2＝∠CBD，
∴∠1＝∠CBD，
∴GF∥BC，
∵∠AMD＝∠AGF，
∴MD∥GF，
∴∠AMD＝∠AGF．
29．（1）证明：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180°
∴∠ADE+∠FEB=180°，
∴ADEF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EDH=∠C，
∴HDAC，
∴∠H=∠CGH，
∵ADEF，
∴∠CAD=∠CGH，
∴∠BAD=∠F，
∴∠H=∠F，
∵∠F=40°，
∴∠H=40°．
30．（1）解：∵∠CBE =∠E= 60°，
∴CB//CD，
故答案为60°；
（2）解：∵DE//AB，∠D = 90°，∠EBD = 30°
∴∠D+∠ABD = 180°
∴∠D+∠ABC+∠EBC+∠EBD= 180°
∴∠EBC=180°-90°-45°-30= 15°
（3）解：如下图，延长CB交于EF于H点，
∵EF//CA ，
∴∠EHB=∠ACB = 90°，
∴∠EBH = 90°-∠E= 30°，
∴∠EBC=180°-∠EBH=150°．
31．（1）解：如图1所示，过点O作，
∵，
∴，
∴∠BEO+∠EOH=180°，∠DFO+∠FOH=180°，
∴∠BEO+∠DFO+∠EOH+∠FOH=360°，即∠BEO+∠DFO+∠EOF=360°，
∴∠BEO+∠DFO=360°-∠EOF=260°；
（2）解：如图2所示，过点M作，
∵，
∴，
∴∠EMN=∠BEM，∠FMN=∠DFM，
∵EM平分∠BEO，MF平分∠DFO，
∴，
∴
（3）解：如图3所示，过点M作，过点N作，则，
∴∠PME=∠BEM，∠PMN=∠MNQ，∠QNF=∠NFC，
∴∠EMN -∠FNM
=∠EMP+∠PMN -∠MNQ -∠QNF
=∠EMP -∠QNF
=∠BEM -∠NFC，
∵NF平分∠CFO，EM平分∠BEO，
∴，
∴；
如图1所示，∠BEO+∠EOH=180°，∠HOF=∠CFO，∠HOF+∠EOH=∠EOF=100°，
∴180°-∠BEO+∠CFO=100°，
∴∠BEO -∠CFO=80°，
∴．
