第22章 四边形（单元复习卷）
一、单选题
1．若一个多边形的每个内角都为，则它的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列判断中，不正确的是（ ）
A． B．
C．如果，那么 D．
5．下列命题中，真命题的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形
D．两条对角互相平分的四边形是平行四边形
6．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（ ）
A．48 B．36 C．24 D．18
7．如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，那么这个梯形的周长为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
8．如图，在正方形的外侧，作等边 ADE，则为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，，都是平行四边形ABCD的顶点，若将平行四边形ABCD沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点F，连接，给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤可能是等腰三角形，正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
12．已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是 ．
13．已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点．设=，=，那么= ．（结果用、表示）．
14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线和相交于点O，如果，，，那么m的取值范围是 ．
15．如图，矩形的对角线相交于点O，，，则长为
16．如图，点分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，．若，，则的长是 ．
17．我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是 ．
18．如图，矩形中，对角线，交于点，，，点为的中点，点为，上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，当点落在矩形的对角线上时，的长为 ．
三、解答题
19．如图在中，点E，F为延长线上的点，且，连接 ，，求证：四边形为平行四边形．
20．如图，在梯形中，，，点是的中点．
(1)填空： +______，______；
(2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个；
(3)求作：+．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）
21．如图，已知梯形中，， 、分别是、的中点，点在边上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，求证：四边形是矩形．
22．如图，在中，，为的中点，，，交于点，连结，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则四边形的面积是________．
23．如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．
(1)求证：四边形是等腰梯形；
(2)点在腰上，连接交于点，若，求证：．
24．如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，且．
(1)求证：；
(2)作的平分线交的延长线于G，连接．探究，与的数量关系，并证明．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且的面积为20．点在双曲线上．
(1)求点C的坐标以及k的值；
(2)联结，直线l向上平移交直线于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点P的坐标；
(3)点E为y轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点E运动的过程中，当顶点F落在直线上时，求点E的坐标．
26．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
答案
一、单选题
1．B
【分析】
本题考查了正多边形的内角与相邻外角互补的性质，以及正多边形的外角与边数的关系．
根据平角的定义，先求出每一个外角的度数，多边形的边数等于除以外角的度数，列式计算即可．
【解析】解：∵多边形每个内角都为，
∴多边形每个外角都为，
∴边数为：
故选：B．
2．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质平行四即可求出，进而可求出．
【解析】解：在中，，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．A
【分析】根据矩形的性质即可求解．
【解析】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：A
4．C
【分析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进行分析判断即可．
【解析】解：A．，故A正确，不符合题意；
B．，故B正确，不符合题意；
C．如果，那么或，故C错误，符合题意；
D．，故D正确，不符合题意．
故选：C．
5．D
【分析】根据特殊四边形的判定方法即可判定．
【解析】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故为假命题；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为假命题；
C、两条对角线相等的四边形不一定是矩形或等腰梯形，故为假命题；
D、两条对角互相平分的四边形是平行四边形，故为真命题；
故选：D．
6．C
【分析】
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【解析】解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
7．C
【分析】根据等腰梯形性质求出，求出，求出，推出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，即可求出答案．
【解析】解：等腰梯形中，，，，
，，
∵BD平分，
，
，，
，
梯形的周长是，
故选：C．
8．B
【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案．
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵ ADE是正三角形，
∴，
∴．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，根据三角形中位线的判定确定点是线段边的中点，继而得到，从而确定平行四边形ABCD向右平移个单位，据此得解．
【解析】解：，，都是平行四边形ABCD的顶点，
∴，，，
即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点，
∴，
∵点是线段边的中点，
∴点的坐标为，即，
过点作轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是线段边的中点，
∴，
∵将平行四边形ABCD沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，
又∵，，
∴平行四边形ABCD沿轴向右平移个单位，
∴．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．通过证明四边形是矩形，得出．通过证明是等腰直角三角形，即可判断①；延长交于点N，延长交于点M．通过证明，即可判断②；根据全等是性质得出，结合，即可得出，即可判断③；连接，根据矩形的性质得出，当时，最小，即可判断④；易得当或或时，是等腰三角形，即可判断⑤．
【解析】解：∵，，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，①正确；
延长交于点N，延长交于点M．
∵四边形是正方形．
∴，
又∵，，
∴四边形是正方形，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；故②正确；
，
与中，，
∴，
∴，故③正确；
连接，
∵矩形中，，
∴当时，最小，
此时是等腰直角三角形，斜边为，
则，
∴EF的最小值为，故④正确；
∵点P是正方形的对角线上任意一点，，
∴当时，；
当时，，
当时，，
∴当或或时，是等腰三角形，故⑤正确；
综上：正确的有①②③④⑤，共5个．
故选：D．
二、填空题
11．6
【分析】本题考查了多边形内角与外角．设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解析】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
12．
【分析】根据题意画出图形，根据等腰梯形的性质得出，根据得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【解析】解：如图所示，
∵
∴，
又∵,，设交于点,
∴是等腰直角三角形，
∴
设，则
∴
即,
故答案为：．
13．
【分析】根据平行四边形的性质可得＝＝，然后求出,根据＝+即可求出结论．
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC
∴＝＝，
∵E是AB的中点，
∴＝＝，
∵＝+，
∴＝﹣+，
故答案为：﹣+．
14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线和相交于点O，如果，，，那么m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
本题考查的是三角形的三边关系的应用，平行四边形的性质，先证明，，再利用三角形的三边关系可得答案．
【解析】
解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
故答案为．
15．8
【分析】
本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，先证是等边三角形，推出，再结合矩形的性质即可求解．
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：8．
16．
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到；根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【解析】
证明：四边形是正方形，
，，
，
在与中，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．
故答案为：5
17．
【分析】由题意可证是等边三角形，可求菱形的面积，可证四边形是平行四边形，可得的面积，，即可求解．
【解析】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的面积，
是对边中位线，
，，
，
且，
四边形是平行四边形，
的面积，，
是邻边中位线，
，
故答案为．
18．或
【分析】
本题考查矩形的性质和折叠的性质及勾股定理，本题要数形结合即可解答．
分两种情况讨论，当点在上时，可得是等边三角形，从而得出，此时，当点在上时，刚好和点重合，此时．
【解析】
解：当点在上时，如图：
由折叠的性质可知，，，，
，四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，
当点在上时，刚好和点重合，如图：
由勾股定理得，
是中点，
，
由折叠的性质知，
在中，，，
．
故答案为：或．
三、解答题
19．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E，F在的延长线上，，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
20．（1）∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
故答案为：；．
（2）与平行的向量有：，，，，，，共个，
故答案为：．
（3）以点为圆心，长为半径，延长，连接，
∴，
∴ +=+= ．
图形见下：
21．（1）证明：如图所示，连接EG，
∵梯形中，， 、分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接，将与的交点记为点O，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
22．（1）证明：∵，为的中点，
∴.
∵，，
∴四边形是平行四边形.
∴
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形.
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形的面积是．
故答案为：24．
23．（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∵
∴
∴
∵（）
∴四边形是等腰梯形；
（2）证明：，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
．
24．（1）证明：延长至G，使，连接，如图1，
∵四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点G作于H，如图2，
由（1）中，
平分，
，
，
，即，
而，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
而，
，
在和中，
，
，
，，
而，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
.
25．（1）把代入，得，
∴点A坐标是，
∵，
∴，
∵点C在第二象限，
∴，
把代入，得，
∴点C坐标是．
把代入，得．
（2）由（1）可知，双曲线为．
把D坐标，代入，得，
∴点D坐标是．
设直线表达式为：，
把，代入，得，
解得，
∴直线表达式为：．
∵四边形是菱形，
∴，
∵点P在直线上，
∴设点，
则，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴点P坐标是，
（3）设点，
①当点E在点D的下方时，
如图，过点E作轴，过点D作，垂足为M，
过点F作，垂足为N，则，
∵点D坐标是，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，，
∴点F坐标是，
把代入直线：，得，
解得：，
∴点；
②当点E在点D的上方时，同理可得点F坐标是，
代入直线：，可得，
∴点．
综上所述，点或
26．（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EFAB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在RtCDE中，DE＝＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，
∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
