2024-2025学年第一学期初三数学现场作业 2024.12
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知⊙O的半径为5cm，若OP＝3cm，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能
2．已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x，下列关于函数图象的说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．图象经过原点
C．开口向上 D．图象有最低点
3．一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（ ）
A．140° B．144° C．146° D．150°
第4题 第7题 第8题
5．下列说法正确的是（ ）
A．三个点可以确定一个圆
B．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点
C．垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
D．过弦的中点的直线必过圆心
6．已知点（-1，y1），（4，y2）.（-3，y3）都在函数y＝ax2-4ax+c（a＜0）上，则（ ）
A.y2＜y3＜y1 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1 D.y3＜y1＜y2
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣3，4），点B是⊙A上一点，⊙A的半径为2，将OB绕O点顺时针方向旋转90°得OC，连接AC，则线段AC的最小值为（ ）
A．5﹣2 B． C．5 D．6
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，按把答案直接算写在答师纸相应位置上）
9．某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间（单位：分钟）是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是 ．
10．如图是一个可以自由转动的转盘，如果转动一次转盘，转盘中阴影部分的扇形的圆心角度数为120°．则停止后指针指向阴影部分的概率是 ．
第10题 第14题
11．⊙O的直径为17cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
12．抛物线y＝x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是 ．
13．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．
14．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为85°、30°，则∠ACB的大小为 ．
15．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB＝4，AD＝2，中心为O，在矩形外有一点P，OP＝3，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 ．
第15题 第16题
16．如图，正方形ABCD的边长是6cm，E是CD边的中点．将该正方形沿BE折叠，点C落在点C′处．⊙O分别与AB、AD、BC′相切，切点分别为F、G、H，则⊙O的半径为 cm．
三、解答题.（本大题共11小题，共82分.请在指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下：
甲 7 9 7 9 10 6
乙 5 8 9 10 10 6
（1）根据表格中的数据填空：
甲成绩的中位数是 环，乙成绩的众数是 环．
（2）求甲、乙测试成绩的方差；
（3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．
18．如图，在坐标系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D（5，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣3）在⊙M ．（填内、外、上）
19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
20．为落实”双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：“A组：t≤45”“B组：45＜t≤60”“C组：60＜t≤75”“D组：75＜t≤90”E组：t＞90”将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度；
（3）若该校共有1600名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
21．一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点；
（2）若∠C＝70°，求∠ODE的度数．
23．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为每件60元时，每天销售量是40件，而销售单价每下降1元，每天的销售量就增加2件．设每件商品的售价为x元时，每天的销售量为y件．
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少元？
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC、AC．点P是直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若S△PBC＝，求点P的坐标．
25．如图①所示，石碾是我国古代劳动人民发明的一种用石头和木材等制作的使谷物等破碎或去皮用的工具，由碾盘（碾台）、碾砣（碾磙子、碾碌碡）、碾框、碾管芯、碾棍孔、碾棍等组成．如图②所示的是从石碾抽象出来的几何模型，BD是⊙O的直径，点C在BD的延长线上，BE平分∠ABC交⊙O于点E，BA⊥CE交CE的延长线于点A．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是4，AB＝6，求线段CE的长．
26．如图1，在矩形ABCD中，边长AB＝a，AD＝b，其中a、b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，连接BD．点O从点C出发，沿CB向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，以O为圆心，OC的长为半径作半圆，交射线CB于点Q。
（1）BD＝ ．
（2）如图2，当t为多少时，点O运动到∠BDC的角平分线上，此时，半圆O与BD有怎样的位置关系，并加以说明．
（3）如图4，当半圆O与△ABD的边有两个交点时，直接写出t的取值范围．
27．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标；
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC＝45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．选：A．
2．选：B．
3．选：C．
4．选：B．
5．选：C．
6．选：D
7．选：A．
8．选：A．
9．答案为：80．
10．答案为．
11．答案为：相交．
12答案为：y＝x2﹣2x+4．
13．答案为：30°或150°．
14．答案为：27.5°．
15．答案为：3﹣≤d≤2．
16．答案为：．
17．解：（1）甲成绩的中位数是＝8（环），
乙成绩的众数是10环．
故答案为： 8，10；
（2）＝[（7﹣8）2×2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2+（6﹣8）2]＝2；
＝[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+2×（10﹣8）2+（6﹣8）2]＝；
（3）推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下：
因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适．
18．解：（1）∵A（1，6）、B（5，6），
∴AB的垂直平分线所在直线为x＝3，
∴圆心M在直线x＝3上，
设M（3，m），
∴MA＝MC，
∴4+（m﹣6）2＝16+（m﹣4）2，
解得m＝2，
∴M（3，2），
故答案为：（3，2）；
（2）∵M（3，2），
∴MA＝＝2，
故答案为：2；
（3）∵D（5，﹣3），M（3，2），
∴MD＝＝＞2，
∴点D（5，﹣3）在⊙M外，
故答案为：外．
19．解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝＝，
即OF的长为．
20．解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）1600×＝1520（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1520人．
21．解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，
∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是2）＝；
（2）画树状图如下：
一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1出现了3次，
∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1）＝．
22．（1）证明：连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴E是BC的中点；
（2）∵AB=AC
∴∠B=∠C=70°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°，
∵∠BAC=∠BOD，
∴∠BOD=80°．∴∠ODE=70°
23．解：（1）由题意得，y＝40+2（60﹣x）＝﹣2x+160，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+160．
（2）由题意得，W＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250．
∵﹣2＜0，
∴当x＝55时，W的值最大，最大值为1250元．
答：当售价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
24．解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）△PBC和△ABC是同底的两个三角形，则面积比为高的比，
故过点A作直线n∥BC交y轴于点N，取CN的中点M，过点M作直线m∥BC，交平行线于点P′，
取CM＝CL，过点L作直线l交抛物线于点P，则点P为所求点，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
则直线n的表达式为：y＝﹣（x+1），则点N（0，﹣1），
在点M（0，1），则直线m的表达式为：y＝﹣x+1，
同理可得直线l的表达式为：y＝﹣x+5，
联立直线了和抛物线的表达式得：﹣x+5＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝2或1，
即点P（2，3）或（1，4）．
25．（1）证明：如图，连接OE，则OE＝OB，
∴∠OEB＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠ABE，
∴OE∥AB，
∵BA⊥CE交CE的延长线于点A，
∴∠OEC＝∠A＝90°．
∵OE是⊙O的半径，且AC⊥OE，
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）如图，过点O作OF⊥AB于点F，则∠OFB＝∠OFA＝90°．
∵∠OFA＝∠A＝∠OEA＝90°，
∴四边形OEAF是矩形．
∵⊙O的半径是4，AB＝6，
∴AF＝OE＝OB＝4，
∴BF＝AB﹣AF＝6﹣4＝2．
∵，
∴∠FBO＝60°，
∵OE∥AB，
∴∠EOC＝∠FBO＝60°．
∵，
∴．
故线段CE的长是．
26．解：（1）由x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∵边长AB＝a，AD＝b，其中a，b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，
∴AB＝3，AD＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝4，
∴，
故答案为：5；
（2）如图，过点O作OE⊥BD，垂足为点E，
∵OD是∠BDC的平分线，
又在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴OC⊥CD，
∴OE＝OC，
∴BD是⊙O的切线，即BD与⊙O相切，
又S△BDC＝S△BDO+S△CDO，
∴，
∴5OE+3OC＝12，即8OC＝12，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：如图，当半圆O与BD相切时，此时半圆O与△ABD的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接OH，
由（2）知，，
如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与△ABD的边有2个交点，
此时，BC为半圆O的直径，，
∴t＝2÷1＝2，
∴当时，半圆O与BD有2个交点，
即半圆O与△ABD的边有2个交点；
如图，此时，半圆O与BD有1个交点，与AB有1个交点，
如图，当半圆O与AD相切时，此时半圆O与△ABD的边有3个交点，设AD与半圆O的切点为M，连接OM，
∵OM＝OC＝AB＝3，
∴t＝3÷1＝3，
∴当2＜t＜3时，半圆O与BD有1个交点，与AB有1个交点，
即半圆O与△ABD的边有2个交点；
如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与△ABD的边有3个交点；
连接OA，
设OA＝OC＝x，由勾股定理得：
32+（4﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
∴，
如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动，
∴OC＝BC＝4，
∴t＝4÷1＝4，
∴当时，半圆O与BD有1个交点，与AD有1个交点，
即半圆O与△ABD的边有2个交点；
综上，半圆O与△ABD的边有两个交点时，或．
27．解：（1）把点A坐标为（﹣1，0）代入抛物线中，
则，得：c＝2，
故抛物线的解析式为：y＝．
（2）∵⊙D经过B，C两点，则DB＝DC，
设D（0，y），则CD＝，
BD2＝（0﹣y）2+42＝16+y2，CD2＝（2﹣y）2，
∴16+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝﹣3．
故点D坐标为（0，﹣3）．
（3）证明：在点P运动过程中，存在能够使得∠PBC＝45°的点P，理由如下：
①设当P点在x轴上方抛物线上时，设∠PBC＝45°，作PS⊥BC如图4所示，
构造一线三垂直，SM⊥x轴，PN⊥SM于N，
令y＝＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
故点B（4，0），又C（0，2）
设lBC：y＝kx+b，代入B（4，0），又C（0，2），可得：
，解得，
故lBC：y＝x+2，
设S（s，），
∵PS＝SB，则易证△SNP≌△BMS，
∴SM＝PN＝，BM＝NS＝4﹣s，
进而可得点P坐标为（，），
把点P（，）代入抛物线中，
发现点P不在抛物线图象上，
故点P不存在；
②设当P点在x轴下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，
作∠PBC＝45°，CR⊥PB，RT⊥y轴，BQ⊥TR于点Q，
由题意得CR＝BR，
易证△CTR≌△RQB，
∴TR＝BQ，CT＝RQ，
设TR＝BQ＝a，CT＝RQ＝b，
则，解得：，
∴R点坐标为（1，﹣1）．
则由待定系数法可得直线lBR：y＝，
联立，解得：．
即点P坐标为（，）．
综上所述，点P坐标为（，）．
9
