北京市通州区2024-2025学年高三（上）期末数学试题
本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知全集，集合，则
A. B. C. D.
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则
A. B. C. D.
3. 已知函数，则
A.是偶函数，且在上是增函数
B.是偶函数，且在上是减函数
C.是奇函数，且在上是增函数
D.是奇函数，且在上是减函数
4. 在二项式的展开式中，常数项为
A. B. C. D.
5. 圆与圆的位置关系是
A.相交 B.内切 C.外切 D.外离
6. 设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为
A. B. C. D.
7. 已知直线，双曲线，则“”是“直线与双曲线无交点”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是
A.元 B.元
C.元 D.元
9. 关于函数，有下列命题：
①若，则；
②的图象可由向左平移得到；
③若且，则一定有；
④函数的图象关于直线对称.
其中正确命题的个数有
A. B. C. D.
10. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，下列说法正确的是
A.当时，数列为递减数列
B.数列不可能为等比数列
C.当，，都有
D.当时，，，都有
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知函数，则_________.
12. 三个班共有120名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：
A班 6 6.5 7 7.5 8 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 4 6.5 8 8.5 10 12.5 13.5
估计A班的人数有_________人；设B班体育锻炼时间的方差为，C班体育锻炼时间的方差为，则_________（填：）.
13. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则线段的中点的横坐标为_________.
14. 已知是同一平面上的三个向量，满足，，则与的夹角等于_________；若与的夹角为，则的最大值为_________.
15. 如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直. 为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论：
①，使；
②，使；
③点到的最小值为；
④四棱锥体积的最大值为.
其中正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，边上中线的长为2，求的面积.
17.（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，
是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，
按第一个解答计分.
18.（本小题13分）
为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务. 无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据. 如下：
车次序号 乘车人数
110号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7
1120号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8
用频率估计概率.
（Ⅰ）试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率；
（Ⅱ）假设微公交乘车人数相互独立，记为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两辆微公交都满载9人的概率不低于，则需要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司在客流量高峰期是否需要缩短发车间隔.（写出结论，不用说明理由）
19.（本小题15分）
已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
20.（本小题15分）
已知在点处与轴相切.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若，求证.
21.（本小题15分）
定义：若正整数能表示成（为正整数且）的形式，则称为“型数”，也称具有“结构”. 若数列中的项均为“型数”，则称数列为“型数列”.
（Ⅰ）写出这四个数中的“型数”；
（Ⅱ）若为等差数列，且，，求证中任意一项均不为“型数”；
（Ⅲ）若数列，均为“型数列”，设，求证数列为“型数列”.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D D B A A B C
二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分.
11． 12．36 < 13．3 14． 4 15．①③④
注：第（12），（14）题第一空3分 ，第二空2分；第（15）题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分.
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由，得.
在中，由正弦定理得.
因为，所以，
又，所以. ………………………7分
（Ⅱ）设边中点为，连接，则，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得，
所以的面积为. …………………13分
（17）（本小题14分）
(Ⅰ)证明：因为ABCD为菱形，
所以，
又平面，平面,
所以平面. …………………5分
(Ⅱ)选择条件①平面平面.
因为，是的中点，所以.
又平面平面且交线为，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
因为平面，平面，
所以.
因为平面，
所以平面.
所以.
所以，，.
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.
则，所以，设平面的法向量为
则，
令，则，，则.
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为. …………………14分
（法二：，可求得D点到平面ABE的距离为，则）
选择条件②.
因为平面，
所以，
在△中，由勾股定理可知.
在△中，由勾股定理可知.
所以.
又，
所以△△.
所以.
所以.
所以，，.
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.
以下解答同条件①.
（法二：在△中，由勾股定理可知.
因为在△中，
由勾股定理可知.
所以.）
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）该站点乘客流量高峰期无人驾驶微公交载客人数达到满载9人为事件A，乘客人数是7人为事件B，乘客人数是8人为事件C.
由表中数据可知达到满载9人的车次有14辆，总数共20辆，
所以. …………………3分
（Ⅱ），.
X的可能取值为14,15,16,17,18.
，，
，，
.
所以随机变量X的分布列为：
X 14 15 16 17 18
P 0.01 0.04 0.18 0.28 0.49
…………………10分
数学期望E（X）.……11分
（Ⅲ）需要缩短连续两辆公交的时间间隔. …………………13分
（因为连续两辆载客情况有19种，均满载有10种，）
…
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题设可知，，所以,.
所以椭圆的标准方程为. …………………4分
离心率. …………………5分
（Ⅱ）由题意直线l的斜率存在且不为0.
设直线方程为，则点M坐标为.
由得.
由题意.
设，，则，.
因为与A关于y轴对称，则.
则直线的方程为.
令，
则点N坐标为.
假设存在定点E满足条件，
则有△△.
则有.
所以.
所以点E坐标为或. …………………15分
法二：设A点坐标为，则点坐标为，B点坐标为.
则有，.
直线AB方程为.
令，则.
则M点坐标为（0，）
直线方程为.
令，则.
则N点坐标为（0，）.
假设存在定点E满足条件，
则有△△.
则有.
所以.
所以点E坐标为或.
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）依题意，.
由得
，.
依题意.
由 得，. …………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，定义域为.
.
令，得.
令，得.
当时，，在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
所以有.
即.
所以函数的单调递减区间为 ，无单调递增区间.………10分
（Ⅲ）因为，
所以要证成立，
只需证成立.
即证.
设，即证在上成立.
即证在上成立.
由（Ⅱ）可知的单调递减区间为
所以有，
即成立. …………………15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）7,14,21,28这四个数中的“T型数”有7,21,28. …………………3分
;
;
.
（Ⅱ）因为为等差数列，且，，
所以有，.
所以. …………………2分
下面用反证法证明：
假设存在N，使为“T型数”
则有.
(1)若均可以被3整除，则一定被3整除，与矛盾.
(2)若，则，
与矛盾.
（3）若，
则
与矛盾.
（4）若，结论与（2）同.
(5) 若，结论与（3）同.
(6) 若，
则
与矛盾.
(7)若，则结论与（6）同.
综上，中任意一项均不为“T型数”. …………………10分
（Ⅲ）因为数列，均为“T型数列”，
所以有（），（）
不妨设
（1）当时
则存在正整数以及既约分数，使得
则
（2）当时
（3）当时，则
由（1）（2）（3）可知为“T型数”，
所以数列为“T型数列”. …………………15分
注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．
