安庆四中 2024-2025 学年第二学期九年级开学检测数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或1
3．已知，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B． C．D．
5．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
6．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
7．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在劣弧上，连接AB，AC，BC．若∠AOB＝120°，∠BAC＝21°，则∠ABC的度数是（ ）
A．42° B．39° C．37° D．35°
8．已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x的与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（ ）
A．（a，0）和（b，0） B．（﹣a，0）和（﹣b，0）
C．（c，0）和（d，0） D．（﹣c，0）和（﹣d，0）
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b、⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣2，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF PC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共4小题，每题5分，满分20分）
11．若反比例函数的图象位于第二、四象限，那么a的取值范围为 ．
12．如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AD＝4，则AB的长为 ．（结果保留根号）
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD，则sin∠DEB的值为 ．
14．如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 ；
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则 ．
三．（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：sin45°sin60°﹣2tan45°．
16．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接OC，求出△AOC的面积．
四．（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．
18．一次函数y＝﹣x+5与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中A（1，a）．
（1）求反比例函数表达式；
（2）若把一次函数y＝﹣x+5的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值．
五．（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠BDC＝∠DEC．求证：
（1）△ADE∽△ACD；
（2）．
20．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：1.732）
六．（本题满分12分）
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，以AD为直径作⊙O交AB于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径．
七．（本题满分12分）
22．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
（3）如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MB的值最小时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．已知是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或1
【解答】解：∵是二次函数，
∴，
解得m＝1，
故选：B．
3．已知，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵，
∴1
1
，
故选：D．
4．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
【解答】解：设A的坐标是（m，n），则mn＝2．
则AB＝m，△ABC的AB边上的高等于n．
则△ABC的面积mn＝1．
故选：A．
6．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；
故选：C．
7．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在劣弧上，连接AB，AC，BC．若∠AOB＝120°，∠BAC＝21°，则∠ABC的度数是（ ）
A．42° B．39° C．37° D．35°
【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD，DB．
∵∠AOB＝120°，
∴∠ADB∠AOB＝60°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAB＝180°﹣120°﹣21°＝39°．
故选：B．
8．已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x的与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（ ）
A．（a，0）和（b，0） B．（﹣a，0）和（﹣b，0）
C．（c，0）和（d，0） D．（﹣c，0）和（﹣d，0）
【解答】解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝x2﹣（a+b+1）x+ab，函数与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），
∴c+d＝a+b+1，cd＝ab，
∵y＝（x﹣c）（x﹣d）+x＝x2﹣（c+d﹣1）x+cd＝x2﹣（a+b）x+ab，
则x1+x2＝a+b，x1x2＝ab，
即关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（a，0）、（b，0），
故选：A．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b、⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣2，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
而b＝2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴4a+c＞0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以④正确；
∵图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（，2），
即x1，x2，
∴x1+2x22，所以⑤错误．
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF PC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BPC是等边三角形，
∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC，
∴∠PEF＝∠PBC＝60°，∠PFE＝∠PCB＝60°，∠ABE＝∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE，AEEB，
∴PE＝PF，
∴PB+PE＝PC+PF，
∴EB＝FC，
∴AEFC，
故①正确；
∵PC＝DC＝BC，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝∠DPC（180°﹣30°）＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
设PB＝PC＝BC＝CD＝2m，作PG⊥BC于点G，PL⊥CD于点L，
∵∠PGC＝∠GCL＝∠PLC＝90°，
∴四边形PGCL是矩形，
∴PL＝CG＝BGBC＝m，
∴PGm，
∴，
故③正确；
∵tan30°，
∴，
∵DF∥BC，
∴△DFH∽△BCH，
∴，
∴，
故④错误；
∵∠PBC＝60°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∴∠DBE＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠PDE＝∠DBE，
∵∠PED＝∠DEB，
∴△PED∽△DEB，
∴，
∴DE2＝PE BE＝PF CF≠PF PC，
故⑤错误，
故选：C．
二．填空题（共4小题）
11．若反比例函数的图象位于第二、四象限，那么a的取值范围为 ．
【解答】解：由题意得2﹣3a＜0，
解得．
故答案为：．
12．如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AD＝4，则AB的长为 ．（结果保留根号）
【解答】解：由题知，
因为点D是线段AB的黄金分割点，且AD＞BD，
所以．
又因为AD＝4，
所以AB．
故答案为：．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD，则sin∠DEB的值为 ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴，
∴，
∵DE⊥BC，
∴DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝4，
∴
＝6，
∴，
∴
＝5，
∵∠DEB＝∠CBE，
∴，
故答案为：．
14．如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 2 ；
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则 ．
【解答】解：（1）作OH⊥MN于H，
∴HN＝MH，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝AP+PB＝8，
∴ON＝4，PO＝OA﹣AP＝4﹣2＝2，
∵∠NPB＝45°，
∴△POH是等腰直角三角形，
∴OHPO，
∴NH，
∴MN＝2NH＝2．
故答案为：2．
（2）由（1）知MH＝NH，OH＝PH，
∴PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PN＝NH+PH＝NH+OH，
∴PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），
∵OH2+NH2＝ON2＝OA2，
∴PM2+PN2＝2OA2，
∵BA2＝（2OA）2＝4OA2，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
15．计算：sin45°sin60°﹣2tan45°．
【解答】解：原式22×1
3﹣2
．
16．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接OC，求出△AOC的面积．
【解答】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC2×4＝4．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
18．一次函数y＝﹣x+5与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中A（1，a）．
（1）求反比例函数表达式；
（2）若把一次函数y＝﹣x+5的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值．
【解答】解：（1）把A（1，a）代入y＝﹣x+5可得：
∴a＝﹣1+5＝4，
∴A（1，4）；
∴k＝xy＝4，
∴反比例函数表达式为；
（2）∵把一次函数y＝﹣x+5的图象向下平移b个单位，
∴平移后的解析式为y＝﹣x+5﹣b，
∴，
∴，
整理得：x2﹣（5﹣b）x+4＝0，
∵y＝﹣x+5﹣b与反比例函数的图象只有一个交点，
∴x2﹣（5﹣b）x+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（5﹣b）]2﹣4×1×4＝（5﹣b）2﹣16＝0，
∴（5﹣b）2＝16，
∴5﹣b＝4或5﹣b＝﹣4，
解得：b＝1，b＝9，
∴b＝1或b＝9．
19．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠BDC＝∠DEC．求证：
（1）△ADE∽△ACD；
（2）．
【解答】证明：（1）∵∠BDC＝∠DEC，∠BDC＝∠A+∠ACD，∠DEC＝∠A+ADE，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD；
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∵∠BDC＝∠DEC，
∴△DEC∽△BDC，
∴，
∴CD2＝DE BC．
∴．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴．
20．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：1.732）
【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
则四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH，
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝50（米），
在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°，
∴CFEF＝50（米），
∴BC＝BF+CF＝（50+50）（米）．
答：建筑物BC的高度为（50+50）米．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，以AD为直径作⊙O交AB于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBE，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠DBE，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠BDC+∠ADB＝90°，
∴AD⊥CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：连接AH，
∵AD为直径，
∴∠AHD＝90°，
∵∠C＝∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠CDB＝∠∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠DAH＝∠CDB，
∵，
∴tan∠DAH，
∵DH，
∴AH＝2，
∴AD5，
∴⊙O的半径为．
22．问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AFAG，
∵AGAB，
∴AFAB，
∴；
（2）取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DHAB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DHAB，
∴，
∴．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MB的值最小时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
将A、B代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y．
答：抛物线的解析式为y．
（2）∵抛物线的解析式为y．
∴当y＝0时，解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴抛物线的对称轴为直线x，
∵A（﹣4，0），C（2，0）关于x＝﹣1对称，
如图，连接AB交对称轴于点M，
∴MB+MC＝MB+MA＝AB，
此时MC+MB取得最小值．
∴当x＝﹣1时，y＝﹣1+4＝3，
∴M（﹣1，3）．
答：点M的坐标为（﹣1，3）．
（3）如图，过点P作PE∥OB交AB于点E，
则△PDE∽△ODB，
∴，
设点P（m，）（﹣4＜m＜0），
∴E（m，m+4），
∴，
∴，
∴当m时有最大值，
∴的最大值为．
答：的最大值的最大值为．
