2025年江苏省无锡市中考数学模拟训练试卷
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个数的倒数是，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
2． 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3． 分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，
李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：
时间/小时 6 5 4 3 2
人数/名 2 6 4 6 2
下列关于家务劳动时间的描述错误的是（ ）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是4 D．方差是1.4
5． 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6． 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
小明如果以5 km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6 km/h的速度从家去学校，
则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为x km，那么可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8 . 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，
若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9 . 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E是边的中点．
若，sin∠，则菱形的面积为（ ）
A．30 B．60 C．96 D．100
已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．
我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，
当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．）
11．分解因式： ．
12．据统计年初，上海常住人口约为人，其中数据用科学记数法可表示为 ．
13．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
14. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
15．某关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
16．如图，点分别是的中点，，连接，则 ．
17．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．
18．如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，
连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：
①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；
④平分正方形的面积；③，
在以上5个结论中，正确的有 ．
三、解答题：（本大题共10个小题，共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算与化简
(1)计算：
(2)化简：
20．（1）解方程：
（2）解不等式组：
21．如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，
体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典 庆佳节”系列活动，
活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，
人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，
将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，
指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．
任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；
甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．
某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动，为了解这次活动的效果，
学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，
且成绩均为整数）．测试结束后随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A：，B：，C：，D ：，
得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
其中七、八年级B组学生的成绩如下：
七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94
八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92
七、八年级选取的学生测试成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 92 a 94 c
八年级 92 b
【解决问题】
填空：______，______，______；
(2) 已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数；
(3) 根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，
哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可）
24．如图，∠MON=90°，点A、B分别在边ON和OM上（∠OAB≠45°）.
（1）根据要求，利用尺规作图，补全图形：
第①步：作∠MON的平分线OC，作线段AB的垂直平分线l，OC和l交于点P，
第②步：连接PA、PB；
（2）结合补完整的图形，判断PA和PB有什么数量关系和位置关系？并说明理由.
25 .快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．
已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，
共需24万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：
甲型机器人 乙型机器人
购买单价（万元/台） m n
每小时拣快递数量（件） 1200 1000
（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买甲型机器人不超过4台，
并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8400件，则该公司有几种购买方案？
哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？
如图，是△ABC的外接圆，是的直径，，垂足为点F．
延长交过点D的切线于G点．
求证：；
求证：；
连接并延长交于点E，若，求的长．
如图，长方形，点E是上的一点，将沿折叠后得到，
且点O在长方形内部．已知，．
如图1，若，求四边形的面积．
(2) 如图2，延长交于F，连结，将沿折叠，当点D的对称点恰好为点O时，
求四边形的面积．
如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连结，将沿折叠，
当点C的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，
将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，．
求抛物线的表达式；
(2) 如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？
若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，
为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年江苏省无锡市中考数学模拟训练试卷解答
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个数的倒数是，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：一个数的倒数是，所以这个数是，
故选：D．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式里的被开方数不小于，依此即可解答．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故选C．
3．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】由得：
，
，
，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，
李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：
时间/小时 6 5 4 3 2
人数/名 2 6 4 6 2
下列关于家务劳动时间的描述错误的是（ ）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是4 D．方差是1.4
【答案】D
【分析】根据众数的定义、中位数的定义、平均数的定义及方差的定义分别进行计算即可．
【详解】解：由表中数据可知，参加家务劳动的时间为3小时的人数是6人，人数最多，
∴众数为6，故A正确；
平均数为：，故B正确；
把参加家务劳动的时间这组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间的两个时间为：4、4，
∴中位数为：，故C正确；
方差为：，故D错误，
故选：D．
5．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
6．．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可得．
【详解】解：由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为，
则圆锥的侧面积为，
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是，
故选：C．
小明如果以5 km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6 km/h的速度从家去学校，
则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为x km，那么可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设小明家到学校距离为x km，根据“以5km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6km/h的速度从家去学校，则会提前2分钟”即可列出方程．
【详解】解：设小明家到学校距离为x km，
根据题意得：，
故选：B．
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，
若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：将绕点A按逆时针方向旋转得到．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E是边的中点．
若，sin∠，则菱形的面积为（ ）
A．30 B．60 C．96 D．100
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角， 直角三角形斜边上的中线的性质，先由菱形的性质得到，则，再解直角三角形求出，进而求出，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点O，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵在中，sin∠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．
我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，
当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．
【详解】解：①当时，，当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴在时，，即，
∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当时，，当时，，
∵对称轴为y轴，，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴在时，，即，
∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，
整理得：，
∵，，
∴总存在，
∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
设，则，
当函数存在“4级关联范围”时，，
解得：，
∴是函数的“4级关联范围”，
∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】，
，
，
故答案为：
12．据统计年初，上海常住人口约为人，其中数据用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】根据不等式的基本性质即可解答．
【详解】解： ∵
∴，
∴命题“若，则”是真命题．
故答案为：真．
14.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15．某关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：，
∴，
∵，
∴且，
故答案为：且．
16．如图，点分别是的中点，，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线定理．根据三角形中位线定理即可求得．
【详解】解：∵点是的中点，且，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，
故答案为：．
17．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．
【答案】2或3
【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
设平移后点A、B的对应点分别为，
∴，
∵两点恰好都落在函数的图象上，
∴把代入得：，
解得：或．
故答案为：2或3．
18．如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，
连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：
①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；
④平分正方形的面积；③，
在以上5个结论中，正确的有 ．
【答案】①②③⑤
【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是直角三角形，
故①②正确，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，
设．则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，故③正确，
如图2中，
当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤
三、解答题：（本大题共10个小题，共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算与化简
(1)计算：
(2)化简：
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算，进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式
＝
（2）解：原式
＝
20．（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据分解因式法求解一元二次方程，即可得到答案；
（2）根据一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵
∴
∴，；
（2）∵
∴
∴
∴．
21．如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明△ABE≌△DFA即可得到AB=DF；
（2）由（1）AF=BE=3，DF=AB=CD，证出△DFE≌△DCE，求出AE=4，再利用勾股定理求出DF即可.
【详解】（1）证明：在矩形中
，，，
，
，，，，
∴△ABE≌△DFA，
；
（2）由（1）可得△ABE≌△DFA，
，，
∵∠DFE=∠DCE，
∴△DFE≌△DCE，
，，
在中，，
∴DF=.
22．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典 庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．
(1)任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；
(2)甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据将圆形转盘四等分，即可求解；
（2）画出树状图即可求解．
【详解】（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，
∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为：
故答案为：
（2）解：画出树状图，如图：
共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种
故甲和乙选到不同活动项目的概率为：
某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动，为了解这次活动的效果，
学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，
且成绩均为整数）．测试结束后随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A：，B：，C：，D ：，
得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
其中七、八年级B组学生的成绩如下：
七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94
八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92
七、八年级选取的学生测试成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 92 a 94 c
八年级 92 b
【解决问题】
(1)填空：______，______，______；
(2) 已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数；
(3) 根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，
哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可）
【答案】(1)；93；
(2)七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数人
(3)八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些，理由见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计整体等知识点，从条形统计图和扇形统计图中获取有用信息是正确解答的前提．
本题考查众数、中位数、优秀率计算，
先算出各组人数再根据众数、中位数、优秀率定义即可得到答案；
（2）本题考查根据样本计算总体的大概情况，分别利用各年级总人数乘以占比即可得到答案；
（3）本题考查根据众数，中位数，平均数及优秀率做决策，根据数据大小比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，七年级A组共5人，B组共6人，
七年级成绩中位数在B组，且第10和第11个数分别是93，92，
，
七年级成绩的优秀率为，
八年级 A组共人，B组共人，
C组共人，D组共人，
八年级成绩中93出现次数最多，则八年级成绩众数是，
故答案为：；93；；
（2）解：七年级学生本次测试成绩达到优秀的人数人，
八年级学生本次测试成绩达到优秀的人数人，
七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数人；
（3）解：八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些，理由如下：
七、八年级学生本次测试成绩的平均数相同，但八年级成绩优秀率高于七年级成绩优秀率，
故八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些（答案不唯一）．
24．如图，∠MON=90°，点A、B分别在边ON和OM上（∠OAB≠45°）.
（1）根据要求，利用尺规作图，补全图形：
第①步：作∠MON的平分线OC，作线段AB的垂直平分线l，OC和l交于点P，第②步：连接PA、PB；
（2）结合补完整的图形，判断PA和PB有什么数量关系和位置关系？并说明理由.
【答案】（1）见详解；（2）AP=BP，AP⊥BP，理由见详解.
【分析】（1）利用尺规作图的方法，作出∠MON的平分线OC，作线段AB的垂直平分线l，OC和l交于点P，连接PA、PB；
（2）由垂直平分线定理，得到AP=BP；作PD⊥ON与D，PE⊥OM与E，由点P在OC上，则PD=PE,即可证明Rt△ADP≌Rt△BEP，则∠APD=∠BPE，由∠DPE=90°，得到∠APB=90°，然后得到AP⊥BP.
【详解】解：（1）如图所示；
（2）AP=BP，AP⊥BP；
理由如下：
∵直线l垂直平分AB，点P在l上，
∴AP=BP；
如上图，作PD⊥ON与D，PE⊥OM与E，
∵点P在∠MON的平分线OC上，
∴PD=PE，
∴Rt△ADP≌Rt△BEP（HL），
∴∠APD=∠BPE；
∵∠MON=90°，PD⊥ON，PE⊥OM，PD=PE，
∴四边形OEPD是正方形；
∴∠DPE=90°，
∴∠APD+∠DPB=∠DPB+∠BPE=∠DPE=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BP.
25 .快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．
已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，
共需24万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：
甲型机器人 乙型机器人
购买单价（万元/台） m n
每小时拣快递数量（件） 1200 1000
（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买甲型机器人不超过4台，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8400件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？
【答案】（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；（2）公司有3种购买方案，分别是购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，购买甲型机器人4台，乙型机器人4台；该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元
【分析】（1）根据甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元和购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元，列出方程组，进行求解即可；
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8 a）台，根据两种型号的机器人共8台，每小时分拣快递件数总和不少于8400件，列出不等式，求出a的取值范围，再利用一次函数找到费用最低值．
【详解】解：（1）根据题意得：
，
解得：，
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元．
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人台，
根据题意得：，
解得：，因为，a为正整数，
∴a的取值为2，3，4，
∴该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台，
设该公司的购买费用为w万元，则，
∵，
∴w随a的增大而增大，
当时，w最小，（万元），
∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
如图，是△ABC的外接圆，是的直径，，垂足为点F．
延长交过点D的切线于G点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接并延长交于点E，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）垂径定理，等弧对等弦，即可得证；
（2）切线的性质，得到，进而得到，平行线的性质结合圆周角定理，即可得证；
（3）延长交于点，连接，先证，得到，再求出、、的长，即可求出的长．
【详解】（1）证明：是的直径，，
，
；
（2）∵是切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：延长交于点，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，，
，
即点为的中点，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
．
如图，长方形，点E是上的一点，将沿折叠后得到，
且点O在长方形内部．已知，．
如图1，若，求四边形的面积．
(2) 如图2，延长交于F，连结，将沿折叠，当点D的对称点恰好为点O时，
求四边形的面积．
如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连结，将沿折叠，
当点C的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得△OBE△ABE，在Rt△ABE中根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形面积公式计算即可；
（2）根据折叠的性质可得△OEF≌△DEF，设OF=DF=x,则FC=DC-DF=4-x，BF =BO＋OF =4＋x, 在Rt△BCF中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形面积公式计算，由S四边形ABFE=SRt△ABE+S△BEF计算得出结果即可；
（3）根据折叠的性质可得△CGF≌△OGF，可得，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据S四边形BEFG＝S△BEF＋S△BFG计算得出结果即可；
【详解】（1）四边形ABCD是长方形，AB=4，
，
将△ABE沿BE折叠后得到△OBE
△OBE△ABE
在Rt△ABE中，
AE= BE
=
四边形的面积；
（2）由（1）知△OBE≌△ABE，
∴OE = AE, OB = AB = 4，
又∵将△DEF沿EF折叠，点D的对称点恰好点O，
∴△OEF≌△DEF，
∴OE = DE，OF = DF，
∴OE= AE= DE=AD=，
设OF=DF=x,则FC=DC-DF=4-x，BF =BO＋OF =4＋x,
在Rt△BCF中，根据勾股定理得,
∴
解得x＝2.
∴S四边形ABFE=SRt△ABE+S△BEF
= × AB×AE+ ×OE× BF
=×4×+××(4+2)
=4+6
=10.
∴四边形ABFE的面积是；
（3）由(2)知，△OEF≌△DEF
∴OF = DF
∵将△CGF沿GF折叠，点C的对称点恰好为点O,
∴△CGF≌△OGF
∴OF = FC, ∠FOG = 90°,
∴DF = FC=DC=AB=2,∠BOG =180°-90°= 90°,
设，则
∵OB= 4，CB=4，CF =2，
在中，
解得
即OG＝
∴S四边形BEFG＝S△BEF＋S△BFG
=×OE×BF+×OG×BF
=××(4+2)+ ××(4+2)
=
∴四边形BEFG的面积是
28．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，
将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．
【答案】(1)抛物线表达式为
(2)存在，
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可；
（3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，
∴，
∴设抛物线表达式为，
将代入得，
∴抛物线表达式为；
（2）存在点，使的面积最大．
过点作轴于，交直线于点，
设，则，由题意得：，
故，
∴当时，最大．此时，，
∴；
（3）∵，
∴对称轴为直线，
设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时，
∵
∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，
∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，
∴且，
∴或，
∴或
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