2024-2025学年河南省郑州市管城区、二七区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．（3分）一元二次方程3x2+4x+2＝0一次项的系数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣3 B． C． D．y＝﹣5x2
3．（3分）河南博物院珍藏一个钧窑蓝灰釉大碗，金代，1978年长葛石固遗址窖藏出土，圆唇，直口，深弧腹，平底，圈足．通体施蓝灰釉，内壁釉色匀净，外壁有流釉痕迹，细小开片、胎呈浅灰色，胎质坚固细密，如图是这个钧窑蓝灰釉大碗的图片，关于该碗的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三视图都相同
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
5．（3分）新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为（ ）
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
6．（3分）一元二次方程x2﹣x+2025＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．（3分）若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
8．（3分）如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与双曲线的图象如图所示，其中A（1，8），B（4，2），C（﹣2，﹣4），若，则x的取值范围为（ ）
A．﹣2＜x＜1或x＞4 B．﹣2＜x＜0、0＜x＜1或x＞4
C．x＞﹣2或1＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或1＜x＜4
10．（3分）如图，等边三角形OAB中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），点B在第一象限，进行以下操作：①第一次，以A为旋转中心，将△OAB顺时针旋转30°得到△O1A1B1；第二次，以A为旋转中心，将△O1A1B1顺时针旋转30°得到△O2A2B2 ；②当点B落在x轴上时，以B为旋转中心延续前面的操作；③当点O落在x轴上时，以O为旋转中心延续前面的操作……当操作延续时，则经过点A21的反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 ．
12．（3分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 ．
13．（3分）1995年11月10日，为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如卧”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是 ．
14．（3分）如图，矩形ABOC的顶点A和正方形ECFD的顶点D都在反比例函数的图象上，点A的坐标为（2，4），则点D的坐标为 ．
15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点M为AD上一点，且AM＝3，点P为AB上一个动点，将△AMP沿MP折叠得到△QMP，点A的对应点为点Q，连接DQ，当点Q落在菱形ABCD的对角线上时，DQ的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）计算：2cos30°+°；
（2）已知，求的值；
（3）解方程：x2﹣5x+5＝0．
17．（8分）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图；
（2）该几何体的表面积（含下底面）是 cm2；
（3）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加 个小立方块．
18．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（﹣3，0），（1，0）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）若﹣4＜x＜3，求函数值y的取值范围．
19．（9分）如图，小明在高度为24米的楼顶C处观测到楼后一棵树AB的最高点A的俯角为45°，小红在高4米的二楼窗户D处观测到树AB的最高点A的仰角为37°，已知他们的观测点C，D和楼底E在一条直线上，求树AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P，Q分别为AD，BC上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接AQ，BP，交点为点E，连接DQ，CP，交点为点F，设点P的运动时间为t秒．
（1）求证：四边形PEQF为平行四边形；
（2）当四边形PEQF为矩形时，求t的值；
（3）试判断四边形PEQF能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
21．（9分）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，3），交双曲线于点C（2，n）．
（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）点P为线段AB上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形PQOB为平行四边形时，求点P的横坐标a的值．
22．（9分）阅读：
砸沙包游戏：通常涉及两组玩家，一组负责扔沙包，另一组负责躲避沙包．游戏规则如下：扔沙包：扔沙包的玩家轮流将沙包从肩上方投出，试图击中躲沙包的玩家．躲避：躲沙包的玩家需要躲避沙包，如果被沙包击中，则退出游戏；如果接住沙包，则可以多一条命或让本方被击中的玩家“复活”．
注：扔沙包时可有进攻和防守两种选择，若进攻，沙包的运行路线可近似看作是一条直线；若防守，可将沙包高抛给另一名同组玩家伺机进攻，这时沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线．
大课间活动中，小明、小亮和小红玩砸沙包游戏，小明和小亮扔沙包，小红接沙包．如图，以地面为x轴，以小明站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，小明一开始准备进行防守，他跳起在A（0，2）处高抛，将沙包传给小亮，小亮在横坐标为7的B处接到沙包．其运行路线可以看作是抛物线y＝a（x﹣3）2+3的一部分．
（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）小红在小明和小亮之间运动，选择合适的方式躲避沙包和接住沙包，已知小红跳起后的最大高度为2m，请求出小红接住沙包的运动范围；
（3）小明跳起后发现，小红在距离自己4m处未动，他决定选择进攻，若设沙包的运行路线的解析式为y＝mx+2，小红的身高为1.5m，求能砸中小红时，m的取值范围．
23．（10分）在学习《等腰三角形》后，刘老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究．
【特例分析】
（1）如图1，等边三角形ABC中，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值为 ，∠MCN的度数为 ；
【变形探究】
（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值与∠MCN的度数是否变化？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN．若AB＝8，BM＝7，请直接写出点N到AC的距离．
2024-2025学年河南省郑州市管城区、二七区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C C D C D D
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．【解答】解：∵一元二次方程3x2+4x+2＝0一次项是4x，
∴一次项的系数是4．
故选：C．
2．【解答】解：对于选项A，函数y＝x﹣3不符合反比例函数的定义，
∴该选项中的函数不是反比例函数；
对于选项B，函数符合反比例函数的定义，
∴该选项中的函数是反比例函数；
对于选项C，函数不符合反比例函数的定义，
∴该选项中的函数不是反比例函数；
对于选项D，函数y＝5x2不符合反比例函数的定义，
∴该选项中的函数不是反比例函数．
故选：B．
3．【解答】解：这个瓷碗的主视图、左视图形状相同，俯视图与主视图、左视图不同，
故选：A．
4．【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，EC＝4，
∴AC＝AE+EC＝2+4＝6，
故选：B．
5．【解答】解：新郑红枣移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9．
故选：C．
6．【解答】解：x2﹣x+2025＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2025＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
7．【解答】解：当x＝﹣6时，，
当x＝﹣2时，，
当x＝2时，，
∵m＜m+16＜m+96，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
8．【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m，
根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ACB∽△ECD，
∴，即，
∴ED＝9.6（m），
故选：C．
9．【解答】解：由图象可得，当时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或1＜x＜4．
故选：D．
10．【解答】解：由题意，A1（1，0），A2（1，0），A3（1，0），A4（1，0），A5（2﹣，），A6（，），A7（2，1），A8（2+，），A9（3，1），A10（，），A11（3+，），A12（4，0），A13（4，0）， ，
发现12次一个循环，
∵21÷12＝1 9，
∴旋转21次时，顶点A21的纵坐标与A9相同，其坐标为（6，1），
∴经过点A21的反比例函数的表达式为y＝，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【解答】解：开口向下，经过原点的二次函数的表达式是y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2．
12．【解答】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，
∴AB＝＝＝5，AH＝3，
∴cos∠BAC＝＝，
故答案为：．
13．【解答】解：将这四枚邮票分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的结果有：（A，C），（C，A），共2种，
∴小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率为．
故答案为：．
14．【解答】解：∵点A（2，4），四边形ABOC是矩形，
∴OC＝2，AC＝4，
∵四边形ECFD是正方形，
∴设EC＝CF＝FD＝DE＝a，
∴OF＝OC+CF＝2+a，
∴点D（2+a，a），
∵点A（2，4），D（2+a，a）均在反比例函数的图象上，
∴k＝2×4＝a（a+2），
∴a2+2a﹣8＝0，
解得：a＝2，a＝﹣4（不合题意，舍去），
∴2+a＝4，
∴点D的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．
15．【解答】解：连接AC，BD．如图1中，当点Q落在对角线BD上时，设DQ＝x，PB＝y．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ABD＝60°，AD＝DB＝AB＝4，BQ＝4﹣x，PQ＝AP＝4﹣y，
由翻折变换的性质可知∠MAP＝∠MQP＝60°，MA＝MQ＝3，
∴∠MQD+∠PQB＝120°，
∵∠MQD+∠DMQ＝120°，
∴∠PQB＝∠QMD，
∴△PBQ∽△QDM，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝，y＝（负值已经舍去），
经检验x＝，y＝是分式方程的解，
∴DQ＝；
如图2中，当点Q落在对角线AC上时，设AC，BD交于点O，AC交PM于点J．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
由题意，△APM，△PQM都是等边三角形，
∵AM＝AP＝MP＝MQ＝PQ＝3，
∴AJ＝JQ＝，
∵，AO＝，
∴OJ＝AO﹣AJ＝，
∴OQ＝JO﹣OJ＝﹣＝，
∴DQ＝＝＝．
综上所述，DQ的长为或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．【解答】解：（1）原式＝2×+×﹣
＝+1﹣
＝1；
（2）∵＝，
∴y＝3x，
∴原式＝
＝
＝﹣7；
（3）∵a＝1，b＝﹣5，c＝5，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5＝5，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
17．【解答】解：（1）该几何体的俯视图和左视图如图所示：
（2）该几何体的俯视图的面积是4cm2，左视图的面积是4cm2，主视图的面积为6cm2，
所以该几何体的表面积为（6+4+4）×2+2＝30（cm2），
故答案为：30；
（3）如图，在左视图的相应位置标注所能添加最多时的个数，
所以最多可添加1+2＝3（个），
故答案为：3．
18．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
即y＝ax2+2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，
解得x＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（3）当x＝﹣1时，y有最大值，最大值为4，
∵当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣5，
当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，
∴当﹣4＜x＜3，函数值y的取值范围为﹣12＜x≤5．
19．【解答】解：如图，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AB＝EF．
设DF＝x，则CF＝24﹣4﹣x＝20﹣x．
由题意可得，∠ACF＝45°，∠DAF＝37°，
在△AFC中，AF＝CF＝20﹣x．
在△AFD中，，
∴，
∴，
解得x≈8.57（米），
则AB＝EF＝DF+DE＝8.57+4＝12.57≈12.6（米）．
20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
由题意知AP＝CQ，
∴四边形AQCP是平行四边形，
∴AQ∥PC，
同理PB∥DQ，
∴四边形PEQF是平行四边形；
（2）若四边形PEQF为矩形，
∴∠BPC＝90°，
∴PB2+PC2＝BC2，
∴32+t2+（8﹣t）2+32＝82，
∴＝4，
∴t＝4时，四边形PEQF为矩形；
（3）若P，Q分别是AD，BC的中点时，四边形PEQF是菱形，
∴AP＝BQ，
∵∠BAP＝∠ABQ＝90°，BA＝AB，
∴△ABQ≌△BAP（SAS），
∴AQ＝BP，∠BAQ＝∠ABP，
∴AE＝BE，
∴PE＝EQ，
由（1）知四边形PEQF为平行四边形，
∴四边形PEQF是菱形，
∴t＝8﹣t，
∴t＝4，
即t＝4时，四边形PEQF为菱形；
四边形PEQF不可能为正方形．
理由：∵t＝4时，四边形PEQF为菱形，t＝4±时，四边形PEQF为矩形，
∴不存在t的值使四边形PEQF为正方形．
21．【解答】解：（1）把点A（﹣4，0），点B（0，3）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线的表达式为y＝x+3；
把x＝2代入y＝x+3得y＝×2+3＝，
∴C（2，），
把C（2，）代入得m＝9，
∴双曲线的表达式为y＝；
（2）如图，设P（a， a+3），则Q（a，），
∵点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q，
∴PQ∥OB，
∵四边形PQOB为平行四边形，
∴PQ＝OB，
∴a+3﹣＝3，
解得a＝﹣2（正值舍去），
∴点P的横坐标a的值为﹣2．
22．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+3过点A（0，2），
∴2＝a（0﹣3）2+3，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣3）2+3，
当x＝7时，y＝，
∴点B的坐标为：（7，）；
（2）当y＝2时，﹣（x﹣3）2+3＝2，
整理得：（x﹣3）2＝9，
x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
∴x1＝6，x2＝0，
∵小红在小明和小亮之间运动，
∴小红接住沙包的运动范围为：6≤x≤7；
（3）①沙包运行路线经过点（4，0），
0＝4m+2，
解得：m＝﹣，
②沙包运行路线经过点（4，1.5），
1.5＝4m+2，
解得：m＝﹣，
∴能砸中小红时，m的取值范围为﹣≤m≤﹣．
23．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAM＝120°，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，
∴MB＝MN，∠BMN＝∠BAC＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AM＝CN，∠BAM＝∠BCN＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠MCN＝120°﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°；
∴＝1，
故答案为：1，60°；
（2）变化，，∠MCN＝45°；
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAM＝90°，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，
∴BM＝MN，∠BMN＝90°，
∴∠MBN＝∠MNB＝45°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∵，
∴△ABM∽△CBN，
∴∠MAB＝∠BCN，＝；
∴∠MCN＝45°；
（3）过A作AH⊥BC于H，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAM＝60°，BH＝AB＝4，
∴BC＝8，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，
∴BM＝MN，∠BMN＝120°，
∴∠MBN＝∠MNB＝30°，
∵BM＝7，
同理得BN＝7，
∴∠MBN＝∠ABC∠BMN＝∠BAC，
∴∠MBA＝∠CBN，
∴△MBN∽△ABC，
∴＝，
∴△ABM∽△CBN，
∴＝＝，∠BAM＝∠BCN＝60°，
过M作MF⊥AB，过N作NE⊥AC于E，
设AM＝x，CN＝3x，
∵∠MAB＝60°，
∴AF＝＝x，FM＝AM＝×x＝x，
∴BF＝8﹣x，
∵BF2+FM2＝BM2，
∴（8﹣x）2+（x）2＝72，
解得x＝或x＝，
∴CN＝3或5，
∵∠ACB＝30°，∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝30°，
当CN＝3时，EN＝＝，
当CN＝5时，EN＝＝，
∴点N到AC的距离为或．
