浙江省绍兴市新昌县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2025九上·新昌期末）下列事件属于不可能事件的是（ ）
A．明天买彩票中奖
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．明天买彩票中奖，是随机事件，故A不符合题意；
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球，是不可能事件，故B符合题意；
C．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故C不符合题意；
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下，是必然事件，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据事件的分类“在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件”逐项判断即可．
2．（2025九上·新昌期末）在同一平面内，已知的半径为2，若，则点P与的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为2，
∴点P在内，
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系“当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外”解题即可．
3．（2025九上·新昌期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标（2，-4）
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可作答.
4．（2025九上·新昌期末）如图，的内接四边形中，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的内接四边形中，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补解题即可．
5．（2025九上·新昌期末）半径为3，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意，扇形的面积为：；
故答案为：D．
【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可．
6．（2025九上·新昌期末）抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线平移规律“左加右减、上加下减”即可解题．
7．（2025九上·新昌期末）在平面直角坐标系中，已知，，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的对应边长放大2倍，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵，把的对应边长放大2倍，
∴点的坐标是：或，
即或．
故答案为：D．
【分析】利用位似图形对应坐标与位似图形比的关系解题即可．
8．（2025九上·新昌期末）清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（ ）
A．米 B．3米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，由题意可知，三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为，
，
∵是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，设圆弧的半径为，利用垂径定理可得，然后根据勾股定理解题即可．
9．（2025九上·新昌期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．得到，，即可得到，，然后利用，即可得到，求出即可．
10．（2025九上·新昌期末）如图，矩形中，，，O是对角线上的一点，过点O作的垂线，分别交，于点E，F，且，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∵
∴
解得，
∴
故答案为：C.
【分析】设，则，得到，根据勾股定理得到AC=10，即可得到∠CAD和∠ACB的余弦值，求出，，然后根据可得，解方程可以得到的长．
11．（2025九上·新昌期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积之比为．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题．
12．（2025九上·新昌期末）2024年国庆期间，南明电影院同时上映了《志愿军：存亡之战》、《浴火之路》、《只此青绿》3部电影，李明打算随机选一部电影观看，那么他选中《只此青绿》的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：任意选择一部电影观看的所有可能结果数为：3，而选择《只此青绿》观看的可能结果数为1，则选择《只此青绿》观看的概率为：
故答案为：
【分析】利用概率公式计算即可．
13．（2025九上·新昌期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵半径为4的与直线相离，
∴圆心到直线的距离大于圆的半径，
即；
故答案为：．
【分析】根据相离时圆心到直线的距离大于圆的半径解答即可．
14．（2025九上·新昌期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上，的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图所示，，垂足为C，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，运用勾股定理求得AB长，然后根据正弦的定义解题即可．
15．（2025九上·新昌期末）如图，是的内切圆，切点分别为．已知的周长为16，，则 ．
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵是的内切圆，切点分别为，
∴，，，
∵的周长为16，
∴，即，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据切线长定可得，，，可以得到，求出AE长即可．
16．（2025九上·新昌期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ．
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，
①当时，即，，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
②当时，即，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
故答案为：或.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后分为和两种情况，利用函数的增减性得到最大值和最小值解题即可．
17．（2025九上·新昌期末）（1）已知，求代数式的值．
（2）计算：．
【答案】解：（1）∵，∴；
（2）
．
【知识点】分式的值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）把式子中的y用代换，然后约分即解题；
（2）先把特殊角的三角函数值代入，然后运算乘法，再运算加法解题．
18．（2025九上·新昌期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）将绕点A顺时针旋转，得到，请在图中作出．
（2）设网格中小正方形边长为1，求上题中点B运动到点的路径长．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由题意得，，
∴的长为，
∴点B运动到点的路径长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根根据旋转的性质先作B、C的对应点的位置，然后依次连接A、即可；
（2）根据弧长公式计算即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由题意得，，
∴的长为，
∴点B运动到点的路径长为．
19．（2025九上·新昌期末）如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表．
自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 …
指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 …
指针落在黑色区域的频率p
（1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数．
（2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率．
【答案】（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为，
，
答：黑色扇形图心角为90°；
（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
【知识点】扇形统计图；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用表格得出指针落在黑色区域的频率为，然后求出圆心角即可；
（2）利用频率估计概率即可解题．
（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为，
，
答：黑色扇形图心角为90°；
（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
20．（2025九上·新昌期末）如图，⊙是的外接圆，是直径，点是⊙上的一个点，且．
（1）求证：．
（2）是延长线上的一点，连接，若恰好平分．求证：为⊙的切线．
【答案】（1）证明：，
，
（同弧所对的圆周角相等），
（2）证明：是的外接圆，是直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
又是半径，
为的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到，然后利用同弧所对的圆周角相等解题即可；
（2）根据直径所对圆周角是直角即可得到，然后根据角平分线可得，即可得到解题即可．
（1）证明：，
，
（同弧所对的圆周角相等），
；
（2）证明：是的外接圆，是直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
又是半径，
为的切线．
21．（2025九上·新昌期末）如图，A，B两地被大山阻隔，互相通行需要绕行C地，若打通隧道，建成A，B两地的笔直公路，可以缩短A，B两地的路程．已知：，，公里．
（1）求A，B两地的距离．
（2）求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里？（参考数据：，，，．结果近似到个位）
【答案】（1）解：过C作，垂足为D，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
答：A，B两地距离约为270公里．
（2）解：∵，，，
∴．
∴．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约62公里．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过C作于点D，利用解直角三角形求出和的长解题即可；
（2）利用勾股定理得到长，然后根据计算即可．
（1）解：过C作，垂足为D，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
答：A，B两地距离约为270公里．
（2）解：∵，，，
∴．
∴．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约62公里．
22．（2025九上·新昌期末）如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18．
（1）求的值．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到，然后解题即可；
（2）根据三角形中线分出的 两个三角形面积相等得到，再根据，即可得到．求出，然后推导，即可得到，求出四边形的面积解题．
（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
23．（2025九上·新昌期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定．
（1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价）
（2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值．
（3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？
【答案】（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则 ，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）计算时y的值，然后利用“销售额＝销售量销售单价”即可解题；
（2）利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到w与x的函数解析式，然后配方得到顶点式即可求出最值．
（3）设每天扣除捐款后的利润为， 利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到z与x的函数解析式，然后利用抛物线的顶点的坐标，可以得到哦啊时，，再根据a的范围求出a的值解题．
（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元．
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则
，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
24．（2025九上·新昌期末）如图，点C在以为直径的半圆周上，连结，，点D，点E分别在，上运动，且，连结．已知，．
（1）求的长．
（2）探究：当为何值时，面积达到最大值？并求出最大值．
（3）过点D作于点F．当为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正弦定义求出AC长，然后根据勾股定理解题即可；
（2）设，则，过D作于点F，根据正弦定义即可得到，再利用三角形面积公式列函数关系式求最值即可；
（3）分E在F的左侧、E在F的右侧，根据相似三角形的对应边成比例得到方程解题即可．
（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，
∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，
∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
浙江省绍兴市新昌县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2025九上·新昌期末）下列事件属于不可能事件的是（ ）
A．明天买彩票中奖
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下
2．（2025九上·新昌期末）在同一平面内，已知的半径为2，若，则点P与的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
3．（2025九上·新昌期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·新昌期末）如图，的内接四边形中，，则为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·新昌期末）半径为3，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2025九上·新昌期末）抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·新昌期末）在平面直角坐标系中，已知，，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的对应边长放大2倍，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2025九上·新昌期末）清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（ ）
A．米 B．3米 C．米 D．米
9．（2025九上·新昌期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
10．（2025九上·新昌期末）如图，矩形中，，，O是对角线上的一点，过点O作的垂线，分别交，于点E，F，且，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2025九上·新昌期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ．
12．（2025九上·新昌期末）2024年国庆期间，南明电影院同时上映了《志愿军：存亡之战》、《浴火之路》、《只此青绿》3部电影，李明打算随机选一部电影观看，那么他选中《只此青绿》的概率是 ．
13．（2025九上·新昌期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ．
14．（2025九上·新昌期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上，的值为 ．
15．（2025九上·新昌期末）如图，是的内切圆，切点分别为．已知的周长为16，，则 ．
16．（2025九上·新昌期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ．
17．（2025九上·新昌期末）（1）已知，求代数式的值．
（2）计算：．
18．（2025九上·新昌期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）将绕点A顺时针旋转，得到，请在图中作出．
（2）设网格中小正方形边长为1，求上题中点B运动到点的路径长．
19．（2025九上·新昌期末）如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表．
自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 …
指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 …
指针落在黑色区域的频率p
（1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数．
（2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率．
20．（2025九上·新昌期末）如图，⊙是的外接圆，是直径，点是⊙上的一个点，且．
（1）求证：．
（2）是延长线上的一点，连接，若恰好平分．求证：为⊙的切线．
21．（2025九上·新昌期末）如图，A，B两地被大山阻隔，互相通行需要绕行C地，若打通隧道，建成A，B两地的笔直公路，可以缩短A，B两地的路程．已知：，，公里．
（1）求A，B两地的距离．
（2）求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里？（参考数据：，，，．结果近似到个位）
22．（2025九上·新昌期末）如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18．
（1）求的值．
（2）求四边形的面积．
23．（2025九上·新昌期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定．
（1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价）
（2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值．
（3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？
24．（2025九上·新昌期末）如图，点C在以为直径的半圆周上，连结，，点D，点E分别在，上运动，且，连结．已知，．
（1）求的长．
（2）探究：当为何值时，面积达到最大值？并求出最大值．
（3）过点D作于点F．当为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与相似？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．明天买彩票中奖，是随机事件，故A不符合题意；
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球，是不可能事件，故B符合题意；
C．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故C不符合题意；
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下，是必然事件，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据事件的分类“在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件”逐项判断即可．
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为2，
∴点P在内，
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系“当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外”解题即可．
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标（2，-4）
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可作答.
4．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的内接四边形中，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补解题即可．
5．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意，扇形的面积为：；
故答案为：D．
【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线平移规律“左加右减、上加下减”即可解题．
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵，把的对应边长放大2倍，
∴点的坐标是：或，
即或．
故答案为：D．
【分析】利用位似图形对应坐标与位似图形比的关系解题即可．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，由题意可知，三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为，
，
∵是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，设圆弧的半径为，利用垂径定理可得，然后根据勾股定理解题即可．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．得到，，即可得到，，然后利用，即可得到，求出即可．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∵
∴
解得，
∴
故答案为：C.
【分析】设，则，得到，根据勾股定理得到AC=10，即可得到∠CAD和∠ACB的余弦值，求出，，然后根据可得，解方程可以得到的长．
11．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积之比为．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：任意选择一部电影观看的所有可能结果数为：3，而选择《只此青绿》观看的可能结果数为1，则选择《只此青绿》观看的概率为：
故答案为：
【分析】利用概率公式计算即可．
13．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵半径为4的与直线相离，
∴圆心到直线的距离大于圆的半径，
即；
故答案为：．
【分析】根据相离时圆心到直线的距离大于圆的半径解答即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图所示，，垂足为C，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，运用勾股定理求得AB长，然后根据正弦的定义解题即可．
15．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵是的内切圆，切点分别为，
∴，，，
∵的周长为16，
∴，即，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据切线长定可得，，，可以得到，求出AE长即可．
16．【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，
①当时，即，，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
②当时，即，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
故答案为：或.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后分为和两种情况，利用函数的增减性得到最大值和最小值解题即可．
17．【答案】解：（1）∵，∴；
（2）
．
【知识点】分式的值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）把式子中的y用代换，然后约分即解题；
（2）先把特殊角的三角函数值代入，然后运算乘法，再运算加法解题．
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由题意得，，
∴的长为，
∴点B运动到点的路径长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根根据旋转的性质先作B、C的对应点的位置，然后依次连接A、即可；
（2）根据弧长公式计算即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由题意得，，
∴的长为，
∴点B运动到点的路径长为．
19．【答案】（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为，
，
答：黑色扇形图心角为90°；
（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
【知识点】扇形统计图；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用表格得出指针落在黑色区域的频率为，然后求出圆心角即可；
（2）利用频率估计概率即可解题．
（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为，
，
答：黑色扇形图心角为90°；
（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
20．【答案】（1）证明：，
，
（同弧所对的圆周角相等），
（2）证明：是的外接圆，是直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
又是半径，
为的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到，然后利用同弧所对的圆周角相等解题即可；
（2）根据直径所对圆周角是直角即可得到，然后根据角平分线可得，即可得到解题即可．
（1）证明：，
，
（同弧所对的圆周角相等），
；
（2）证明：是的外接圆，是直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
又是半径，
为的切线．
21．【答案】（1）解：过C作，垂足为D，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
答：A，B两地距离约为270公里．
（2）解：∵，，，
∴．
∴．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约62公里．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过C作于点D，利用解直角三角形求出和的长解题即可；
（2）利用勾股定理得到长，然后根据计算即可．
（1）解：过C作，垂足为D，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
答：A，B两地距离约为270公里．
（2）解：∵，，，
∴．
∴．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约62公里．
22．【答案】（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到，然后解题即可；
（2）根据三角形中线分出的 两个三角形面积相等得到，再根据，即可得到．求出，然后推导，即可得到，求出四边形的面积解题．
（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
23．【答案】（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则 ，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）计算时y的值，然后利用“销售额＝销售量销售单价”即可解题；
（2）利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到w与x的函数解析式，然后配方得到顶点式即可求出最值．
（3）设每天扣除捐款后的利润为， 利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到z与x的函数解析式，然后利用抛物线的顶点的坐标，可以得到哦啊时，，再根据a的范围求出a的值解题．
（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元．
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则
，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
24．【答案】（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正弦定义求出AC长，然后根据勾股定理解题即可；
（2）设，则，过D作于点F，根据正弦定义即可得到，再利用三角形面积公式列函数关系式求最值即可；
（3）分E在F的左侧、E在F的右侧，根据相似三角形的对应边成比例得到方程解题即可．
（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，
∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，
∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
