浙江省杭州市八县区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷
1．（2025九上·杭州期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（ ）
A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称
2．（2025九上·杭州期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·杭州期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（ ）
A．P B．M C．N D．Q
4．（2025九上·杭州期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
5．（2025九上·杭州期末）如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·杭州期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·杭州期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·杭州期末）如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·杭州期末）已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1
C．p的最大值为 D．p的最大值为1
10．（2025九上·杭州期末）如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，，若给出下列结论：①；②，则．其中下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
11．（2025九上·杭州期末）已知，则
12．（2025九上·杭州期末）取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”．现从中任取1张，恰好是“红桃”的概率是 ．
13．（2025九上·杭州期末）计算： ．
14．（2025九上·杭州期末）已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是 ．
15．（2025九上·杭州期末）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ．
16．（2025九上·杭州期末）如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则 ．
17．（2025九上·杭州期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，求m的值及图象的顶点坐标．
18．（2025九上·杭州期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，
求证：．
19．（2025九上·杭州期末）如图，两同学从，两地观测空中处的气球，分别测得仰角，为和，已知，两地相距米．求气球离地面的高度．
20．（2025九上·杭州期末）有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动．
（1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率．
21．（2025九上·杭州期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结．
求证：．
22．（2025九上·杭州期末）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．已知，记的面积为S，四边形的面积为T．
（1）试用含k的代数式表示．
（2）将沿对折，若点A与点F刚好重合，求证：
①；
②．
23．（2025九上·杭州期末）如图，一小球从斜坡点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）可与小球飞行高度（米）变化规律如下表：
x 0 1 2 3 4 n 6 7 ……
y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 ……
（1）填空：
①______，______；②小球落点的坐标为______；
（2）求小球在飞行过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）．
（3）计划在斜坡上点种一棵树，设点横坐标为，树高为米，要使小球飞过这棵树，问的取值范围是多少？
24．（2025九上·杭州期末）已知为直径，弦于E，作点B关于的对称点H，连结并延长交于点P，连结．
（1）如图1，若对称点H与点O重合，试求的度数．
（2）如图2，连结交于点M，求证：．
（3）如图3，连结交于点F，若，，
①试求的长；
②直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换，
故答案为：．
【分析】根据相似的定义解答即可．
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A.，不是二次函数，故选项不符合题意；
B.，不是二次函数，故选项不符合题意；
C.，不是二次函数，故选项不符合题意；
D.，是二次函数，故选项符合题意；
故答案为：．
【分析】根据二次函数的定义“形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数”逐项分析判断即可．
3．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，，，，，
∴，，，，
∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外．
故答案为：D．
【分析】
根据点与圆的位置关系“当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外”逐项判断即可．
4．【答案】A
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确；
②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确；
③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确；
综上可知，正确的是①②③，
故答案为：A.
【分析】根据事件的分类逐项判断即可．
5．【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：，
，
是锐角且，
，
故答案为：．
【分析】利用正切的定义解题即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
可设，则，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，由等边对等角、三角形的内角和定理求出∠OBA的度数解题．
7．【答案】C
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意；
B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意；
C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意；
D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次函数图象和性质求得a、b的取值范围，然后判断反比例函数的图象解题即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：是的平分线，
，
即：，
又，
，
，
且依据已知条件，无法证明、、与相似，
故答案为：．
【分析】根据三角形角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质可以得到，即可得到，但无法得到、、与相似解题．
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，即，对称轴为直线．
∴，
∵二次函数过和两点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，的最小值为，
故答案为：A.
【分析】先求出，，，即可得到，然后得到最值即可.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
是的直径，
，
，
又，则，
，
又因为，
所以是等边三角形，
则，即，
但根据题目现有条件不能推导出，
即不能推导出，
故②错误．
故答案为：B．
【分析】连接，，得到，即可得到，然后得到，然后根据，得到，再根据三角形内角和判断①；得到是等边三角形，即可得到，但不能推导得到，判断②解题．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
设，则，
则．
故答案为：．
【分析】设，，然后代入分式化简解题．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”，现从中任取1张，则所有等可能的结果共有种，其中恰好是“红桃”的结果有种，
恰好是“红桃”的概率，
故答案为：．
【分析】得到所有等可能的结果数以及其中恰好是“红桃”的结果数，再利用概率公式计算解题．
13．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由 ，可得答案．
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线：，开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】求出对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是等腰三角形，，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过点作则，
∴，
∴
过点作于点，则四边形是矩形，
所以，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，由可得是等腰直角三角形，即可得到，过点作得到，过点作于点，则是矩形，即可得到，然后根据解题即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： 如图，作于点 ，
正方形，
，
，
，
顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，，
∴平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】作于点，根据旋转可得，，然后得到，即可得到，，进而得到，求得，得到，，然后求比值即可．
17．【答案】解：由题得：，
∴，
∵当时，，
∴顶点坐标为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用抛物线的对称轴得到，然后得到抛物线的顶点坐标解题.
18．【答案】证明：∵，，．∴，，
∴，即，
又，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】先得到，然后利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得到结论即可．
19．【答案】解：在中，，，∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先得到，然后在中得到，然后表示BC即可解题．
20．【答案】（1）解：由题意可得：，
，
；
（2）解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，
列表如下：
第一次
第二次 红 黄1 黄2
红 红，红 红，黄1 红，黄2
黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2
黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2
由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种，
（一次红色区域，一次黄色区域）．
【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，求出值，再利用得到的值即可；
（2）把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，用表格列出所有等可能的结果，并找出符合条件的结果数，再根据概率公式解题即可．
（1）解：由题意可得：，
，
；
（2）解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，
列表如下：
第一次 第二次 红 黄1 黄2
红 红，红 红，黄1 红，黄2
黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2
黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2
由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种，
（一次红色区域，一次黄色区域）．
21．【答案】证明：延长交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵的度数，的度数，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】延长交于点E，即可得到，根据垂径定理可得，即可得到，证明结论即可．
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
同理，，
，
；
（2）①证明：如图，连接，设与交于点，
由折叠可知：，
，
，
，
；
②证明：由折叠可知：，
由①可得：，
，
，
，
而，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到，即，同理可得，然后利用解题即可；
（2）①连接，设与交于点，根据折叠得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到，把代入（1）中结论求值即可；
②根据折叠得到，由①可得，即，即可得到，即可得到，解题即可．
（1）解：，
，
，
，
同理，，
，
；
（2）①证明：如图，连接，设与交于点，
由折叠可知：，
，
，
，
；
②证明：由折叠可知：，
由①可得：，
，
，
，
而，
，
，
．
23．【答案】（1）①，；②．
（2）解：由表格信息可得：顶点坐标为，设，将代入，得，
，
∴，
直线的解析式为，
∴小球离斜坡的竖直高度为
，
即当时，．
（3）解：由题意可得，树高为3米，∴小球离斜坡的竖直高度，
即，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（1）解：①将和代入得
，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，，
；
当时，，
或，
；
②，
，
解得：（舍去），，
，
点的坐标为，
故答案为：①，；②．
【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式，；
②然后联立两解析式求出交点A的坐标即可；
（2）先得到抛物线的顶点坐标为，然后求出抛物线的解析式，表示h并求出最大值即可；
（3）根据（2）中h的解析式，解不等式即可解题．
（1）解：①将和代入得
，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，，
；
当时，，
或，
；
②，
，
解得：（舍去），，
，
点的坐标为，
故答案为：①，；②．
（2）解：由表格信息可得：顶点坐标为，
设，将代入，得，
，
∴，
直线的解析式为，
∴小球离斜坡的竖直高度为
，
即当时，．
（3）解：由题意可得，树高为3米，
∴小球离斜坡的竖直高度，
即，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合，∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点B关于的对称点H，
∴，．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴
∴
∴
∴
（3）解：①连接，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）②由（2）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）先得到是等边三角形，即可得到，然后得到求出的度数解题；
（2）根据垂径定理、轴对称的性质就饿得，，然后根据圆周角定理可得，即可得到证明结论；
（3）①连接，先利用正弦求出，然后得到，根据相似三角形的对应边成比例求出长；
②由（2）得，，，即可得到求出PD长，再根据求出PH的值，即可得到的值．
（1）解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点B关于的对称点H，
∴，．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴
∴
∴
∴
（3）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由（2）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
浙江省杭州市八县区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷
1．（2025九上·杭州期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（ ）
A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称
【答案】A
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换，
故答案为：．
【分析】根据相似的定义解答即可．
2．（2025九上·杭州期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A.，不是二次函数，故选项不符合题意；
B.，不是二次函数，故选项不符合题意；
C.，不是二次函数，故选项不符合题意；
D.，是二次函数，故选项符合题意；
故答案为：．
【分析】根据二次函数的定义“形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数”逐项分析判断即可．
3．（2025九上·杭州期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（ ）
A．P B．M C．N D．Q
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，，，，，
∴，，，，
∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外．
故答案为：D．
【分析】
根据点与圆的位置关系“当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外”逐项判断即可．
4．（2025九上·杭州期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确；
②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确；
③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确；
综上可知，正确的是①②③，
故答案为：A.
【分析】根据事件的分类逐项判断即可．
5．（2025九上·杭州期末）如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：，
，
是锐角且，
，
故答案为：．
【分析】利用正切的定义解题即可．
6．（2025九上·杭州期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
可设，则，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，由等边对等角、三角形的内角和定理求出∠OBA的度数解题．
7．（2025九上·杭州期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意；
B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意；
C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意；
D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次函数图象和性质求得a、b的取值范围，然后判断反比例函数的图象解题即可．
8．（2025九上·杭州期末）如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：是的平分线，
，
即：，
又，
，
，
且依据已知条件，无法证明、、与相似，
故答案为：．
【分析】根据三角形角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质可以得到，即可得到，但无法得到、、与相似解题．
9．（2025九上·杭州期末）已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1
C．p的最大值为 D．p的最大值为1
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，即，对称轴为直线．
∴，
∵二次函数过和两点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，的最小值为，
故答案为：A.
【分析】先求出，，，即可得到，然后得到最值即可.
10．（2025九上·杭州期末）如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，，若给出下列结论：①；②，则．其中下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
是的直径，
，
，
又，则，
，
又因为，
所以是等边三角形，
则，即，
但根据题目现有条件不能推导出，
即不能推导出，
故②错误．
故答案为：B．
【分析】连接，，得到，即可得到，然后得到，然后根据，得到，再根据三角形内角和判断①；得到是等边三角形，即可得到，但不能推导得到，判断②解题．
11．（2025九上·杭州期末）已知，则
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
设，则，
则．
故答案为：．
【分析】设，，然后代入分式化简解题．
12．（2025九上·杭州期末）取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”．现从中任取1张，恰好是“红桃”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”，现从中任取1张，则所有等可能的结果共有种，其中恰好是“红桃”的结果有种，
恰好是“红桃”的概率，
故答案为：．
【分析】得到所有等可能的结果数以及其中恰好是“红桃”的结果数，再利用概率公式计算解题．
13．（2025九上·杭州期末）计算： ．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由 ，可得答案．
14．（2025九上·杭州期末）已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线：，开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】求出对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可．
15．（2025九上·杭州期末）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是等腰三角形，，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过点作则，
∴，
∴
过点作于点，则四边形是矩形，
所以，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，由可得是等腰直角三角形，即可得到，过点作得到，过点作于点，则是矩形，即可得到，然后根据解题即可．
16．（2025九上·杭州期末）如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： 如图，作于点 ，
正方形，
，
，
，
顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，，
∴平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】作于点，根据旋转可得，，然后得到，即可得到，，进而得到，求得，得到，，然后求比值即可．
17．（2025九上·杭州期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，求m的值及图象的顶点坐标．
【答案】解：由题得：，
∴，
∵当时，，
∴顶点坐标为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用抛物线的对称轴得到，然后得到抛物线的顶点坐标解题.
18．（2025九上·杭州期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，
求证：．
【答案】证明：∵，，．∴，，
∴，即，
又，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】先得到，然后利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得到结论即可．
19．（2025九上·杭州期末）如图，两同学从，两地观测空中处的气球，分别测得仰角，为和，已知，两地相距米．求气球离地面的高度．
【答案】解：在中，，，∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先得到，然后在中得到，然后表示BC即可解题．
20．（2025九上·杭州期末）有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动．
（1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率．
【答案】（1）解：由题意可得：，
，
；
（2）解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，
列表如下：
第一次
第二次 红 黄1 黄2
红 红，红 红，黄1 红，黄2
黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2
黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2
由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种，
（一次红色区域，一次黄色区域）．
【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，求出值，再利用得到的值即可；
（2）把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，用表格列出所有等可能的结果，并找出符合条件的结果数，再根据概率公式解题即可．
（1）解：由题意可得：，
，
；
（2）解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，
列表如下：
第一次 第二次 红 黄1 黄2
红 红，红 红，黄1 红，黄2
黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2
黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2
由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种，
（一次红色区域，一次黄色区域）．
21．（2025九上·杭州期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结．
求证：．
【答案】证明：延长交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵的度数，的度数，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】延长交于点E，即可得到，根据垂径定理可得，即可得到，证明结论即可．
22．（2025九上·杭州期末）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．已知，记的面积为S，四边形的面积为T．
（1）试用含k的代数式表示．
（2）将沿对折，若点A与点F刚好重合，求证：
①；
②．
【答案】（1）解：，
，
，
，
同理，，
，
；
（2）①证明：如图，连接，设与交于点，
由折叠可知：，
，
，
，
；
②证明：由折叠可知：，
由①可得：，
，
，
，
而，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到，即，同理可得，然后利用解题即可；
（2）①连接，设与交于点，根据折叠得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到，把代入（1）中结论求值即可；
②根据折叠得到，由①可得，即，即可得到，即可得到，解题即可．
（1）解：，
，
，
，
同理，，
，
；
（2）①证明：如图，连接，设与交于点，
由折叠可知：，
，
，
，
；
②证明：由折叠可知：，
由①可得：，
，
，
，
而，
，
，
．
23．（2025九上·杭州期末）如图，一小球从斜坡点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）可与小球飞行高度（米）变化规律如下表：
x 0 1 2 3 4 n 6 7 ……
y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 ……
（1）填空：
①______，______；②小球落点的坐标为______；
（2）求小球在飞行过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）．
（3）计划在斜坡上点种一棵树，设点横坐标为，树高为米，要使小球飞过这棵树，问的取值范围是多少？
【答案】（1）①，；②．
（2）解：由表格信息可得：顶点坐标为，设，将代入，得，
，
∴，
直线的解析式为，
∴小球离斜坡的竖直高度为
，
即当时，．
（3）解：由题意可得，树高为3米，∴小球离斜坡的竖直高度，
即，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（1）解：①将和代入得
，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，，
；
当时，，
或，
；
②，
，
解得：（舍去），，
，
点的坐标为，
故答案为：①，；②．
【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式，；
②然后联立两解析式求出交点A的坐标即可；
（2）先得到抛物线的顶点坐标为，然后求出抛物线的解析式，表示h并求出最大值即可；
（3）根据（2）中h的解析式，解不等式即可解题．
（1）解：①将和代入得
，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，，
；
当时，，
或，
；
②，
，
解得：（舍去），，
，
点的坐标为，
故答案为：①，；②．
（2）解：由表格信息可得：顶点坐标为，
设，将代入，得，
，
∴，
直线的解析式为，
∴小球离斜坡的竖直高度为
，
即当时，．
（3）解：由题意可得，树高为3米，
∴小球离斜坡的竖直高度，
即，
∴，
∴．
24．（2025九上·杭州期末）已知为直径，弦于E，作点B关于的对称点H，连结并延长交于点P，连结．
（1）如图1，若对称点H与点O重合，试求的度数．
（2）如图2，连结交于点M，求证：．
（3）如图3，连结交于点F，若，，
①试求的长；
②直接写出的值．
【答案】（1）解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合，∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点B关于的对称点H，
∴，．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴
∴
∴
∴
（3）解：①连接，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）②由（2）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）先得到是等边三角形，即可得到，然后得到求出的度数解题；
（2）根据垂径定理、轴对称的性质就饿得，，然后根据圆周角定理可得，即可得到证明结论；
（3）①连接，先利用正弦求出，然后得到，根据相似三角形的对应边成比例求出长；
②由（2）得，，，即可得到求出PD长，再根据求出PH的值，即可得到的值．
（1）解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点B关于的对称点H，
∴，．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴
∴
∴
∴
（3）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由（2）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
