长郡双语实验中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大9倍
3．某公司运用5G技术，下载一个2.4M的文件大约需要0.000048秒，将数字0.000048用科学记数法表示为（ ）
A．0.48×10﹣4 B．4.8×10﹣4 C．4.8×10﹣5 D．48×10﹣6
4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．平行四边形 C．等腰直角三角形 D．矩形
5．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？”设人数为x，则列出方程正确的是（ ）
A．8x﹣3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4
C．8（x﹣3）＝7（x+4） D．8（x+3）＝7（x﹣4）
*6．由如表估算一元二次方程ax2+bx＝13（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
ax2+bx … 11.84 12.29 12.76 13.25 13.76 …
A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4 C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6
7．二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝0 B．x2﹣32＝0
C．x2+32＝0 D．x2+6x+32＝0
*9．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠B＝25°，则∠P的度数为（ ）
A．40° B．50° C．25° D．65°
*10．若∠A是锐角，，则tan∠A的值为（ ）
A． B． C．1 D．
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．分解因式：8m2n+2m＝ ．
*12．甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：
甲 乙 丙
9.5 9.3 9.5
S2 0.045 0.033 0.021
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是 ．
*13．如图，过反比例函数y（x＜0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝3，则反比例函数的表达式为 ．
*14．已知抛物线y＝﹣x2+2mx+m，当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而增大，m的取值范围是 ．
*15．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD＝2，BD＝3，BC＝6，则EF＝ ．
*16．如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则S△PQO的最小值为 ．
第13题 第15题 第16题
选择题（共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二．填空题（共18分）
_________________ 12. __________________ 13. __________________
14._________________ 15. __________________ 16. __________________
三．解答题（共72分小题）
17．（6分）计算：．
（6分）先化简，再代入求值：，其中．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）设是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数a，使成立，若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．
20．（8分）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 名学生的
竞赛成绩，并补全条形统计图；
若该校共有2000人参加本次竞赛活
动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
*21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为中点，延长AD，BC交于P，连接AC．
（1）求证：AB＝AP；（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
*22．（9分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，每件的销售价格每增加2元，每天的销售量会减少1件．设每件的销售价格增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当每件的销售价格增加多少元时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当每件的销售价增加多少元时，w最大？最大值是多少？
*23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
（1）求证：BC是圆O的切线；（2）求证：AD2＝AF AB；（3）若BE＝8，sinB，求AD的长．
24．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PDPE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PDPE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C． D A C B B A C
二．填空题（共6小题）
11． 2m（4mn+1） ． 12． 丙 ． 13． y ．
14． m≥1 ． 15． ． 16． ．
【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，连接OQ、OP，
，
在y＝﹣x+6中，当x＝0，y＝﹣x+6＝0+6＝6，则B（0，6），
当y＝0时，﹣x+6＝0，
解得：x＝6，则A（6，0），
∴OA＝OB＝6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴，
∵OH⊥AB，OB＝OA，
∴BH＝AH，
∴，
∵PQ为切线，
∴PQ⊥OQ，
∴∠PQO＝90°，
∴，
∵，
∴当PQ最小时，S△PQO最小，
∵OP最小时，PQ最小，
∴当OP⊥AB时，即P点运动到H点时，OP最小，S△PQO最小，此时，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共10小题）
17．计算：．
【解答】解：原式＝3﹣1+4
＝3﹣1
＝6．
18．先化简，再代入求值：，其中．
【解答】解：
，
当时，原式．
19．解：（1）根据题意得a﹣6≠0且Δ＝4a2﹣4（a﹣6） a≥0，
解得a≥0且a≠6；
（2）存在．
根据题意得x1+x2，x1x2，
∵﹣x1+x1x2＝4+x2，即x1x2＝4+x1+x2，
∴4，
解得a＝24，
∵a≥0且a≠6，
∴a＝24时，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立．
20．解：（1）80÷20%＝400（名），
∴D等级的人数为：400﹣120﹣160﹣80＝40（名），
补全条形统计图如下：
（2）2000800（人），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800人；
（3）画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中的结果有8种，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
21．【解答】（1）证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，∴AB＝AP．
（2）解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD6，
∴PB2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PCPB，∴PC．
22．【解答】解：（1）根据题意得，yx+50（0＜x≤20）；
（2）根据题意得，（40+x）（x+50）＝2250，
解得：x1＝50，x2＝10，
∵每件利润不能超过60元，∴x＝10，
答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，w＝（40+x）（x+50）x2+30x+2000（x﹣30）2+2450，
∵a0，∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∵40+x≤60，x≤20，∴当x＝20时，w最大＝2400，
答：当x为20时w最大，最大值是2400元．
23．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，∴PD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴BC⊥OD，
∵OD是圆O的半径，∴BC是圆O的切线；
（2）证明：连接DF，如图2所示：
∵AE是圆O的直径，∴∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，
∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，
∵∠BAD＝∠CAD，∴△ABD∽△ADF，
∴AB：AD＝AD：AF，∴AD2＝AF AB；
（3）解：如图3，连接OD，由（1）知，OD⊥BC，∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，∴OB＝BE+OE＝8+R，
在Rt△BDO中，sinB，
∴sinB， ∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，
连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，
∴sin∠AEF＝sinB，
在Rt△AFE中，sin∠AEF， ∴AF
由（2）知，AD2＝AB AF＝18， ∴AD．
24．【解答】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，则c＝9，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）证明：令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，9）、（x2，9）、（x1，﹣x1+3），
则S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6），
同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6），
则3为定值；
（3）解：点P、Q的坐标分别为：（x1，9）、（﹣2x1，﹣49），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29，
则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2，
故MN的最大值为：．
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25．【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x，
∴，解得， ∴抛物线的表达式为yx2x﹣3；
（2）如图，延长PE交x轴于G，过P作PH∥y轴交BC于H，
在yx2x﹣3中，令y＝0得0x2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，∴B（6，0），
当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），
∴， ∴sin，
∵PH∥y轴， ∴∠PHE＝∠BCO，
∴sin∠PHE， ∴PEPH，
由B（6，0），C（0，﹣3）得直线BC为yx﹣3，
设 ，则，
∴，
∵抛物线 的对称轴为直线，
∴PD＝2（x）＝2x﹣5，
∴x2+5x﹣5，
∵0，
∴当时，取得最大值，最大值为 ，此时P（5，﹣3）；
（3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为y（x+2）2（x+2）﹣3﹣1x2x﹣7，F的坐标为（3，﹣4），
如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K，
由A（﹣1，0），F（3，﹣4）得直线AF解析式为y＝﹣x﹣1，
当 x＝0 时，y＝﹣1，
∴M（0，﹣1），
∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK，
∵∠NMF﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK+45°﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK＝∠ABC，
∴tan∠NMK＝tan∠ABC，
设，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N′作N'T⊥MT于T，
同理可得∠N'MT＝∠ABC，
设，则T（x，﹣1），
同理可得：，
∴ 或x （舍去），
∴，
综上所述，N的坐标为（，4）或（1，）．
