河北省保定市高碑店市2024 2025学年九年级上学期期末数学试题
一、单选题（本大题共12小题）
1．如图，与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
2．抛物线的开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
3．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ）
A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度
4．下列数中，能使方程成立的的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
5．如图，，由作图痕迹，可知（ ）
A． B． C． D．
6．如图，这是由四个小正方体叠成的一个立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，分别为平行四边形边，的中点，为与的交点，在对角线上作点，，使以，，，为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图．
嘉嘉： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 淇淇： 分别过点，作于点，于点．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
9．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数，与之间有如下表的关系．
/厘米 1 2 3 5
/米 14 7 2.8
当某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为10米时，他两腿迈出的步长之差为（ ）
A．0.5厘米 B．1.2厘米 C．1.4厘米 D．2.1厘米
10．如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（为圆心），过，两点的切线交于点，测得，米，则这段公路的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
11．如图，在正方形中，为边上的一点，，，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．对任意实数，二次函数满足，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空题（本大题共4小题）
13．如图，在矩形中，若对角线，则 ．
14．若，则 ．
15．如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点，以为边在的左侧作菱形，顶点，在轴上，则点的坐标为 ．
16．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，其中一个正六边形的外接圆也交于点．若外接圆的半径为2，则 ．
三、解答题（本大题共8小题）
17．计算：．
18．已知一元二次方程．
(1)当时，求方程的根．
(2)若，，是该方程的两根，求的值．
19．如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点．
(1)求与的函数关系式．
(2)当每天完成25米时，求该工程队完成工程所需的时间．
(3)若完成工程的天数小于50天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是________．
20．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以原点为位似中心，在第四象限内画出与位似的，使与的相似比为．
(2)在（1）的条件下，点的坐标为________，与的周长比是________，与的面积比是________．
21．如图，正五边形的五个顶点上放着五个写有不同数字的小球（和数字不同，其他均一样），从中随机选取一个小球后不放回，再从与第一个小球不相邻的两个小球中随机选取一个．例如：第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个，小球上的数字如下表所示．
小球 小球 小球 小球 小球
(1)若第一次选择小球，则第二次选中小球的概率为________．
(2)补全树状图，并求两次选取的小球数字符号相同的概率．
22．无人机表演已成为一种新型的演出形式．如图，三架无人机同时从点处起飞，无人机爱好者甲、乙、丙三人站在一条直线上的，，三处操纵无人机进行表演，，，，．点和点处分别有一名观察员，，，且点，，，，，都在同一平面内．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
23．图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆，，及是支撑杆，点在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点，的延长线交半圆于点．
(1)求半径的长．
(2)乘坐时，点到地面的高度为多少？
(3)请直接写出乘坐时，地面上点与点之间的距离．
24．如图，以为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点．
(1)当，时，求该抛物线与轴的交点坐标．
(2)嘉嘉说：与满足一次函数，请帮助嘉嘉求出和的值．
(3)若．
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】B
12．【答案】A
13．【答案】4
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】/
17．【答案】1
18．【答案】(1)
(2)4
19．【答案】(1)
(2)40天
(3)
20．（1）解：如图，即为所作．
（2）解：由图可知，
∵与的相似比为，
∴与的周长比是，与的面积比是
21．（1）解：第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个，
第二次选中小球的概率为；
故答案为：
（2）解：补全树状图如下．
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中符合条件的结果共有种，
∴
22．（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：在中，，
∴．
由（1）知，，
则．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴
23．（1）解： ∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）解：如图，过点作于点．
∵，，
∴，
∴．
∵半圆与地面相切于点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴点到地面的高度即为的长，
∴点到地面的高度为．
（3）解：由题意可知的长即为弧的长，
∴．
24．（1）解：当，时，抛物线的函数表达式为．
将代入上式，得，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（2）解：由题意，得点．
将点的坐标代入，得，
∴，．
（3）解：①，函数的对称轴为直线，
则，
当时，，即点．
将点代入抛物线，得．
由（2）得，
∴，
解得：或．
当时，，不符合题意，舍去，
∴，，即点，
∴该抛物线的函数表达式为．
②存在．点的坐标为或．
∵和的底均为，
∴面积的比为高的比．
∵的面积和的面积比是，
∴，即，
解得：．
令，
解得：，
∴点的坐标为或．
