第8章 三角形
基础测评卷
一、单选题
1．下列长度的3根小木棒，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三角形的三个内角度数之比为1：1：2，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．如图，已知∠1＝58°，∠B＝60°，则∠2＝（ ）
A．108° B．62° C．118° D．128°
4．如图，AD是ABC的中线，DE为ABD的中线，若ABC的面积为8，则BDE的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
6．如图，是的中线，点G是中点，连接，若的面积为40，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
7．如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ）
A．12 B．10 C．18 D．6
8．如图，点分别在和上运动，的平分线与的平分线的反向延长线交于点的平分线与的平分线交于点，当时，（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若一个正多边形的每一个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的内角和为 度．
10．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．
11．将两个三角尺如图放置，，，，且点D在上，点B在上，，则的度数为 ．
12．如图，在中，，将沿着直线折叠，点在落点的位置，则的大小是 度．
三、解答题
13．求出下列图形中的值．
14．如图，、分别是的内角、的平分线．试说明的理由．
解：平分已知，
______角平分线定义．
同理：______．
，
，______，
______等式性质．
即：．
15．在中，，．
(1)若的长是整数，求的长；
(2)已知是的边上的中线，若的周长为17，求的周长．
16．如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，是和的交点，求的度数．
17．如图在四边形中，平分，且与的角平分线交于点D，若，，求的度数．
18．阅读小东与小芳的对话，解决下列问题．
(1)小东计算多边形的内角和为 ，小芳为什么说不可能？请通过计算进行说明．
(2)小东计算的这个多边形的边数应该是多少？
19．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
20．在中，
(1)如图（1），的平分线相交于点P．
若，则_______．
若，则______．
(2)如图（2），在中的外角平分线相交于点Q，，求的度数．
(3)如图（3），的的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：与具有怎样的数量关系？
(4)如图（4），中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数．
21．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形” ．例如：在△ABC中，∠A =70°，∠B =35°，则∠A与∠B 互为“开心角”，△ABC为“开心三角形” ．
【理解】
（1）若△ABC为开心三角形，∠A =144°，则这个三角形中最小的内角为 °；
（2）若△ABC为开心三角形，∠A=70°，则这个三角形中最小的内角为 °；
（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；
【应用】
如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E， CD平分△ABC 的外角∠BCF，延长 BA和DC交于点P，已知∠P=30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE=，求的度数 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C B C A A B
1．B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】
本题考查构成三角形的条件，涉及三角形三边关系，根据三角形三边关系逐项验证即可得到答案，熟练掌握利用三角形三边关系判断线段是否能构成三角形是解决问题的关键．
【详解】解：A、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意；
B、由于，，由三角形三边关系可知，这3根木棍可以构成三角形，符合题意；
C、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意；
D、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
2．C
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】设这三个内角度数分别为x、x、2x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这三个内角度数分别为x、x、2x，则
x+x+2x＝180°，
解得x＝45°，
∴2x＝90°，
∴这个三角形是等腰直角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
3．C
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵∠1＝58°，∠B＝60°，
∴∠2＝∠1+∠B＝58°+60°＝118°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是明确三角形外角等于和它不相邻两个内角的和．
4．B
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，即可求出△BDE的面积．
【详解】解：∵AD为ABC的中线，ABC的面积为8，
∴，
∵DE为ABD的中线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
5．C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据直角三角形中的两个锐角互余求得，根据三角形的外角性质可得，即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．A
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查三角形的面积问题．掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份是解题的关键．
是的中线可得，再由G是中点，可得即可解答．
【详解】解：∵是的中线，的面积为40，
，
∵点G是中点，
，即图中阴影部分的面积是10．
故选：A.
7．A
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了平面镶嵌，多边形内角和公式，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据平面镶嵌的条件，先求出正多边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出边数即可．
【详解】解：设正多边形的边数为，
根据题意可知，该正边形的一个内角为
则有：
解得：
故选：A．
8．B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，三角形的外角的性质，设，，可得，可得，由，可得，可得，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，
∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点，
∴设，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
∴，
∴．
故选：B
9．900
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数，根据外角度数就可求得边数．再根据内角和公式求解即可．
【详解】解：设正多边形的外角是x，则相邻的内角是x，
根据题意得：x+x=180°，
解得x=．
则正多边形的边数是：360°÷=7，
则这个多边形的内角和为：(7-2)×180°=900°，
故答案为：900．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角．解题的关键是明确多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化．
10．66.5°．
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【详解】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；
又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）
=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=．
∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+ACF）=66.5°．
11．/165度
【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的利用平行线的性质，三角形的外角的性质建立角与角之间的数量关系是解本题的关键．
先求解，再证明，再利用三角形的外角的性质求解，再利用邻补角的定义可得答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．80
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据折叠得到，，利用得到，，根据三角形内角和定理得到，再利用外角性质得到，由此求出的度数．
【详解】解：如图，
由折叠得，，
∵，
∴，
∴，得，
∴，
∵，即，
∴，
∵,
∴
∴
故答案为80．
13．（1）60；（2）100．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题
【分析】（1）根据三角形的外角性质求解即可；
（2）根据四边形内角和是360°求解即可．
【详解】解：（1）由三角形的外角性质得，x+（x+10）＝x+70，
即2x+10＝x+70，
解得，x＝60．
（2）根据四边形的内角和为360°得，
x+（x+10）+90+60＝360，
解得，x＝100．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，根据题意列出正确的方程是解题的关键．
14．； ； 三角形的内角和等于 ；
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据角平分线定义得出，，再根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：平分已知，
角平分线定义，
同理：，
，
，三角形的内角和等于，
等式性质，
即：，
故答案为：，，三角形的内角和等于，．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，能根据三角形的内角和定理得出和是解此题的关键．
15．(1)8
(2)24
【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键.
（1）根据三角形的三边关系解答即可:
（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
【详解】（1）解：由题意，得，
．
的长是整数，
．
（2）解：如图，
是的边上的中线，
．
的周长为17，
．
，
，
的周长．
16．
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余，解得，，然后在中，利用三角形内角和定理解得的度数即可．
【详解】解：∵是边上的高，，
∴，
∴，
∵是边上的高，，
∴，
∴，
∴在中，．
17．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出、的等式，推出，最后代入求出即可．
【详解】解：如图，延长交于点A．
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】此题考查三角形内角和定理、角平分线性质以及三角形的外角性质的综合运用，解此题的关键是求出．
18．(1)见解析
(2)小东求的是九边形的内角和
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和，不等式组的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由题意知，边形的内角和为，由多边形的内角和为的整数倍，进行作答即可；
（2）由题意知，，解不等式组，然后根据为正整数，求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，边形的内角和为，
∴多边形的内角和为的整数倍，
∵，
∴多边形内角和为不可能；
（2）解：由题意知，，
解得，，
∵为正整数，
∴，
∴小东求的是九边形的内角和．
19．(1)
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）由角平分线的定义求出．再根据三角形外角的性质即可得到的度数；
（2）由角平分线的定义得到．再根据三角形外角的性质得到．即可得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可；
本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分交于点D，，
∴．
∵是的外角，，
∴；
（2）∵平分交于点D，平分交于点E，
∴．
∵是的外角，，
∴．
∴
∵，
∴．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据角平分线性质以及三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理、外角和定理及角平分线性质求解即可；
（3）根据（1）（2）题的结论即可求出；
（4）根据（3）题的结论列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴120°，
∵的平分线相交于点P，
∴，，
∴＝60°，
∴180°－90°＋
∴若，则，
若，则90°＋．
（2）解：∵
∴
．
∵的外角平分线相交于点Q．
∴．
∴
．
∴
．
（3）解：由（1）知，，
由（2）知：，
∴．
（4）解：∵BQ，BE分别是的外角平分线和内角平分线，
∴90°，
①当2时，
90°＝2×（90°－n°）
∴n＝90，
∴90°，
②当时，
∵90°，
∴60°，
∴＝60°，
∴n＝60，
∴60°，
③当时，90°，
∴45°，
∴＝45°，
∴n＝90，
∴90°，
④当时，
∵90°，
∴30°，
∴＝30°
∴n＝120，
∴120°，
综上：90°，60°，120°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，理解角平分线的定义及性质是解题关键．
21．【理解】（1）12°；（2）35°或 （）°；（3）∠A45°，理由见解析；【应用】或或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用
【分析】理解：（1）根据开心三角形的概念求解即可；
（2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可；
（3）设∠A=x,∠A是开心△ABC中最小的内角，则与∠A互为开心角的内角只能为，列出不等式求解即可；
应用：分∠BAE 与∠ABE互为开心角和∠BAE 与∠AEB互为开心角两种情况讨论求解即可．
【详解】解：理解（1）∵△ABC为开心三角形，∠A =144°，
∴与互为开心角，
设最小的角为，则另一个角为，
∴
解得，
即最小的角为
故答案为12°；
（2）△ABC为开心三角形，∠A=70°，
设最小的角为，
①当最小的角与互为开心角时，则有：
，
解得，
∴最小的角为
②当最小的角与另一个角互为开心角时，则有：
解得，，
∴最小的角为
故答案为：35°或 （）°；
（3）设∠A=x,∠A是开心△ABC中最小的内角，则与∠A互为开心角的内角只能为 ．
∴这个开心三角形的第三个内角为 ．
∵∠A为最小内角，
∴① ．
解得，45°，即∠A45°；
【应用】∵AD平分△ABC的内角∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=∠α，
∴∠PAC=180°-2∠α，
设∠PCA=x，
∵CD平分△ABC的外角∠BCF，
∴∠BCD=∠DCF=x，
∴∠ACB=180°-2x，
∵∠P=30°,
∴180°-2∠α+x=150°．
∴，
∴，
∴ ．
分两类情形：
第一类：∠BAE 与∠ABE互为开心角，
有,或
即或
解得，；
第二类：∠BAE 与∠AEB互为开心角，
有,或
即或
解得，或；
故或或．
【点睛】本题为新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理以及开心角和开心三角形的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第8章 三角形
基础测评卷
一、单选题
1．下列长度的3根小木棒，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】
本题考查构成三角形的条件，涉及三角形三边关系，根据三角形三边关系逐项验证即可得到答案，熟练掌握利用三角形三边关系判断线段是否能构成三角形是解决问题的关键．
【详解】解：A、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意；
B、由于，，由三角形三边关系可知，这3根木棍可以构成三角形，符合题意；
C、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意；
D、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
2．已知三角形的三个内角度数之比为1：1：2，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】设这三个内角度数分别为x、x、2x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这三个内角度数分别为x、x、2x，则
x+x+2x＝180°，
解得x＝45°，
∴2x＝90°，
∴这个三角形是等腰直角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
3．如图，已知∠1＝58°，∠B＝60°，则∠2＝（ ）
A．108° B．62° C．118° D．128°
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵∠1＝58°，∠B＝60°，
∴∠2＝∠1+∠B＝58°+60°＝118°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是明确三角形外角等于和它不相邻两个内角的和．
4．如图，AD是ABC的中线，DE为ABD的中线，若ABC的面积为8，则BDE的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，即可求出△BDE的面积．
【详解】解：∵AD为ABC的中线，ABC的面积为8，
∴，
∵DE为ABD的中线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
5．如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据直角三角形中的两个锐角互余求得，根据三角形的外角性质可得，即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．如图，是的中线，点G是中点，连接，若的面积为40，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查三角形的面积问题．掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份是解题的关键．
是的中线可得，再由G是中点，可得即可解答．
【详解】解：∵是的中线，的面积为40，
，
∵点G是中点，
，即图中阴影部分的面积是10．
故选：A.
7．如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ）
A．12 B．10 C．18 D．6
【答案】A
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了平面镶嵌，多边形内角和公式，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据平面镶嵌的条件，先求出正多边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出边数即可．
【详解】解：设正多边形的边数为，
根据题意可知，该正边形的一个内角为
则有：
解得：
故选：A．
8．如图，点分别在和上运动，的平分线与的平分线的反向延长线交于点的平分线与的平分线交于点，当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，三角形的外角的性质，设，，可得，可得，由，可得，可得，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，
∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点，
∴设，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
∴，
∴．
故选：B
二、填空题
9．若一个正多边形的每一个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的内角和为 度．
【答案】900
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数，根据外角度数就可求得边数．再根据内角和公式求解即可．
【详解】解：设正多边形的外角是x，则相邻的内角是x，
根据题意得：x+x=180°，
解得x=．
则正多边形的边数是：360°÷=7，
则这个多边形的内角和为：(7-2)×180°=900°，
故答案为：900．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角．解题的关键是明确多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化．
10．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．
【答案】66.5°．
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【详解】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；
又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）
=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=．
∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+ACF）=66.5°．
11．将两个三角尺如图放置，，，，且点D在上，点B在上，，则的度数为 ．
【答案】/165度
【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的利用平行线的性质，三角形的外角的性质建立角与角之间的数量关系是解本题的关键．
先求解，再证明，再利用三角形的外角的性质求解，再利用邻补角的定义可得答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．如图，在中，，将沿着直线折叠，点在落点的位置，则的大小是 度．
【答案】80
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据折叠得到，，利用得到，，根据三角形内角和定理得到，再利用外角性质得到，由此求出的度数．
【详解】解：如图，
由折叠得，，
∵，
∴，
∴，得，
∴，
∵，即，
∴，
∵,
∴
∴
故答案为80．
三、解答题
13．求出下列图形中的值．
【答案】（1）60；（2）100．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题
【分析】（1）根据三角形的外角性质求解即可；
（2）根据四边形内角和是360°求解即可．
【详解】解：（1）由三角形的外角性质得，x+（x+10）＝x+70，
即2x+10＝x+70，
解得，x＝60．
（2）根据四边形的内角和为360°得，
x+（x+10）+90+60＝360，
解得，x＝100．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，根据题意列出正确的方程是解题的关键．
14．如图，、分别是的内角、的平分线．试说明的理由．
解：平分已知，
______角平分线定义．
同理：______．
，
，______，
______等式性质．
即：．
【答案】； ； 三角形的内角和等于 ；
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据角平分线定义得出，，再根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：平分已知，
角平分线定义，
同理：，
，
，三角形的内角和等于，
等式性质，
即：，
故答案为：，，三角形的内角和等于，．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，能根据三角形的内角和定理得出和是解此题的关键．
15．在中，，．
(1)若的长是整数，求的长；
(2)已知是的边上的中线，若的周长为17，求的周长．
【答案】(1)8
(2)24
【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键.
（1）根据三角形的三边关系解答即可:
（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
【详解】（1）解：由题意，得，
．
的长是整数，
．
（2）解：如图，
是的边上的中线，
．
的周长为17，
．
，
，
的周长．
16．如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，是和的交点，求的度数．
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余，解得，，然后在中，利用三角形内角和定理解得的度数即可．
【详解】解：∵是边上的高，，
∴，
∴，
∵是边上的高，，
∴，
∴，
∴在中，．
17．如图在四边形中，平分，且与的角平分线交于点D，若，，求的度数．
【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出、的等式，推出，最后代入求出即可．
【详解】解：如图，延长交于点A．
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】此题考查三角形内角和定理、角平分线性质以及三角形的外角性质的综合运用，解此题的关键是求出．
18．阅读小东与小芳的对话，解决下列问题．
(1)小东计算多边形的内角和为 ，小芳为什么说不可能？请通过计算进行说明．
(2)小东计算的这个多边形的边数应该是多少？
【答案】(1)见解析
(2)小东求的是九边形的内角和
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和，不等式组的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由题意知，边形的内角和为，由多边形的内角和为的整数倍，进行作答即可；
（2）由题意知，，解不等式组，然后根据为正整数，求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，边形的内角和为，
∴多边形的内角和为的整数倍，
∵，
∴多边形内角和为不可能；
（2）解：由题意知，，
解得，，
∵为正整数，
∴，
∴小东求的是九边形的内角和．
19．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）由角平分线的定义求出．再根据三角形外角的性质即可得到的度数；
（2）由角平分线的定义得到．再根据三角形外角的性质得到．即可得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可；
本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分交于点D，，
∴．
∵是的外角，，
∴；
（2）∵平分交于点D，平分交于点E，
∴．
∵是的外角，，
∴．
∴
∵，
∴．
20．在中，
(1)如图（1），的平分线相交于点P．
若，则_______．
若，则______．
(2)如图（2），在中的外角平分线相交于点Q，，求的度数．
(3)如图（3），的的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：与具有怎样的数量关系？
(4)如图（4），中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据角平分线性质以及三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理、外角和定理及角平分线性质求解即可；
（3）根据（1）（2）题的结论即可求出；
（4）根据（3）题的结论列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴120°，
∵的平分线相交于点P，
∴，，
∴＝60°，
∴180°－90°＋
∴若，则，
若，则90°＋．
（2）解：∵
∴
．
∵的外角平分线相交于点Q．
∴．
∴
．
∴
．
（3）解：由（1）知，，
由（2）知：，
∴．
（4）解：∵BQ，BE分别是的外角平分线和内角平分线，
∴90°，
①当2时，
90°＝2×（90°－n°）
∴n＝90，
∴90°，
②当时，
∵90°，
∴60°，
∴＝60°，
∴n＝60，
∴60°，
③当时，90°，
∴45°，
∴＝45°，
∴n＝90，
∴90°，
④当时，
∵90°，
∴30°，
∴＝30°
∴n＝120，
∴120°，
综上：90°，60°，120°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，理解角平分线的定义及性质是解题关键．
21．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形” ．例如：在△ABC中，∠A =70°，∠B =35°，则∠A与∠B 互为“开心角”，△ABC为“开心三角形” ．
【理解】
（1）若△ABC为开心三角形，∠A =144°，则这个三角形中最小的内角为 °；
（2）若△ABC为开心三角形，∠A=70°，则这个三角形中最小的内角为 °；
（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；
【应用】
如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E， CD平分△ABC 的外角∠BCF，延长 BA和DC交于点P，已知∠P=30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE=，求的度数 ．
【答案】【理解】（1）12°；（2）35°或 （）°；（3）∠A45°，理由见解析；【应用】或或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用
【分析】理解：（1）根据开心三角形的概念求解即可；
（2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可；
（3）设∠A=x,∠A是开心△ABC中最小的内角，则与∠A互为开心角的内角只能为，列出不等式求解即可；
应用：分∠BAE 与∠ABE互为开心角和∠BAE 与∠AEB互为开心角两种情况讨论求解即可．
【详解】解：理解（1）∵△ABC为开心三角形，∠A =144°，
∴与互为开心角，
设最小的角为，则另一个角为，
∴
解得，
即最小的角为
故答案为12°；
（2）△ABC为开心三角形，∠A=70°，
设最小的角为，
①当最小的角与互为开心角时，则有：
，
解得，
∴最小的角为
②当最小的角与另一个角互为开心角时，则有：
解得，，
∴最小的角为
故答案为：35°或 （）°；
（3）设∠A=x,∠A是开心△ABC中最小的内角，则与∠A互为开心角的内角只能为 ．
∴这个开心三角形的第三个内角为 ．
∵∠A为最小内角，
∴① ．
解得，45°，即∠A45°；
【应用】∵AD平分△ABC的内角∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=∠α，
∴∠PAC=180°-2∠α，
设∠PCA=x，
∵CD平分△ABC的外角∠BCF，
∴∠BCD=∠DCF=x，
∴∠ACB=180°-2x，
∵∠P=30°,
∴180°-2∠α+x=150°．
∴，
∴，
∴ ．
分两类情形：
第一类：∠BAE 与∠ABE互为开心角，
有,或
即或
解得，；
第二类：∠BAE 与∠AEB互为开心角，
有,或
即或
解得，或；
故或或．
【点睛】本题为新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理以及开心角和开心三角形的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．
试卷第1页，共3页
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