北京市昌平区2024-2025学年高二（上）期末数学试题
2025.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知，，若，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知直线，则直线的倾斜角的正切值为
（A） （B） （C） （D）
（3）在的展开式中，的系数为
（A） （B） （C） （D）
（4）以，为直径的两个端点的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为
（A） （B） （C） （D）
（6）曲线与曲线（）的
（A）长轴长相等 （B）短轴长相等 （C） 焦距相等 （D）离心率相等
（7） 有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有
（A）种 （B）种 （C）种 （D）种
（8）“”是“坐标原点在圆的外部”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”. 若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知集合，对于实数，集合且满足,则
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11)已知直线与直线垂直，则实数的值为 .
(12)已知双曲线，则其渐近线方程为 ；过的右焦点作圆 的切线，切点为,则_______．
(13)在正方体中,直线与所成角的大小为 .
(14)已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为 ；
若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则 的最小值为 .
（15）已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论：
① 曲线关于原点对称；
② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③ 曲线围成区域的面积大于8；
④ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于．
其中正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题13分）
已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（Ⅰ）设为的中点，求直线的方程；
（Ⅱ）求的面积．
(17) （本小题13分）
设，求：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）.
(18)（本小题14分）
如图，在棱长为的正方体中，为的中点,与平面交于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
(19) （本小题15分）
已知圆.
（Ⅰ）过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
(20)（本小题15分）
如图，在四棱柱中，侧面是边长为的正方形，平面平面,，，为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
条件①：；
条件②：.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
(21)（本小题15分）
已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且. 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D A C C B B A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）
（14） （15）① ③ ④
（第12、14题：第一空3分，第二空2分；第15题:答对一个给2分，答对两个给3分，全对给5分，不选或有错选得0分.）
三、解答题(本大题共6小题，共85分)
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）的中点的坐标为. ........2分
所以直线的斜率. ........4分
所以直线的方程为，即. ........6分
（Ⅱ）法一：
因为， ........7分
所以直线的方程为，即. ........9分
所以点到直线的距离. ........11分
因为， ........12分
所以. ........13分
法二:
因为,, ........8分
所以.
所以. ........10分
因为，
， .......12分
所以. ........13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）在展开式中，令，得：. ① ......1分
同理，令，得：. ② ......3分
由②①得：. ......5分
（Ⅱ）令，得：. ③ ......7分
由②③得：， ......8分
所以. .....10分
（Ⅲ）令，得：. ..13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）法一：
在正方体中，
因为平面平面, ........2分
平面平面,平面平面，
所以. ........4分
法二：
在正方体中，
因为平面平面,平面，
所以平面. ........2分
又因为平面，平面平面,
所以. ........4分
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系.则 ........5分
，，，，.
所以，，. .......6分
设平面的法向量，则
即 .......7分
令，则.
所以. .......8分
设直线与平面所成角为，
所以. ........10分
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）因为, ........11分
所以.
所以点到平面的距离为. ........14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由圆可得，圆心，半径. ....1分
当直线的斜率不存在时，直线的方程为.
圆心到直线的距离为，
此时符合题意. ....3分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即
. ....4分
圆心到直线的距离为. ....5分
因为， ....6分
所以.
所以.
所以. ....7分
所以直线的方程为，即. ....8分
综上，所求直线的方程为，或.
（Ⅱ）法一：
因为直线过定点， ........10分
又因为，
所以点在圆内. ........14分
所以直线与圆相交. .......15分
法二：
圆心到直线的距离
. ........10分
因为，
所以 .
所以. ........14分
所以直线与圆相交. .......15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）选择条件①：.
因为侧面为正方形，
所以. .......1分
又因为平面平面，平面平面,
平面，
所以平面. .......2分
因为平面，
所以. .......3分
又因为，，
所以平面. .......4分
所以. .......5分
选择条件②:.
连接.
因为侧面为正方形，
所以. .......1分
又因为平面平面，平面平面,
平面，
所以平面. .......2分
所以. .......3分
所以.
因为，
所以.
所以. .......4分
因为，
所以. .......5分
（Ⅱ）因为平面，，
所以两两垂直.
如图，建立空间直角坐标系，则 .......6分
,,,,,,.
所以,. .......7分
设平面的法向量，则
即
令，则.
所以. .......8分
因为平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则
.
所以平面与平面夹角的余弦值为. .......10分
（Ⅲ）法一：
设，.
所以.
所以.
所以.
所以. .......11分
因为,,
设平面的法向量，则
即
令，则.
所以. .......12分
设直线与平面所成角为，则
. .......13分
解得，或. .......14分
所以，或. .......15分
法二：
设，则. ........11分
因为,,
设平面的法向量，则
即
令，则.
所以. .......12分
设直线与平面所成角为，则
. .......13分
解得，或. .......14分
所以，或. .......15分
(21)（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得：解得 .......3分
所以椭圆的方程为.离心率为. .......5分
（Ⅱ）法一：
由题意可知，直线的斜率存在且不为零.
又因为,所以.
因为，
所以直线的方程为，直线的方程为. .......7分
由可得. .......8分
设，则.
所以. .......9分
同理可得：. .......10分
因为，
所以直线的方程为，
即. .......11分
所以直线过定点. .......12分
当为中点时，
因为点是过点作直线的垂线的垂足，
所以当与重合时，. .......13分
当与不重合时，根据直角三角形的性质，. .......14分
所以当为的中点时，即时，的长度为定值. .......15分
法二：
由题意可知，直线的斜率存在.
设直线的方程为. .......6分
由可得. .......7分
△. .......8分
设，则
. .......9分
由题意：， .......10分
即.
即.
即.
整理得：.
即.
因为，
所以.
即.
所以. .......11分
此时，△.
即直线的方程为.
所以直线过定点. .......12分
当为中点时，
因为点是过点作线段的垂线的垂足，
所以当与重合时，. .......13分
当与不重合时，根据直角三角形的性质，. .......14分
所以当为的中点，即时，的长度为定值. .......15分
