高一下册期中数学试卷
选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题正确的是（ ）
A.第一象限的角必是锐角 B.小于的角是锐角
C.三角形的内角必是第一、二象限的角 D.锐角是第一象限的角
2.函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
3.角和角有相同的( )
A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定
4.方程的实数根个数为（ ）
A.0个 B.1 个 C.2个 D.无数个
5.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A. B. C. D.
6.从一批产品中取出两件产品，事件“至少有一件是次品”的对立事件是（ ）
A.至多有一件是次品 B.两件都是次品
C.只有一件是次品 D.两件都不是次品
7.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分、得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
8.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A.34 B.55 C.78 D.89
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
A. B. C. D.
10.函数是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
11.已知A、B、C、D是函数y=sin(ωx+φ)，在一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,线段CD在x轴上的投影为,则( )
A.ω=2,φ= B.ω=2,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ=
12.若函数y=2sin ωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,则ω的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上.
13.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为 .
14.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流.此人不小心把一件物品丢在了途中,若掉在河里就找不到,否则就能找到,已知该物品能被找到的概率为0.9,则河宽为 m.
15.=_______
16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正三角形(正三角形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程长度为 .
三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．(本小题满分10分)化简：
(1)；
(2)(n∈Z)．
18．(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
(2)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
19.(本小题满分12分)已知函数y=3tan.
(1)求函数的定义域及单调区间；;
(2)求函数的最小正周期及图像的对称中心；
(3)说明此函数的图象是由y=tan x的图象经过怎样的变换得到的
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（其中ω>0,|φ|<）,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈,求y=f(x)的值域.
21.(本小题满分12分)某港口水深米是时间的函数，经过长期观察，可近似的看成是函数．下图是每天时间与水深的关系表：
（1）根据上面的数据，求的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
22.(本小题满分12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数，．
参考答案
1—6 DBBCAD 7—12 ABCDAC
14、50 15、 16、
17、解：(1)原式＝＝－＝－1． （4分）
(2)①当n＝2k，k∈Z时，
原式＝＝．
②当n＝2k＋1，k∈Z时，
原式＝＝－． （10分）
18、解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，
用(x，y)表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4). （4分）
(1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，
则A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}．
事件A由4个基本事件组成，故所求概率P(A)＝＝．
答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为． （8分）
(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，
则B＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)}
事件B由7个基本事件组成，故所求概率P(A)＝．
答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为． （12分）
解：(1)由
得
所以，函数的定义域为
（或由2x-≠kπ+,k∈Z,得x≠,k∈Z,所以原函数的定义域为.
）
函数函数在每一个开区间上单调递增 （4分）
（2）函数y=3tan的最小正周期T=.
由，得，
所以，函数图像的对称中心为 （8分）
(3)把函数y=tan x图象上所有的点向右平移个单位长度,得函数y=tan的图象,
再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得函数y=tan的图象,最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得函数y=3tan的图象. （12分）
20、解：(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.
因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=.
所以函数的解析式是y=sin. （4分）
(2)令2x+,k∈Z,
解得x∈,k∈Z.
所以函数的单调递增区间为,k∈Z. （8分）
(3)因为x∈,
所以.
所以,
即函数的值域为. （12分）
21、解：依题意得，，
解得，，
由，，
（）. （6分）
依题意,
,
，,
解得（），,
所以时间段为与. （12分）
22、解：（1）由已知，
∴ 个样区野生动物数量的平均数为，
∴ 该地区这种野生动物数量的估计值为＝； （4分）
（2）∵ ，，，
∴ ； （8分）
（3）更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对个地块进行分层抽样．
理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计． （12分）
