昌平区2024-2025学年第一学期高一年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准 2025.1
一、 选择题（共 10 小题， 每小题 4分， 共 40分）
题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10
笨1=1 7安is;; A D B c B A D A c c
二、 填空题〈共 5 小题， 每小题 5分， 共25分〉
(11) [l,+oo) C 12) 0.035 750 ( 13) 4 C答案不唯一〉
(14) -1 [0,4) (15 ）①③④
三、 解答题（共6小题， 共85分）
C 16) C共 13 分）
解： CI）依题意， AB=(4,l), AC=(k+l,4).
一 一
因为向量 AB 与 AC 共线，
所以 AB＝ λAC.
所以 k+l=l6 ， 解得 le= 15 . . . . . . . . . . . . . 4分
(II）在平行四边形 ABCD 中， AD = BC , BC= (1匀 ．
设 D(x,y） ， 得 AD=(x+1,;,+2).
所以（x+l,y+2)=(1,3)
x + 1 = 1. I x = 0,.
可得｛ ’ 解得：
y+2=3. ly=l.
所以D(O,l).
所以 BD=C-3,2).
所以｜茹1= . . . . 13 分
C 17) （共 14分〉
解：（ I）设事件C 为“从这两组数据中随机抽取一 个小于 10 的数据’＼
1
从这两组数据中随机抽取一个数据，总数据个数为 6+6 = 12 个；
A 版本的 AI 智能助手小于 10 的数据有 2 个，B 版本的 AI 智能助于小于 10
的数据有2个，共有4个－
4 1
所以 P(C) ＝ 一 ＝ 一 ． ..................... 5 分
12 3
(II ）设事件D为“第8个数据是 A 版本的 AI 智能助手用时数据 ’＼
将A 版本的数据 8,9,10,10,11,12 和B版本的数据 7,8,10,10,12,13 合并后从小
到大排列为： 7,8,8凡10,10, 10, 10, 11, 12,12, 13.
可以看到第8个数据是 10，在A版本数据中出现了2次，在B版本数据中也
出现了2次，总共出现4次．满足事件D的情况有2种．
所以 P(D) = :3_ = .!_. . . 11分
4 2
(III) 2 2 .s· < 1 s .. . 14 分2
( 18) （共 14 分〉
解：（ I）当。＝ 4 时， A= {xj5 运 x运 7｝，则 GuA ={xlx
由题设，得B= {xl-3ζx运 4}
所以 （t\A） 门 B ={xl-3运 x运 4} ... 6分
(II ）边①或②都可以转化成 A 旦 B. ... 7 分
当A=0时，α＋ 1 > 3a-S，即α ＜ 3时，满足A旦 B ; . . .. . . .. . .. . .. . 9分
α＋ l运 3a-S,
当 A :;t: 0时若 A 旦 B 则｜。＋ 1 :: -3 解得。 ＝ 3.
3a-S 运4.
综上， α 的取值范围是（一co,3]. . . 14 分
( 19) （共 14 分）
角军： (I) 当0 < x < 81时， xεN"'
，J 一一 l l 气r－ －L．飞X 一飞，／ 句3AU X ←x＋．．，AU X 、‘，／ 呵，牛AU AU 一 －x＋q4 nux 呵／－AU AU
8 8
费
当x 二三 81时， x εN ，
40000 40000
L(x) = 30x 一 （3lx＋ 一一一 － 1380)-200 = -x 一 一一一 ÷1180.
x x
2
"'
-ix2 +2 0x- 200,x EN , 0
40000
-
x 一一一一一 ＋ 1180, x εN ,x二三81.
x
C II ）当 0 < x < 81 时， L(x) = -ix2 + 20x -200＝ 卡 一 切）
2 叫
此时当 x= 80 时， L(x） 取得最大值为L(80) = 600万元；
40000 I 40000
当 x二三81时， L(x) = 1180 一 （x 一一一＋ ）运 1180-2 /x · 一一 ＝ 780,1
x v x
4000。
当且仅当 x 一一一＝ ，即 x = 200 时， L(x） 取得最大值为L(200) = 780万元．
x
因为 600< 780,
所以年产量为200 件时，所获年利润的最大值为 780万元． . . . . . . . . . . . 14 分
(20) （共 15 分〉
1- x > 0,
解：（I ）由题意知 解得 一l
所以／（功的定义域为（一 1, 1)
对任意 xε （－1,1）时，都有 －xε （－1,1).
又因为 f(-x) = ln(l 一 （－x))-ln(l-x) = ln(l+ x )-ln(l-x)
＝ 一（ln(l-x)-111(1+ x)) = -f （功，
所以 f(x ） 是奇函数 ． . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4 分
(II) f(x ） 在（－ 1, 1）上是减函数．
证明如下：任取 X1 ,X2ε （－ 1, 1），且一1
f(x. )- f(x
1 2
- ） = ln 一_J_ 一 ln 一----2 1 =主 ln
1+ X1 1+ X (I2 + X 1 i )( - X2 )
I-xx 十 叶X内 －x
= 2ln i 2
I-xx
1 2 ÷x -1 x2
因为 一 1< x ＜与＜ 1 '
1
所以 x2-X >0, x -x <0, (l-x )(l+x )>0, (l+x 0.i 2 1 2 1 )(1 一句）> 1
3
