锦江中学2024年下学期九年级数学期中考试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，是反比例函数的为（ ）
A． B． C． D．
2.下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．6cm、2cm、1cm、4cm B．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cm D．6cm、3cm、8cm、4cm
3．已知反比例函数的图象经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，点D，E，F分别在边，，上，且，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．-
6．如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为，原正方形铁皮的面积为，则无盖箱子的外表面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．9
7．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．已知点，，在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
9．在同一坐标系中，函数与的图像大概是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则 ．
12.设，那么__________．
13．下列函数中，y随x增大而减小的有 （填序号）．
①y=；②y=x﹣2；③y=﹣3x+1；④y=；⑤y=．
14.已知函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则n= ______
15．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 .
16．如图，点P是反比例函数y=﹣ 图象上一点，PM⊥x轴于M，则△POM的面积为 ．
（第16题） （第17题）
17.如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是_______．
18．将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．用适当的方法解方程．
（1）2x2﹣4x＋1＝0； （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
20．（6分）已知反比例函数 (k为常数，且)．
(1)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
(2)若，试判断点C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
21．（8分）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
22．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉样物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．
(1)若商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．
23．（9分）（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，是原方程的两根，且，求m的值．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的
图象的另一个交点为，连接，求的面积.
25．（10分）如图所示，在 ABC中，，厘米，．点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，当点运动到点时停止，点也同时停止．
（1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于平方厘米？
（2）如果点，分别从点，同时出发，问第几秒时，四边形的面积最小？其最小面积为多少？
26．（10分）如图，直线 与 轴、轴分别相交于点 和 ．
(1)直接写出坐标：点 ，点 ；
(2)以线段 为一边在第一象限内作，其顶点 在双曲线 上．
①求证：四边形 是正方形；
②试探索：将正方形 沿 轴向左平移多少个单位长度时
，点 恰好落在双曲线答 案
一、单选题（本题共 10小题，每小题 3分，共 30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A A D A A C B
二、填空题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
11、-2 12、8/3 13、①③⑤ 14、2
15、 x 4 2 4 16、1 17、1
2 2
4
（2）x1＝﹣2，x2＝ 3
20．(1)k＞1
(2)点C 2,5 不在这个函数的图象上．理由见解析
【分析】（1）根据在这个函数图象的每一分支上，y随 x的增大而减小，得到 k 1 0，解
不等式即可得到答案；
（2）先求出反比例函数表达式，再代入横坐标，判断纵坐标是否相等即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在这个函数图象的每一分支上，y随 x的增大而减小，
∴ k 1 0，
解得 k 1，
（2）点C 2,5 不在这个函数的图象上．
理由：∵当 k 13时， k－1 12，
12
∴反比例函数的表达式为 y .
x
当 x 2时， y 6 5，
∴点C 2,5 不在这个函数的图象上．
21．(1)DE 6
(2) AB 10
22．(1)50元；
{#{QQABSQk9wgqw0gRACQ5LQUGACwgQkIEQLcoOxQAQKAwiwQFABIA=}#}
(2)10%．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设售价应定为每个 x元，则每个利润为 x 20 元，销量为 500 10 x 40 个，再
利用总利润为12000元，再建立方程解题即可；
（2）由（1）得：当售价为每个 50 元时，销量为 400个，设这两周的平均增长率为 y，再
结合增长率的含义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设售价应定为每个 x元，则
x 20 500 10 x 40 12000，
整理得： x 2 110 x 3000 0 ，
解得： x1 50， x2 60；
∵更大优惠让利消费者，
∴ x 60不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个50元．
（2）解：由（1）得：当售价为每个50元时，销量为500 10 50 40 500 100 400（个），
设这两周的平均增长率为 y，则
400 1 2 y 484，
解得： y1 0.1 10%， y2 2.1（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为10%．
23 2．【解析】（1）证明：∵b2 4ac m 3 4 1· m 1
m2 2m 5
2
m 1 4＞0
∴无论 m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；（4分）
2 x2 x2（ ）解：∵ 1 2 4，
(x x )2∴ 1 2 2x1x2 4，
又∵ x1 x2 m 3 , x1 x2 m 1
2
∴ m 3 2 m 1 4，
{#{QQABSQk9wgqw0gRACQ5LQUGACwgQkIEQLcoOxQAQKAwiwQFABIA=}#}
解得：m1 1，m2 3．（9分）
8
24．（1）反比例函数的表达式为 y ；（2） 的面积为15 .
x
【分析】（1）联立两一次函数解出 A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出 B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面
积.
y
1
x 5 x 2
【详解】（1）由题意：联立直线方程 2 ，可得 ，故 A点坐标为（-2,4）
y 4 y 2x
k k
将 A（-2,4）代入反比例函数表达式 y ，有 4 ，∴ k 8
x 2
8
故反比例函数的表达式为 y
x
1
（2 8）联立直线 y x 5与反比例函数 y ，
2 x
1
y x 5 2
解得 x1 2, x8 2
8，当 x 8时， y 1，故 B（-8,1）
y
x
如图，过 A，B两点分别作 x轴的垂线，交 x轴于M、N两点，由模型可知
S 梯形AMNB=S△AOB，
1 1 1
∴S 梯形AMNB=S△AOB= (y1 y2 )(x1 x2 ) = (1 4) [( 2) ( 8)] =5 6 152 2 2
5 45
25．（1）1秒；（2） 秒，
2 4
【分析】（1）设 P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AQ xcm，QB 5 x cm，BP 2xcm
则 PBQ
1
的面积等于 2x 5 x ，令该式等于 4，列出方程求出符合题意的解；
2
（2）先表示出三角形 PBQ的面积，则四边形 APQC的面积为三角形 ABC与三角形 PBQ面
积之差，再利用二次函数性质直接求得最小值.
{#{QQABSQk9wgqw0gRACQ5LQUGACwgQkIEQLcoOxQAQKAwiwQFABIA=}#}
【详解】解：（1）设 t秒后， PBQ的面积等于 4cm2，则：
AP tcm， BP 5 t cm， BQ 2tcm．
S PBQ BP
BQ
，即 4 5 2t t ，
2 2
解得： t 1或 4（ t 4秒不合题意，舍去），
故1秒后， PBQ的面积等于 4cm2．
（2 2）由（1）得 S PBQ 5t t ， SAPQC S ABC S PBQ
1
5 7 5t t 2 t 2 5t 35 .
2 2
5 45
a 1 0开口向上， x 时， S .
2 4
5
故 秒后，四边形 APQC
45 2
的面积最小为 cm ．
2 4
26．（1）A（1，0），B（0 3，2）；（2）①证明见解析②点 C恰好落在双曲线 y x (
x＞0 )上
【详解】试题分析：（1）分别令 x=0，求出 y的值；令 y=0，求出 x的值即可得出点 B与点
A的坐标；
（2）①过点 D作 DE⊥x轴于点 E，由全等三角形的性质可得出△AOB≌△DEA，故可得
出 AB=AD，再利用待定系数法求出直线 AD的解析式即可得出 AB⊥AD，由此可得出结论；
②过点 C作 CF⊥y轴，利用△AOB≌△DEA，同理可得出：△AOB≌△BFC，即可得出 C
点纵坐标，如果点在图象上，利用纵坐标求出横坐标即可．
解：（1）∵令 x=0，则 y=2；令 y=0，则 x=1，
∴A（1，0），B（0，2）．
故答案为（1，0），（0，2）；
（2）①过点 D作 DE⊥x轴于点 E，
∵A（1，0），B（0，2），D（3，1），
∴AE=OB=2，OA=DE=1，
在△AOB与△DEA中，
，
∴△AOB≌△DEA（SAS），
∴AB=AD，
{#{QQABSQk9wgqw0gRACQ5LQUGACwgQkIEQLcoOxQAQKAwiwQFABIA=}#}
设直线 AD的解析式为 y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∵（﹣2）× =﹣1，
∴AB⊥AD，
∵四边形 ABCD是正方形；
②过点 C作 CF⊥y轴，
∵△AOB≌△DEA，
∴同理可得出：△AOB≌△BFC，
∴OB=CF=2
∵C点纵坐标为：3，
代入 y= ，
∴x=1，
∴应该将正方形 ABCD沿 X轴向左平移 2﹣1=1个单位长度时，点 C的对应点恰好落在（1）
中的双曲线上．
{#{QQABSQk9wgqw0gRACQ5LQUGACwgQkIEQLcoOxQAQKAwiwQFABIA=}#}
