2024年浙江省初中学业水平考试数学模拟预测题
1．（2024·浙江模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
B、﹣x2+16y2＝（4y）2﹣x2是4y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，故此选项正确；
C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项错误；
D.a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差.
2．（2024·浙江模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：A、，所以A选项错误；
B、 ，所以B选项正确；
C、 ，所以C选项错误；
D、 ，所以D选项错误.
故答案选：B.
【分析】本题考查有理数的运算，牢记运算法则是做题关键；做题时注意以下易错点：一、按照运算顺序，先乘方再乘除，最后加减；二、乘方表示的是多个相同的数相乘，要想一下乘方意义，然后运算；三、计算时注意运算符号；根据有理数运算法则，计算每个选项，即可得出正确选项.
3．（2024·浙江模拟）这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台火了，截止4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达88300000次，请将88300000用科学记数法表示为（ ）
A．0.883×106 B．8.83×107 C．8.83×108 D．88.3×109
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1
4．（2024·浙江模拟）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的与y轴的正半轴交于点．过点的直线l与相交于C、D两点，则弦长是整数值的条数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，圆的半径为5，
∴点B的坐标为，
又∵点P的坐标为，
∴，
①当垂直圆的直径时，的值最小，
连接，在中，，
故，
②当经过圆心时，的值最大，此时直径；
所以，，
综上可得：弦长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故答案为：B．
【分析】先得到，再根据勾股定理得到，然后分两种情况讨论得到的最小值和最大值，即可解题．
5．（2024·浙江模拟）满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由 可得 ， ， ，故不是直角三角形，符合题意；
B、由 ，可设 ， ， ，可得 ，是直角三角形，故不符合题意；
C、由 ，即 可得符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、由 及三角形内角和可得 ，是直角三角形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理找出三角形中最大角的度数，看最大角的度数是否等于90°，据此可对A，D作出判断；根据勾股定理的逆定理，三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此，可对C，B作出判断.
6．（2024·浙江模拟）小华的妈妈去年存了一个1年期存款，年利率为3.50％，今年到期后得到利息700元，小华的妈妈去年存款的本金为（ ）
A．1000元 B．2000元 C．10000元 D．20000元
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 依据“本金×利率×时间=利息”，代入数据即可求解。
【解答】设本金为a，则有700=0.035a
所以a=20000
故选D
【点评】列方程求解是此类问题的基本解法，考生要学会分析题目类型，进而求解。
7．（2024·浙江模拟）现有一组统计数据：，，，，，，．对于不同的，下列统计量不会发生改变的是（ ）
A．众数、中位数 B．平均数、方差
C．平均数、中位数 D．众数、方差
【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：将数据x去掉，把剩余的数据进行排序：12，13，14，14，14，15，
∴无论x为何值，众数始终为14，
由于共7个数，中位数应为排序后的第4个数据，
∴无论x处于哪个位置，中位数始终为14，
由平均数、方差与每个数据息息相关，故只要x变化，平均数就会变化，方差也变，
∴ 统计量不会发生改变的是中位数与众数；
故答案为：A.
【分析】先将数据x去掉，把剩余的数据进行排序，再将x放在任意位置，即可判断.
8．（2024·浙江模拟）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则m最小值是（ ）
A．6 B．4 C．8 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，
∴，代入，得，
，
，
∴最小值是2，
故答案为：D．
【分析】把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，从而可得，再代入可得，由解不等式得m的取值范围，由此求出的最小值.
9．（2024·浙江模拟）在数轴上，点A，B分别表示实数a，b，将点A向左平移1个单位长度得到点C，若点C，B关于原点O对称，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＝1 B．a+b＝﹣1 C．a﹣b＝1 D．a﹣b＝﹣1
【答案】A
【知识点】平移的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】由题意知
因为点C，B关于原点O对称
∴
则
故答案为：A．
【分析】利用坐标平移及关于原点对称的性质求解即可。
10．（2024·浙江模拟）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据，，，可以得到，，然后由旋转得到是等边三角形，解题即可．
11．（2024·浙江模拟）我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，请用观察到的规律解方程该方程的解是 ．
【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，可将原方程化简为：，
∴，
方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】根据规律将原方程进行化简得，然后解分式方程即可．
12．（2024·浙江模拟）现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
由题可知
∴
∵，
∴
又∵
∴
故答案为：．
【分析】根据直角三角板得到，然后根据三角形外角定理和平行线性质得到解题即可．
13．（2024·浙江模拟）若，则 ．
【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a=2，
故答案为：2．
【分析】先把和化为最简二次根式，可得，再根据二次根式的减法法则可得，即可求解．
14．（2024·浙江模拟）在平面直角坐标系中，点，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，，当时，，线段按上述“变换点”组成新图形，直线与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 点 在线段上，
∴P（a，-a+2），
把点P坐标代入y=-x+2中，得a=1，
∵-2＜x＜6，
∴当-2≤a＜1，a＜-a+2，即a＜b，
当1≤a≤6，a≥-a+2，即a≥b，
∴ 当时 Q（a，a-2），线段为y=x-2，则2≤a＜1
当 时 ， Q（a+1，-a-3），线段为y=-x-2，则1≤a≤6，可得2≤a+1≤7，
如图所示：
∵ 直线恒过（0，1）， 若此直线与新图形恰好有两个公共点 ，
∴图象的界点为A（1，-1）B（1，-3），
将A、B坐标分别代入中，得k=-1，-2，
∴
故答案为： .
【分析】点 在线段上，结合已知确定a的范围及对应解析式y=x-2，y=-x-2，再求出界点A、B的坐标，然后分别代入中求出k的最大值与最小值即可得解.
15．（2024·浙江模拟）如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点作于点，
，
∵将沿折叠，的对应边交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴点与点重合，
，
故答案为：．
【分析】过点作于点，即可得到是等边三角形，然后证明，得到，，根据折叠得到，再根据三角函数求出的长，即可得到点与点重合，求出的长解题．
16．（2024·浙江模拟）如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的离是 cm．
【答案】130；77
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】①如图，连接BD，过D点作DG⊥AB交AB于点G，
∵N为AB重点，且TN⊥AD，
∴AN=DN，，
∵BN为△ABN与△DBN共边，
∴，
∴BD=AB=169 cm，
∵，BC⊥AB，
∴，
∴cm，
∵BC⊥AB，DG⊥AB，
∴，
∴四边形DGBC为矩形，
∴BG=DC=119 cm，DG=BC=120 cm，
∴AG=AB-BG=169-119=50 cm，
∴cm．
故答案为130．
②
如图，过作交AF于点H，过点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AK⊥FC于点K，
则AK=BC=120 cm，，
∵cm，
∴cm，
∴，，，
在中，cm ，
∴cm ，
在中，cm ，
在中，
cm， cm ，
∴cm，
∵轮胎半径为30 cm，
∴点P'到地面的离为47+30=77 cm．
故答案为77．
【分析】连接BD，过D点作DG⊥AB交AB于点G，即可得到，再利用勾股定理求出DC、AD长解题，②过作交AF于点H，点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AK⊥FC于点K，利用勾股定理得到FK长，然后利用解直角三角形解题即可．
17．（2024·浙江模拟）（1）解方程组：；
（2）解不等式组．
【答案】解：（1）
①×2+②得，9x=9，即x=1，
把x=1代入②得：y=-1，
∴方程组的解是；
（2）
由①得，
由②得，
则不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可；（2）分别求出两不等式的解集，然后根据“大小小大中间找”得到公共部分解题即可．
18．（2024·浙江模拟）（1）计算∶2sin245°-6sin 30°+3tan 45°+4cos 60°．
（2）小明在用公式法解方程x2-5x=2时出现了错误，解答过程如下∶
∵a=1，b=-5，c=2，（第一步）
∴b2-4ac=（-5）2-4×1×2=17，（第二步）
∴x，（第三步）
∴ x1，x2=．（第四步）
①小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误的原因是
②请你写出此题正确的解答过程．
【答案】解：（1）2sin245°-6sin 30°+3tan 45°+4cos 60°=2×()2-6×+3×1+4×
=1-3+3+2
=3；
（2）①小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误的原因是原方程没有化成一般形式，
故答案为：一， 原方程没有化成一般形式；
②原方程变形为x2-5x-2=0，
∴a=1，b=-5，c=-2，
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-2)=33，
∴x，
∴x1，x2．
【知识点】公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入，运算解题；
（2）①根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可；
②利用公式法解一元二次方程即可．
19．（2024·浙江模拟）已知平面上A（4，4），B（2，0），C（0，6）
（1）在下面的平面直角坐标系中找出A、B、C三点，绘制出△ABC．
（2）求出△ABC的面积．
【答案】解：（1）如图△ABC即为所作：
（2）：由勾股定理AB==2，
AC==2，
BC==2 ，
∵AB2+AC2=(2)2+(2)2=40，BC2=(2)2=40
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=×2×2=10
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先描出各点，然后连接即可解题；
（2）利用勾股定理求出三角性三边的长度，然后判断△ABC为直角三角形，再运用三角形的面积公式解题．
20．（2024·浙江模拟）《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，劳动课成为中小学的一门独立课程．《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求初中阶段劳动时长不少于3小时，某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，组织数学兴趣小组按下列步骤开展统计活动．
确定调查对象：从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查．
收集整理数据：按照标准，学生每周劳动时长分为A，B，C，D四个等级，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成下面不完整的统计图表．
分析数据，解答问题：
（1）本次调查中：1500名学生中每名学生每周的劳动时长是______（填“总体”或“个体”）；统计表中的______，______．
（2）请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数．
（3）为更好践行劳动教育要求，结合上述数据分析，请你提出一条合理化的建议．
【答案】（1）个体；28；80
（2）解：（人），
答：估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数有600人
（3）解：每周劳动时长不符合要求的占，说明学生平时劳动的时间非常少，建议学校加强劳动教育，多开展一些劳动课
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）1500名学生中每名学生每周的劳动时长是个体．
先计算D等级所占的百分比：
∴A等级所占的百分比是：
∴（人），（人）．
故答案为：个体；28；80．
【分析】（1）根据等级的人数除以所占百分比求出调查的总人数，然后运用总人数乘以等级圆心角度数所占比例求得的值，再用总人数减去其他组人数求出的值；
（2）运用1500乘以等级人数所占比例解题即可；
（3）根据题意提出合理建议即可.
21．（2024·浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
【答案】解（1）如图1，过点作于点，过点作于点．
，，
，
，
，
．
，
，
，
，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，（米）
（2）方法1：
如图2，过点作交于点．
由（1）知，，
．
在中，，
，
．
在中，，
在中，，
在中，当时，，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到．
方法2：
如图2，过点作交于点．
与方法1同理得，得，，
．
在中，．
小明会被照射到．
（3）由（2）知，当时，；
由（1）知，，
当时，
在中，，
，
，
在中，，
在中，当时，，
；
．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，点作于点，得到，即可得到。然后根据，利用解直角三角形求出长即可；
（2）过点作交于点，根据，利用解直角三角形得到的长，然后比较即可；
（3）根据题意可得在到之间，利用解直角三角形得到两个极端情况下的长度即可解题．
22．（2024·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点为A、B分别在y轴正半轴、x轴负半轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且AB∥CD．
（1）如图1，若点A（0，a）和点B（b，0）的坐标满足
ⅰ）直接写出a、b的值，a＝_____，b＝_____；
ⅱ）把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点F到y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为_____；
（2）若G是CD延长线上一点DP平分∠ADG，BH平分∠ABO，BH的反向延长线交DP于P（如图2），求∠HPD的度数；
（3）若∠BAO＝30°，点Q在x轴（不含点B、C）上运动，AM平分∠BAQ，QN平分∠AQC，（如图3）直接出∠BAM与∠NQC满足的数量关系．
【答案】（1）ⅰ），﹣1；ⅱ）（﹣2，+1）或（2，+1）；
（2）如图2中，设BH交y轴于K．∠ABK＝∠OBK＝α．
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠OCD＝2α，
∴∠ODP＝ （90°+2α）＝45°+α．
∵∠BKO＝90°﹣α，
∴∠HPD＝180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）＝45°．
（3）如图3﹣1中，当点Q在点B左侧时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠OAQ+∠AQC=60°，
又∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∠BAM+∠NQC＝；
如图3﹣2中，当点Q在B、C之间时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠AQC-∠QAB=60°，
又∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∠NQC﹣∠BAM＝．
如图3﹣3中，当点Q在点C右侧时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠BAQ-∠BQA=180°-60°=120°，
又 ∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∴∠BAM+∠NQC＝．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外角性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）ⅰ）∵ ，
又|﹣a|≥0， ≥0，
∴a＝，b＝﹣1，
故答案为，﹣1．
ⅱ）如图1中，有两种情形，点F坐标为：（﹣2，+1）或（2， +1）．
故答案为（﹣2， +1）或（2， +1）．
【分析】（1）ⅰ）根据绝对值和算术平方根的非负性解题即可；
ⅱ）画出图形，根据平移的性质解答即可；
（2）设BH交y轴于K，则∠ABK＝∠OBK＝α．然后根据三角形内角和定理得到求出∠PKD，∠PDK解题；
（3）分点Q在点B左侧、点Q在B、C之间和点Q在点C右侧三种情形画出图形，利用角平分线的定义和三角形的内角和解题即可.
23．（2024·浙江模拟）已知抛物线与轴交于不同的两点
（1）求的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
（3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的值．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于不同的两点，∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∴，解得：，
又∵，
∴，
综上，且
（2）解：∵∴，
即，
∵该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，
此时y的值与m无关，
∴，
解得：，
当时，，此时抛物线过点；
当时，，此时抛物线过点（舍去）；
综上所述，此时点P的坐标为
（3）解：的面积有最大值．当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
根据题意得：的面积为，
∴当最大时，的面积有最大，最大值为，此时
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到且2m≠0根的判别式求出m的取值范围：
（2）函数关系式变形为，令，得到x的值，解题即可；
（3）令y=0，解方程得x值为，即可得到，然后根据，即可得到求最值即可．
24．（2024·浙江模拟）四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示．
（1）当时，求证：直线与相切；
（2）当，时，求的度数；
（3）在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，．
∴．
∵．
∴．
∵P是垂直平分线上的点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵垂直平分，P在上，
∴，即点A在上．
∴直线与相切
（2）由（1）得，则点D在上．
∵与同对，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴在中，．
∵由（1）得，即．
∴．
∴为直角三角形，且．
∴．
又∵，
∴
（3）设，由（1）知：当时，直线与相切，同理：当时，直线与相切，此时，点C是切点，点E、F、C重合．
所以若点C与E不重合，可分两类讨论：
①当点E在延长线上时，
由（2）知：．
∴，即．
∵，
∴．
∴．
则．
即．
②当点E在边上时，
∵点A，E，C，D在上，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
又∵，
∴．
∴．
∴．
即．
综上，或
【知识点】菱形的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，即可得到，，，，然后利用垂直平分线的性质即可得到，然后求得．再利用菱形的性质即可得到得结论．
（2）根据同弧所对圆周角相等可得．然后利用菱形的性质可以得到，即可得到．再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，最后利用平行线的性质解题．
（3）设，分两类讨论：①点E在延长线上，得到，，即可得到、；②点E在边上时，圆内接四边形的对角互补和同角的补角相等得然后利用菱形的性质得到．即可得到，进而得到、解题．
2024年浙江省初中学业水平考试数学模拟预测题
1．（2024·浙江模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
2．（2024·浙江模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江模拟）这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台火了，截止4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达88300000次，请将88300000用科学记数法表示为（ ）
A．0.883×106 B．8.83×107 C．8.83×108 D．88.3×109
4．（2024·浙江模拟）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的与y轴的正半轴交于点．过点的直线l与相交于C、D两点，则弦长是整数值的条数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2024·浙江模拟）满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·浙江模拟）小华的妈妈去年存了一个1年期存款，年利率为3.50％，今年到期后得到利息700元，小华的妈妈去年存款的本金为（ ）
A．1000元 B．2000元 C．10000元 D．20000元
7．（2024·浙江模拟）现有一组统计数据：，，，，，，．对于不同的，下列统计量不会发生改变的是（ ）
A．众数、中位数 B．平均数、方差
C．平均数、中位数 D．众数、方差
8．（2024·浙江模拟）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则m最小值是（ ）
A．6 B．4 C．8 D．2
9．（2024·浙江模拟）在数轴上，点A，B分别表示实数a，b，将点A向左平移1个单位长度得到点C，若点C，B关于原点O对称，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＝1 B．a+b＝﹣1 C．a﹣b＝1 D．a﹣b＝﹣1
10．（2024·浙江模拟）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
11．（2024·浙江模拟）我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，请用观察到的规律解方程该方程的解是 ．
12．（2024·浙江模拟）现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则 ．
13．（2024·浙江模拟）若，则 ．
14．（2024·浙江模拟）在平面直角坐标系中，点，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，，当时，，线段按上述“变换点”组成新图形，直线与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围 ．
15．（2024·浙江模拟）如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接．若，则的长为 ．
16．（2024·浙江模拟）如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的离是 cm．
17．（2024·浙江模拟）（1）解方程组：；
（2）解不等式组．
18．（2024·浙江模拟）（1）计算∶2sin245°-6sin 30°+3tan 45°+4cos 60°．
（2）小明在用公式法解方程x2-5x=2时出现了错误，解答过程如下∶
∵a=1，b=-5，c=2，（第一步）
∴b2-4ac=（-5）2-4×1×2=17，（第二步）
∴x，（第三步）
∴ x1，x2=．（第四步）
①小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误的原因是
②请你写出此题正确的解答过程．
19．（2024·浙江模拟）已知平面上A（4，4），B（2，0），C（0，6）
（1）在下面的平面直角坐标系中找出A、B、C三点，绘制出△ABC．
（2）求出△ABC的面积．
20．（2024·浙江模拟）《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，劳动课成为中小学的一门独立课程．《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求初中阶段劳动时长不少于3小时，某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，组织数学兴趣小组按下列步骤开展统计活动．
确定调查对象：从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查．
收集整理数据：按照标准，学生每周劳动时长分为A，B，C，D四个等级，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成下面不完整的统计图表．
分析数据，解答问题：
（1）本次调查中：1500名学生中每名学生每周的劳动时长是______（填“总体”或“个体”）；统计表中的______，______．
（2）请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数．
（3）为更好践行劳动教育要求，结合上述数据分析，请你提出一条合理化的建议．
21．（2024·浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
22．（2024·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点为A、B分别在y轴正半轴、x轴负半轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且AB∥CD．
（1）如图1，若点A（0，a）和点B（b，0）的坐标满足
ⅰ）直接写出a、b的值，a＝_____，b＝_____；
ⅱ）把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点F到y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为_____；
（2）若G是CD延长线上一点DP平分∠ADG，BH平分∠ABO，BH的反向延长线交DP于P（如图2），求∠HPD的度数；
（3）若∠BAO＝30°，点Q在x轴（不含点B、C）上运动，AM平分∠BAQ，QN平分∠AQC，（如图3）直接出∠BAM与∠NQC满足的数量关系．
23．（2024·浙江模拟）已知抛物线与轴交于不同的两点
（1）求的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
（3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的值．
24．（2024·浙江模拟）四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示．
（1）当时，求证：直线与相切；
（2）当，时，求的度数；
（3）在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
B、﹣x2+16y2＝（4y）2﹣x2是4y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，故此选项正确；
C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项错误；
D.a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差.
2．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：A、，所以A选项错误；
B、 ，所以B选项正确；
C、 ，所以C选项错误；
D、 ，所以D选项错误.
故答案选：B.
【分析】本题考查有理数的运算，牢记运算法则是做题关键；做题时注意以下易错点：一、按照运算顺序，先乘方再乘除，最后加减；二、乘方表示的是多个相同的数相乘，要想一下乘方意义，然后运算；三、计算时注意运算符号；根据有理数运算法则，计算每个选项，即可得出正确选项.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，圆的半径为5，
∴点B的坐标为，
又∵点P的坐标为，
∴，
①当垂直圆的直径时，的值最小，
连接，在中，，
故，
②当经过圆心时，的值最大，此时直径；
所以，，
综上可得：弦长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故答案为：B．
【分析】先得到，再根据勾股定理得到，然后分两种情况讨论得到的最小值和最大值，即可解题．
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由 可得 ， ， ，故不是直角三角形，符合题意；
B、由 ，可设 ， ， ，可得 ，是直角三角形，故不符合题意；
C、由 ，即 可得符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、由 及三角形内角和可得 ，是直角三角形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理找出三角形中最大角的度数，看最大角的度数是否等于90°，据此可对A，D作出判断；根据勾股定理的逆定理，三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此，可对C，B作出判断.
6．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 依据“本金×利率×时间=利息”，代入数据即可求解。
【解答】设本金为a，则有700=0.035a
所以a=20000
故选D
【点评】列方程求解是此类问题的基本解法，考生要学会分析题目类型，进而求解。
7．【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：将数据x去掉，把剩余的数据进行排序：12，13，14，14，14，15，
∴无论x为何值，众数始终为14，
由于共7个数，中位数应为排序后的第4个数据，
∴无论x处于哪个位置，中位数始终为14，
由平均数、方差与每个数据息息相关，故只要x变化，平均数就会变化，方差也变，
∴ 统计量不会发生改变的是中位数与众数；
故答案为：A.
【分析】先将数据x去掉，把剩余的数据进行排序，再将x放在任意位置，即可判断.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，
∴，代入，得，
，
，
∴最小值是2，
故答案为：D．
【分析】把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，从而可得，再代入可得，由解不等式得m的取值范围，由此求出的最小值.
9．【答案】A
【知识点】平移的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】由题意知
因为点C，B关于原点O对称
∴
则
故答案为：A．
【分析】利用坐标平移及关于原点对称的性质求解即可。
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据，，，可以得到，，然后由旋转得到是等边三角形，解题即可．
11．【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，可将原方程化简为：，
∴，
方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】根据规律将原方程进行化简得，然后解分式方程即可．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
由题可知
∴
∵，
∴
又∵
∴
故答案为：．
【分析】根据直角三角板得到，然后根据三角形外角定理和平行线性质得到解题即可．
13．【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a=2，
故答案为：2．
【分析】先把和化为最简二次根式，可得，再根据二次根式的减法法则可得，即可求解．
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 点 在线段上，
∴P（a，-a+2），
把点P坐标代入y=-x+2中，得a=1，
∵-2＜x＜6，
∴当-2≤a＜1，a＜-a+2，即a＜b，
当1≤a≤6，a≥-a+2，即a≥b，
∴ 当时 Q（a，a-2），线段为y=x-2，则2≤a＜1
当 时 ， Q（a+1，-a-3），线段为y=-x-2，则1≤a≤6，可得2≤a+1≤7，
如图所示：
∵ 直线恒过（0，1）， 若此直线与新图形恰好有两个公共点 ，
∴图象的界点为A（1，-1）B（1，-3），
将A、B坐标分别代入中，得k=-1，-2，
∴
故答案为： .
【分析】点 在线段上，结合已知确定a的范围及对应解析式y=x-2，y=-x-2，再求出界点A、B的坐标，然后分别代入中求出k的最大值与最小值即可得解.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点作于点，
，
∵将沿折叠，的对应边交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴点与点重合，
，
故答案为：．
【分析】过点作于点，即可得到是等边三角形，然后证明，得到，，根据折叠得到，再根据三角函数求出的长，即可得到点与点重合，求出的长解题．
16．【答案】130；77
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】①如图，连接BD，过D点作DG⊥AB交AB于点G，
∵N为AB重点，且TN⊥AD，
∴AN=DN，，
∵BN为△ABN与△DBN共边，
∴，
∴BD=AB=169 cm，
∵，BC⊥AB，
∴，
∴cm，
∵BC⊥AB，DG⊥AB，
∴，
∴四边形DGBC为矩形，
∴BG=DC=119 cm，DG=BC=120 cm，
∴AG=AB-BG=169-119=50 cm，
∴cm．
故答案为130．
②
如图，过作交AF于点H，过点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AK⊥FC于点K，
则AK=BC=120 cm，，
∵cm，
∴cm，
∴，，，
在中，cm ，
∴cm ，
在中，cm ，
在中，
cm， cm ，
∴cm，
∵轮胎半径为30 cm，
∴点P'到地面的离为47+30=77 cm．
故答案为77．
【分析】连接BD，过D点作DG⊥AB交AB于点G，即可得到，再利用勾股定理求出DC、AD长解题，②过作交AF于点H，点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AK⊥FC于点K，利用勾股定理得到FK长，然后利用解直角三角形解题即可．
17．【答案】解：（1）
①×2+②得，9x=9，即x=1，
把x=1代入②得：y=-1，
∴方程组的解是；
（2）
由①得，
由②得，
则不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可；（2）分别求出两不等式的解集，然后根据“大小小大中间找”得到公共部分解题即可．
18．【答案】解：（1）2sin245°-6sin 30°+3tan 45°+4cos 60°=2×()2-6×+3×1+4×
=1-3+3+2
=3；
（2）①小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误的原因是原方程没有化成一般形式，
故答案为：一， 原方程没有化成一般形式；
②原方程变形为x2-5x-2=0，
∴a=1，b=-5，c=-2，
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-2)=33，
∴x，
∴x1，x2．
【知识点】公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入，运算解题；
（2）①根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可；
②利用公式法解一元二次方程即可．
19．【答案】解：（1）如图△ABC即为所作：
（2）：由勾股定理AB==2，
AC==2，
BC==2 ，
∵AB2+AC2=(2)2+(2)2=40，BC2=(2)2=40
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=×2×2=10
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先描出各点，然后连接即可解题；
（2）利用勾股定理求出三角性三边的长度，然后判断△ABC为直角三角形，再运用三角形的面积公式解题．
20．【答案】（1）个体；28；80
（2）解：（人），
答：估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数有600人
（3）解：每周劳动时长不符合要求的占，说明学生平时劳动的时间非常少，建议学校加强劳动教育，多开展一些劳动课
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）1500名学生中每名学生每周的劳动时长是个体．
先计算D等级所占的百分比：
∴A等级所占的百分比是：
∴（人），（人）．
故答案为：个体；28；80．
【分析】（1）根据等级的人数除以所占百分比求出调查的总人数，然后运用总人数乘以等级圆心角度数所占比例求得的值，再用总人数减去其他组人数求出的值；
（2）运用1500乘以等级人数所占比例解题即可；
（3）根据题意提出合理建议即可.
21．【答案】解（1）如图1，过点作于点，过点作于点．
，，
，
，
，
．
，
，
，
，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，（米）
（2）方法1：
如图2，过点作交于点．
由（1）知，，
．
在中，，
，
．
在中，，
在中，，
在中，当时，，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到．
方法2：
如图2，过点作交于点．
与方法1同理得，得，，
．
在中，．
小明会被照射到．
（3）由（2）知，当时，；
由（1）知，，
当时，
在中，，
，
，
在中，，
在中，当时，，
；
．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，点作于点，得到，即可得到。然后根据，利用解直角三角形求出长即可；
（2）过点作交于点，根据，利用解直角三角形得到的长，然后比较即可；
（3）根据题意可得在到之间，利用解直角三角形得到两个极端情况下的长度即可解题．
22．【答案】（1）ⅰ），﹣1；ⅱ）（﹣2，+1）或（2，+1）；
（2）如图2中，设BH交y轴于K．∠ABK＝∠OBK＝α．
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠OCD＝2α，
∴∠ODP＝ （90°+2α）＝45°+α．
∵∠BKO＝90°﹣α，
∴∠HPD＝180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）＝45°．
（3）如图3﹣1中，当点Q在点B左侧时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠OAQ+∠AQC=60°，
又∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∠BAM+∠NQC＝；
如图3﹣2中，当点Q在B、C之间时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠AQC-∠QAB=60°，
又∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∠NQC﹣∠BAM＝．
如图3﹣3中，当点Q在点C右侧时，
∵∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-30°=60°，
∴∠BAQ-∠BQA=180°-60°=120°，
又 ∵AM、QN平分∠BAQ、∠AQC，
∴∠MAB=，∠NQC=，
∴∠BAM+∠NQC＝．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外角性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）ⅰ）∵ ，
又|﹣a|≥0， ≥0，
∴a＝，b＝﹣1，
故答案为，﹣1．
ⅱ）如图1中，有两种情形，点F坐标为：（﹣2，+1）或（2， +1）．
故答案为（﹣2， +1）或（2， +1）．
【分析】（1）ⅰ）根据绝对值和算术平方根的非负性解题即可；
ⅱ）画出图形，根据平移的性质解答即可；
（2）设BH交y轴于K，则∠ABK＝∠OBK＝α．然后根据三角形内角和定理得到求出∠PKD，∠PDK解题；
（3）分点Q在点B左侧、点Q在B、C之间和点Q在点C右侧三种情形画出图形，利用角平分线的定义和三角形的内角和解题即可.
23．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于不同的两点，∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∴，解得：，
又∵，
∴，
综上，且
（2）解：∵∴，
即，
∵该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，
此时y的值与m无关，
∴，
解得：，
当时，，此时抛物线过点；
当时，，此时抛物线过点（舍去）；
综上所述，此时点P的坐标为
（3）解：的面积有最大值．当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
根据题意得：的面积为，
∴当最大时，的面积有最大，最大值为，此时
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到且2m≠0根的判别式求出m的取值范围：
（2）函数关系式变形为，令，得到x的值，解题即可；
（3）令y=0，解方程得x值为，即可得到，然后根据，即可得到求最值即可．
24．【答案】（1）证明：连接，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，．
∴．
∵．
∴．
∵P是垂直平分线上的点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵垂直平分，P在上，
∴，即点A在上．
∴直线与相切
（2）由（1）得，则点D在上．
∵与同对，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴在中，．
∵由（1）得，即．
∴．
∴为直角三角形，且．
∴．
又∵，
∴
（3）设，由（1）知：当时，直线与相切，同理：当时，直线与相切，此时，点C是切点，点E、F、C重合．
所以若点C与E不重合，可分两类讨论：
①当点E在延长线上时，
由（2）知：．
∴，即．
∵，
∴．
∴．
则．
即．
②当点E在边上时，
∵点A，E，C，D在上，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
又∵，
∴．
∴．
∴．
即．
综上，或
【知识点】菱形的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，即可得到，，，，然后利用垂直平分线的性质即可得到，然后求得．再利用菱形的性质即可得到得结论．
（2）根据同弧所对圆周角相等可得．然后利用菱形的性质可以得到，即可得到．再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，最后利用平行线的性质解题．
（3）设，分两类讨论：①点E在延长线上，得到，，即可得到、；②点E在边上时，圆内接四边形的对角互补和同角的补角相等得然后利用菱形的性质得到．即可得到，进而得到、解题．
