2024-2025学年小升初数学奥数培优（通用版）
给排水问题
一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管(进水管不关闭)，若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空：如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空，那么出水管比进水管晚开多少分钟？
2． 一个水池装有两根水管。单开甲进水管，6小时可以把空水池注满；单开乙出水管，9小时可以把满池水放完。如果甲、乙两管同时打开，那么多少小时可以注满全池的 ？(水池内原来无水)
3．三峡水电站是世界上规模最大的水电站，有蓄水防洪的作用。某科研团队自制一个蓄水池模拟三峡水电站的蓄水功能。若往该蓄水池注水，则4小时可以注满这个蓄水池容积的，若该蓄水池注满后放水，则6个小时可以放完，那么该蓄水池一边注水一边放水，一共需要多少小时可以注满
4．某游泳池有甲、乙两个进水管，一个丙排水管，单独开甲进水管放满游泳池需6个小时，单独开乙进水管放满游泳池需8个小时，单独开丙排水管排完满池的水需要12个小时。游泳池每天需要更换一部分水，先打开丙排水管排了3个小时水后，再同时开甲、乙两个进水管，几个小时后游泳池水能满？
5．有一个像如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水，容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分，B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏，图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象，回答下面的问题：
（1）求图①中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水；
（3）求图①中P，Q表示的数。
6．一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙。若同时开放甲、丙两管，3小时可将满池水排空，若同时开放乙、丙两水管，6小时可将满池水排空，若单独开丙管，12小时可将空池水注满。若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？
7．两个同样的圆柱形A和B，深度都是1.2米，1号抽水机18分钟可将A池注满，2号抽水机24分钟可将A池的满池水注入B池。现在，A池中有池水，B池中没有水，同时打开1号、2号抽水机，当A池中水深0.6米时，同时关闭两个抽水机，此时B池水深多少米？
8．如下图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔。用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满。那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满
9．一个水池安装一个进水管和一个排水管，若单开进水管，2小时20分可以将空池灌满，现在水池中有的脏水，当打开排水管， 1小时20分可以排完，脏水排完后接着打开进水管，经过一段时间后，发现忘了关闭排水管，当关闭排水管时，池中的净水已占池，问从打开排水管到关闭排水管共经过了多少时间？
10．有一个水池，池底不断涌出泉水，且每小时涌出的数量相同。现要把水池里的水抽干，若用五台抽水机40小时可以抽完，若用十台抽水机-15小时可以抽完。现用十四台抽水机多少小时可以抽完？
11．油罐有A、B两条进油管，C、D、E三条出油管.要灌满空罐，单独开管要1.5小时，单独开管要2小时，要排完一罐油，单独开管要3小时，单独开D管要4小时，单独开管要4.5小时，现在罐内有罐油，按A、E、C、D、B的顺序打开油管，每次每管单独开1小时，循环进行，多少小时后将油罐灌满
12．有 10根大小相同的进水管给A、B两个水池注水，原计划用4根进水管给A水池注水其余6根给B水池注水。那么5小时可同时注满。因为发现A水池正以一定的速度漏水。所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满。
（1）如果用10根进水管都给漏水的A水池注水，需要多少分钟注满？
（2）如果增加4根同样的进水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？(结果四舍五入到个位)
13．有一个进水管和一个出水管的容器，从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的20分钟内既进水又出水，在第25分钟开始只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内水量（L）与时间（min）之间的关系如图所示，求在第33分钟时，容器内剩余水量为多少升？
14．学校食堂有一个底面直径是60厘米，高80厘米的圆柱形水箱，水箱中装有A、B两个进水管，先开A管，过一段时间后两管同开，下面折线图表示进水情况。请根据图回答以下问题。
（1）A管开放多少分钟后，B管开始与A管同时进水
（2）A管12分钟进水多少升
（3）A、B两管同时进水，每分钟进水多少升
15．某蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，循环各开水管，每次每管1小时。问多少时间后水开始溢出水池？
16．“一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？”这是一道很有趣的数学问题，对培养我们的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力有很大的帮助。
（1）假设每人每小时淘1份的水，那么10人3小时一共淘 份的水，5人8小时一共淘 份的水。
（2）解决这个问题的难点在于，船还在漏水的时候，每小时会不断的进水，船里水的总量在不断变化，所以解答的关键是想办法找出不变的量。想一想，你能找出哪些不变的量？
（3）请观察下面的图，你能推算出每小时进的水是多少份吗？
（4）根据上题的结论，你能推算出发现漏水时，船里已经进的水是多少份吗？试一试。
17．一水池有一些水管，它们每分钟的注水量都相等.现在打开若干根水管，经过预定时间的，再把打开的水管增加两倍，就能按预定时间注满水池；如果开始时就打开15根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池. 问：开始打开了几根水管？
18．有一个长方体水箱，在某个侧面高度相同的地方开有3个大小相同的出水孔，用一个进水管给空水箱灌水，如果三个出水孔全关闭，需要30分钟将水箱注满：如果打开一个出水孔，需要32分钟将水箱注满：如果打开2个出水孔，则需要35分钟将水箱注满．请问：当三个出水孔全开的时候，多少分钟可以将水箱注满？
19．有 10 根大小相同的进水管给 A、B 两个水池注水，原计划用4根进水管给 A 水池注水，其余6根给B水池注水，那么5小时可同时注满。因为发现 A 水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满。
（1）如果用 10 根进水管给漏水的 A 水池注水，需要多少分钟注满
（2）如果增加4根同样的进水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？(结果四舍五入到个位)
20．某蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管， 要灌满一池水， 单开甲管需要 3 小时， 单开丙管需要 5 小时： 要排光一池水， 单开乙管需要 4 小时， 单开丁管需要 6 小时． 现在池内有 池水， 如果按甲、乙、丙、丁的顺序， 循环开各水管， 每次每管 1 小时． 问多少时间后水开始溢出水池？
答案解析部分
1．解：设出水管比进水管晚开x分钟， 进水管的速度为y， 出水管的速度为z，则有
两式相除得：
解得：x=40
答：出水管比进水管晚开40分钟
设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，再根据进水量=出水量列出方程求解即可．
2．解：
=
=
=(小时)
答： 如果甲、乙两管同时打开，那么小时可以注满全池的 。
把工作总量看作单位“1”，甲、乙两个水管同时打开，每小时实际注入水池的水占全池的 再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”列式计算即可。
3．解：将该蓄水池的容量看作“1”
该蓄水池每小时注水的效率：
该蓄水池每小时放水的效率：1÷6=
1÷()=30(小时)
答：该蓄水池一边注水一边放水，一共需要30小时可以注满。
首先引入单位”1“为蓄水池的容量，然后根据题目信息找到”每小时注水效率=4个小时注水的容积÷所用时间4“根据若该蓄水池注满后放水，则6个小时可以放完得到放水效率为，最后通过等量关系”所需注水时间=所需注水容积÷（注水速率-防水速率）“，根据分数除法代入数据计算即可。
4．解：根据题意，可得
甲的工作效率为：
乙的工作效率为：
丙的工作效率为：
=
=
=
=（小时）
答： 小时后游泳池水能满。
根据“单独开甲进水管放满游泳池需6个小时，单独开乙进水管放满游泳池需8个小时，单独开丙排水管排完满池的水需要12个小时”，分别求出甲、乙、丙的工作效率，再算出甲和乙合作的工作效率之和减去丙的工作效率，根据“先打开丙排水管排了3个小时水后”，算出丙水管排了3小时的水量，用丙3小时排的水总量除以效率差，即可求解
5．（1）解：(1)0.75升=750立方厘米
750 ×15÷25÷30
= 11250÷25÷30
= 15(厘米)。
答：图①中D表示的数是15
（2）解：(2)30×15 ×15
=450 ×15，
= 6750(立方厘米)
= 6.75升
6.75÷15 =0.45(升/秒)，
0.75-0.45=0.3(升/秒)。
答：从B洞中每秒钟流出0.3升水
（3）解：(3)25厘米=2.5分米，
15厘米=1.5分米，
24厘米= 2.4分米，
30厘米=3分米
P点表示的数是：(2.5 + 1.5) ×3× 2.4÷0.45=4×3×2.4÷0.45=64(秒)，
Q点表示的数是：(70-64)× 0.45 ÷[(2.5 + 1.5) ×3] + 24=6×0.45 ÷[4× 3] + 24= 6×0.45÷12 +24=0.225 + 24= 24.225(厘米)。
答：P是64，Q是24.225
（1）根据图间可知15秒可注满A部分，时间乘流速，求出A的容积，再除以它的长和宽，可求出它的高度．
（2）根据图①可知隔板的高度是15厘米，用图B部分高15厘米的容积，除以注满B部分高15厘米时用的时间，就是每秒中注入B部分时的流速，用0.75升减去注入B部分的流速．就是每秒中从洞中流出的速度．（3）容器15厘米高度以上的水的注入速度都是0.75减去洞的流速．据此可求出P和Q表示的数．
6．解：甲和丙每小时的量：，
乙和丙每小时的量：，
丙每小时的量：，
甲乙丙三人一共每小时的量：，
时间：(小时)
答： 若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需小时。
根据题意分析，将水池中的水量看作单位“1”，分别求出甲、乙、丙的速度，再计算出三管齐开时的排水速度，最后用水池中的水量除以排水速度即为排完水的时间.
7．解：根据题意可知，两个抽水机同时开起，A池中每分钟进水是，
A池中的水要达到0.6米时，需要的时间为：（分钟），
此时B池水深（米）。
答：此时B池水深0.9米。
两个抽水机的工作效率以及A池原始水量与目标水量之间的差值，来确定向B池注入水的时间，从而计算出B池的水深。
8．解：1小时=60分钟
1小时5分钟=65分钟
72-60=12(分钟)
72-65=7(分钟)
12-5×2
=2(分钟)
7×5=35(分钟)
65-35=30(分钟)
30+30÷（1-3×）
=30+52.5
=82.5(分钟)
答：需要用82.5分钟才能将水箱灌满。
在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管6560=5分钟的进水量；在打开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管72-60=12分钟的进水量，而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多72-65=7分钟：因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管12-5x2=2分钟的进水量因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量，那么在打开一个出水孔的时候，小孔排5x7=35分钟，也就是说，进水65-35=30分钟后，水面达到小孔高度，因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要30+30÷（1-3×）
9．解： 2小时20分=
1小时20分=
根据题意，可知
=
=
=
=2.8（小时），
=2小时48分；
1小时20分+2小时48分=4小时8分；
答：从打开排水管到关闭排水管共经过了4小时8分．
把满池水看作单位“1”，单开进水管每小时进水（池），单开出水管每小时出水（池）；水池中集有池水，需要时间：，然后加上排脏水的1小时20分，即为所求．
10．解：设每小时每台机器抽水1份，池底原有水×份，每小时涌出y份，根据题意可得两个方程：
方程①：×+40y= 200，
方程②：×+15y=150，
用方程①-方程②可得方程③：
40y-15y=200-150
25y=50
y=2
把y=2代入方程①：×+40y= 200
x+80=200
x=120
120（14-2）= 10小时。
答：现用十四台抽水机10小时可以抽完。
设每小时每台机器抽水1份，池底原有水×份，每小时涌出y份，根据“原水量+涌出水量=抽水量”，可得方程，求出池底原有水的份数，每小时涌出的份数，再计算出十四台抽水机多少小时可以抽完。
11．解：A 单开小时灌 （罐）；
开1小时， 罐内有油： （罐）， 还差 （罐），
开 E、C、D 管， 每管单独开1小时 ，还剩的油：
=
=（罐）
B 每小时灌 罐，再单独开B管1小时 ，油罐还剩的油： （罐）
油罐还差的油：1-=（罐），因为所以再开A 管，不到1小时可以灌满：
（1-）1.5
=
=（小时）
1+1+1+1+1+=5（小时）
答：小时后将油罐灌满 。
先弄清A、E、C、D、B 管的工作效率分别为，再依次计算每个油管打开后剩余油量，直到油罐灌满为止，再计算时间即可。
12．（1）解：设每根进水管每小时进水1份，则得：
4×5=20（份）
6×5=30（份）
30÷5=6（小时）
（6×5-20）÷6=（份）
20÷（10-）
=20÷
=2.4（小时）
2.4×60=144（分钟）
答：需要144分钟可以注满。
（2）解：增加4根水管后，设x根注A池，（14-x）根注B池，若同时注满需要时间最少
则（x-）：（14-x）=20：30
（x-）×3=（14-x）×2
5x=33
x=6.6
所以分两种情况讨论：
①当6根注A池，8根注B池时，注满A池需：
20÷（6-）
=20÷
=（小时）
≈277（分钟）
注满B池需：
30÷8=（小时）=225（分钟）
即把两个水池注满最少需要277分钟；
②当7根注A池，7根注B池时，注满A池需：
20÷（7-）
=20÷
=（小时）
≈225（分钟）
注满B池需：
30÷7=（小时）≈257（分钟）
即把两个水池注满最少需要257分钟
因为277>257，所以增加4根同样的进水管后，7根注A池，7根注B池时，把两个水池注满最少，需要257分。
答：要把两个水池注满，需要257分钟。
（1）根据题意，我们不妨设每根进水管每小时进水1份，则得A水池容量4×5=20（份），B水池容量6×5=30（份），所以5根水管注满B水池用时为30÷5=6（小时），进而得出A水池漏水速度为每小时（6×5-20）÷6=（份），再用A水池的总容量除以每小时增加的水，即可求出答案；
（2）首先设x根注A池，（14-x）根注B池，若同时注满需要时间最少，得到方程（x-）：（14-x）=20：30，解方程得出x的值不是整数，故分两种情况讨论：①6根注A池，8根注B池，②7根注A池，7根注B池，即可得出答案。
13．解：进水速率为：305=6（L\min）
出水速率为：
[30+6×(15-5)-40] 10
=[30+6×10-40] 10
=[30+60-40]10
=5010
=5（L\min）
在25分钟时，水池有：
40+ (25-15) × (6-5)
=40+ 10× 1
=40+10
=50（L）
25分钟至33分钟时只有出水。则此时还有水为：
50- (33-25) ×5
=50- 8 ×5
=50-40
=10（L）
答： 在第33分钟时，容器内剩余水量为10升。
由图可以看5分钟的容器水量求出进水速度：5分钟的容器水量进水时间（5分钟）=进水速率；看15分钟时容器水量，可以求出出水速度：（原来5分钟的容器水量+5分钟至15分钟进水量-15分钟容器剩下水量）=5分钟至15分钟出水量（10分钟出水量），10分钟出水量出水时间（10分钟）=出水速度；再计算25分钟时的容器水量：15分钟容器剩下水量+15分钟至25分钟的时间（10分钟）（进水速度-出水速度）=25分钟容器剩下水量； 25分钟至33分钟时只有出水，第33分钟时，容器内剩余水量=25分钟容器剩下水量-25分钟至33分钟的出水量（出水时间（8分钟）出水速度），据此解答即可。
14．（1）解：A管开放15分钟后，B管开始与A管同时进水。
（2）解：10÷5×12
=2×12
=24（厘米）
60÷2=30（厘米）
3.14×（30×30）×24
=3.14×900×24
=2826×24
=67824（立方厘米）
67824立方厘米=67.824升
答：A管12分钟进水67.824升。
（3）解：（60-30）÷（25-15）
=30÷10
=3（厘米）
3.14×（30×30）×3
=3.14×900×3
=2826×3
=8478（立方厘米）
8478立方厘米=8.478升
答：A、B两管同时进水，每分钟进水8.478升。
（1）A管开放15分钟后，进水量明显增多，说明此时B管开始与A管同时进水；
（2）A管12分钟进水的体积=π×半径×半径×进水的高度，其中，进水的高度=5分钟进水的高度÷5×12分钟；
（3）先分别求出两个水管的每分钟共进水的高度，A、B两管同时进水，每分钟进水的体积=π×半径×半径×两个水管的每分钟共进水的高度。
15． 解：循环1次可以灌：
循环开各自水管几次后，再开甲管1小时可以灌 ，需循环：==（次）
循环5次可以灌：
这时池内有水：
还需灌：
单开甲管还需要：
（小时）=45（分钟）
20小时+45分钟=20小时45分钟
答：20小时45分钟后水开始溢出水池。
如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各自水管，每次每管开1小时，循环1次用4小时，可以灌：池水．池内原有池水，循环开各自水管几次后，再开甲管1小时可以灌，需循环：=（次）。因为循环4次后还灌不满，所以取5次．循环5次总时间：5×4=20小时，可以灌：，这时池内有水：，还需灌池水，单开甲管还需要：（小时）=45（分钟），所以20小时45分钟后水开始溢出水池。
16．（1）30；40
（2）解：不变的量：船里原有水的总量、每小时进水量、1人1小时的淘米量。
（3）解：（5×8-10×3）÷（8-3）
=10÷5
=2（份）
答：每小时进的水是2份。
（4）解：10×3-2×3
=30-6
=24（份）
答：船里已经进的水是24份。
解：10×3=30（份）
5×8=40（份）
故答案为：（1）30；（2）40。
（1）假设每人每小时淘1份的水，那么10人3小时一共淘10×3=30份的水，5人8小时一共淘5×8=40份的水；
（2）解决这个问题的难点在于，船还在漏水的时候，每小时会不断的进水，船里水的总量在不断变化，所以解答的关键是想办法找出不变的量，不变的量：船里原有水的总量、每小时进水量、1人1小时的淘米量；
（3）每小时进水的份数=（5人8小时的进水量-10人3小时的进水量）÷（8-3）
（4）发现漏水时，船里已经进水的份数=10人3小时的进水量-2×3。
17．解：假设开始打开了 x 根水管，根据题意，得：
答：开始打开了6根水管．
因为开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池，所以说一根水
管的注入速率为；设开始打开 X 根，则在经过预定时间的之后又打开了 X 根水管，用的时间是预定时间，注满水池工程为1，则有，解方程，即可得解．
18．解：设注水1分钟1份，
若将水管全部堵住，32分钟可注水：
35分钟：
设：在x分钟后到达排水孔位置，以单个排水口1分钟的排水量为等量关系建立方程： .
，解得x= 20
单位排水量：
三孔全开时间为y
，解得：y=40
答：40分钟可以将水箱注满。
这个问题是一个典型的进排水问题。在解决这类问题时，需要首先理解题目的意思，设定合适的变量，然后根据题目的条件逐步求解，最后得出答案。根据题意，需首先理解水箱注满的过程，包括进水和出水两个方面。进水管的进水效率是一个已知量，需计算出三个出水孔同时打开时，水箱注满所需的时间。
19．（1）解：设每根进水管每小时进水1份，则得：
4×5=20（份）
6×5=30（份）
30÷5=6（小时）
（6×5-20）÷6=（份）
20÷（10-）
=20÷
=2.4（小时）
2.4×60=144（分钟）
答：需要144分钟可以注满。
（2）解：增加4根水管后，设x根注A池，（14-x）根注B池，若同时注满需要时间最少
则（x-）：（14-x）=20：30
（x-）×3=（14-x）×2
5x=33
x=6.6
所以分两种情况讨论：
①当6根注A池，8根注B池时，注满A池需：
20÷（6-）
=20÷
=（小时）
≈277（分钟）
注满B池需：
30÷8=（小时）=225（分钟）
即把两个水池注满最少需要277分钟；
②当7根注A池，7根注B池时，注满A池需：
20÷（7-）
=20÷
=（小时）
≈225（分钟）
注满B池需：
30÷7=（小时）≈257（分钟）
即把两个水池注满最少需要257分钟
因为277>257，所以增加4根同样的进水管后，7根注A池，7根注B池时，把两个水池注满最少，需要257分。
答：要把两个水池注满，需要257分钟。
（1）根据题意，我们不妨设每根进水管每小时进水1份，则得A水池容量4×5=20（份），B水池容量6×5=30（份），所以5根水管注满B水池用时为30÷5=6（小时），进而得出A水池漏水速度为每小时（6×5-20）÷6=（份），再用A水池的总容量除以每小时增加的水，即可求出答案；
（2）首先设x根注A池，（14-x）根注B池，若同时注满需要时间最少，得到方程（x-）：（14-x）=20：30，解方程得出x的值不是整数，故分两种情况讨论：①6根注A池，8根注B池，②7根注A池，7根注B池，即可得出答案。
20．解：甲注水效率：
乙排水效率：
丙注水效率：
丁排水效率：
循环一次的注水量：
循环5次的注水量：
5次循环后剩余的水量：
注满剩余的需要的时间：（小时）
总的时间： （小时）
答：需要20小时45分钟，水开始溢出水池。
题目告诉我们蓄水池的容积是单位1，甲、乙、丙、丁各开1小时看作1个周期，每个周期能注水：。计算多个周期的注水量：，因为，所以，需要6个周期才能注满，接下来需要算5个周期的注水量，用总的注水量减去已经注水的水量：，所以，剩下的的水需要注水多少时间：小时，所以总的时间就是： 小时，即20小时45分钟。所以，需要20小时45分钟水开始溢出水池。
