安徽省马鞍山市红星中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线 ⊥平面 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则下列结论可能正确的是( )
A. = (1,0,1)， = (1,0, 1) B. = (1,1,1)， = (1,1, 2)
C. = (2,1,1)， = ( 4, 2, 2) D. = (1,3,1)， = (2,0, 1)
2.已知公差不为零的等差数列{ }中， 3 + 5 + 7 = 12， 1， 3， 6成等比数列，则等差数列{ }的前8项
和 8为( )
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
3.过点 ( 2,4)作圆 ：( 2)2 + ( 1)2 = 25的切线 ，直线 ： 3 = 0与直线 平行，则直线 与 的
距离为( )
8 12
A. 4 B. 2 C. D.
5 5
4.在三棱锥 中， = = 2， = 2√ 2， ⊥平面 ，点 ， 分别 ， 的中点， = √ 6，
√ 34 | |
为线段 上的点，使得异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，则 为( ) 34 | |
1 1 1 3
A. B. C. D.
4 3 2 4
5.从点 (2, 5)射出的一束光线在 轴上反射后与圆 ： 2 + 2 + 2 4 = 0相切，则反射光线所在直线的
方程为( )
A. 11 + 2 + 32 = 0 B. 2 1 = 0
C. 2 = 0 D. 2 2 = 0
6.圆心在直线 4 = 0上，且经过两圆 2 + 2 4 3 = 0， 2 + 2 4 3 = 0的交点的圆的方程
为( )
A. 2 + 2 6 + 2 3 = 0 B. 2 + 2 +6 + 2 3 = 0
C. 2 + 2 6 2 3 = 0 D. 2 + 2 + 6 2 3 = 0
2 2
7.已知 1， 2是双曲线 1： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，椭圆 2与双曲线 1的焦点相同， 与 1 2
在第一象限的交点为 ，若 1的中点在双曲线 1的渐近线上，且 1 ⊥ 2，则椭圆的离心率是( )
1 √ 3 √ 5 √ 5
A. B. C. D.
2 2 3 5
8.已知数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1，
+1 = 2 + 1( ∈ )，在等差数列{ }中， 2 = 5，且公差
= 2.使得 1 1 + 2 2 + + > 60 成立的最小正整数 为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线 = 2 + 4( ∈ )必过定点(2,4)
B. 截距相等的直线都可以用方程 + = ( ∈ )表示
√ 3
C. 直线 = + 1的倾斜角为120°
3
1 3
D. 过点( 2,3)且垂直于直线 = + 的直线方程为2 + +1 = 0
2 2
2 2
10.已知曲线 ： 2 + = 1( ∈ )，则下列结论正确的是( ) +2
A. 若 < 0，则曲线 表示双曲线
B. 曲线 可能表示一个圆
C. 若曲线 是椭圆，则其长轴长为2√
2√ 3
D. 若 = 1，则曲线 中过焦点的最短弦长为
3
11.在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = = 1 = 2， 、 分别是 、 1 1的中点， 在
线段 1 1上，则下面说法中正确的有( )
A. //平面 1 1
√ 5
B. 直线 与平面 所成角的正弦值为
5
2√ 5
C. 若 是 1 1的中点，若 是 1 1的中点，则 到平面 的距离是 5
3√ 2
D. 直线 与直线 所成角最小时，线段 长为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ， ∈ ，向量 = (3,2,1)， = (1, , 1)， = ( , 4,2)，且 ⊥ ， // ，则| + | =______．
13.已知数列{ }的前 项和为 ，且点( , )总在直线 = 2 1上，则数列{ }的前 项和 = ______．
14.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，点 的坐标为(2,1)，动点 ， 在抛物线 上，且 ⊥ ，则 +
的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
已知平行六面体 1 1 1 1，底面是正方形， = = 2， 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 = 60°， 1 1 =
3 1， 1 = 2 ，设 = , = , 1 = ．
(1)试用 、 、 表示 ；
(2)求 的长度．
16.(本小题15分)
1
已知圆 的圆心在直线 = ，且过圆 上一点 (1,3)的切线方程为 = 3 ．
2
(1)求圆 的方程；
(2)设过点 的直线 与圆交于另一点 ，求 △ 的最大值及此时的直线 的方程．
17.(本小题15分)
如图，已知正四棱台 1 1 1 1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， 1 = √ 5，点 是棱 1 1
上的动点(包括端点)．
(1)证明，平面 1 1 ⊥平面 1 1；
√ 3
(2)若平面 1 1 与平面 的夹角的余弦值为 ，求点 到平面 1 1的距离． 2
18.(本小题17分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1( 1,0)、 2(1,0)，离心率 = ，直线 交椭圆 于 2
、 两点， 为坐标原点．
(1)求椭圆 的方程；
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(2)若 不过 点且不平行于坐标轴，记线段 的中点为 ，求证：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
(3)若 ⊥ ，求△ 面积的取值范围．
19.(本小题17分)
定义：若无穷数列{ }满足{ +1 }是公比为 的等比数列，则称数列{ }为“ ( )数列”.设数列{ }中
1 = 1， 3 = 7．
(1)若 2 = 4，且数列{ }是“ ( )数列”，求数列{ }的通项公式；
1
(2)设数列{ }的前 项和为 ，且 +1 = 2 + ，请判断数列{ }是否为“ ( )数列”，并说明理由； 2
4039 4040
(3)若数列{ }是“ (2)数列”，是否存在正整数 ， 使得 <
< ？若存在，请求出所有满足条
2019 2019
件的正整数 ， ；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 62
13.【答案】( 1)2 + 1
14.【答案】11
15.【答案】解：(1) = + 1 + 1 = + +
1
1 1 3 1
1 2 2
= + + 1 ( + ) = + + 3 3 3 1
2 2
= + + ；
3 3
(2) ∵ 1 = 2 ，∴ 是线段 1 的中点，
∴ 、 、 1三点共线，且 是线段 1的中点，
1 1∴ = 1 = ( + + )， 2 2
2 2 1
∴ = = ( + + ) ( + + )
3 3 2
1 1 1
= + + ，
6 6 2
∵ | | = 2，| | = 2，| | = 1， = 0， = 2 × 1 × 60° = 1， = 2 × 1 × 60° = 1，
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1
∴ | | = √ ( + + )2 = √
2 2
+ + + + +
6 6 2 36 36 4 6 6 18
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√ 1 1 1 1 1 √ 29= + + + + + 0 = ．
9 9 4 6 6 6
√ 29
即 的长度为 ．
6
16.【答案】解：(1)由题意，过 点的直径所在直线方程为 3 =
1
( 1)，
3
即 + 3 10 = 0．
+ 3 10 = 0 = 4
联立{ 1 ，解得{ = 2，∴圆心坐标为(4,2)． =
2
半径 2 = (4 1)2 + (2 3)2 = 10，
∴圆 的方程为( 4)2 + ( 2)2 = 10；
(2) (1,3)，要使 △ 最大，则 点满足 所在直线与 所在直线垂直，
1
此时 △ 的最大值为 = × √ 10 × √ 10 × 90° = 5； 2
2 3 1
∵ = = ，∴ 所在直线方程为 2 = 3( 4)，即 = 3 10， 4 1 3
= 3 10 = 3 = 5
联立{ ，得{ 或{ ，
( 4)2 + ( 2)2 = 10 = 1 = 5
即 的坐标为(3, 1)或(5,5)，
+1 3
当 (3, 1)时， 的方程为 = ，即2 + 5 = 0；
3+1 1 3
当 (5,5)
3 1
时， 的方程为 = ，即 2 + 5 = 0．
5 3 5 1
综上， 所在直线方程为2 + 5 = 0或 2 + 5 = 0．
17.【答案】解：(1)证明：以下底面正方形的中心 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由于 1 = √ 5，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，可求出四棱台的高为√ 3，
则 1(1, 1,√ 3), 1(1,1,√ 3), (2, 2,0), (2,2,0), ( 2,2,0)，
于是 1 1 = (0,2,0), 1 = ( 1, 1,√ 3), 1 = ( 3,3, √ 3)， 1 = ( 3,3, √ 3)，
设平面 1 1 的法向量为 = ( 0 , 0 , 0)，
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1 = 3 + 3 3 则{ 0 0
√ 0，
1 1 = 2 0 = 0
取 0 = 1，可得 = (1,0, √ 3)，
平面 1 1的法向量为 = ( 1, 1 , 1)，
1 = 则{ 1
1 +√ 3 1 = 0，
1 1 = 2 1 = 0
√ 31 = 1，可得 = (1,0, )， 3
由于 = 0，
则平面 1 1 的法向量与平面 1 1法向量垂直，
则平面 1 1 ⊥平面 1 1；
(2)设 ( , 1, √ 3), ∈ [ 1,1]，且 ( 2, 2,0)， ( 2,2,0)，
则 = (0,4,0), = ( + 2, 1,√ 3)，
设平面 的法向量为 = ( 2 , 2 , 2)，
= 4 = 0
则{ 2 ，
= ( + 2) 2 2 + √ 3 2 = 0
3
取 2 = √ 3，可得 = ( , 0, √ 3)， +2
设平面 1 1 与平面 的夹角为 ，
3 +3 √ 3
则 = | | = × =| | | | 2 2 ，
√ 2 3( +2) +9
化简即( + 3)2 = ( + 2)2 + 3，解出 = 1，
因此 1
√ 3
= ( 2,0,0), = (1,0, )，
3
则点 到平面 1 1的距离为 = | 1 | |cos 1 , | = √ 3．
18.【答案】解：(1)因为椭圆 的左右焦点分别为 1( 1,0)、 2(1,0)，
√ 2
所以 = 1，又 = = , 2 = 2 + 2，所以 2 = 2， 2 = 2 = 1，
2
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1．
2
(2)证明：设直线 ： = + ，( ≠ 0)， ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
2
+ 2联立{ = 12 ，消去 ，得(1 + 2 2) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
= +
所以 = 16 2 2 8(1 + 2 2)( 2 1) = 8(1 + 2 2 2) > 0 1 + 2 2 > 2，
4 2 2 2
由韦达定理有 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
1+2 1+2
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2
4 2
所以 1 + 2 = ( 1 + ) + ( 2 + ) = ( 1 + 2)+ 2 = 2 +2 = 2，
1+2 1+2
+ + 2
所以线段 的中点 的坐标为( 1 2 , 1 2)，即( 2 , 2)， 2 2 1+2 1+2
0 2 1
所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为 = = 1+2 ≡ ， 2 0 22
1+2
所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值．
(3)由(2)可知，(1+ 2 2) 2 + 4 +2 2 2 = 0，
2 4 2
2 2
其中 = 1 + 2 , 1+ 2 = 2 ,
2 2
1 2 = 2 , = 8(1+ 2 ) > 0，
1+2 1+2
又直线 ： = + ，( ≠ 0)上有点 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
所以 1 2 = ( 1 + )( 2 + ) =
2 1 2 + ( 1 +
2
2)+
2 2
2
2 2 4
2
= + 2
2
2 2 = 2 ，
1+2 1+2 1+2
2
2 2 2 2 2
若 ⊥ ，则 = 1 2 + 1 2 = 0，即 1 2 + 1 2 = 2 + 2 = 0，
1+2 1+2
2 2
2( +1) 8(4 +1)
所以3 2 = 2( 2 +1), 2 = ，此时 = 8(1+ 2 2 2) = > 0，
3 3
| |
则原点 到 的距离为| | = = ，
√ 2 1+
又| | = √ ( )2 2 21 2 + ( 1 2) = √ 1 + | 1 2|
= √ 1+ 2
√ +√ √
| | = √ 1 + 2 ，
2 2 | |
1 1 √ | | | |√
所以 △ = | | | | = √ 1 + 2 = 2 2 | | √ 2 2| | 1+
2 2
√ 2( +1) √ 8(4 +1) × √ 2 23 3 2 ( +1)(4 +1)
= 2 = 2
2(2 +1) 3(2 +1)
2 2
2√ ( +1)(4 +1) 2
= 2 2 = ，
(4 +1)+2( +1) 2 24 +1 +1
√ 2 +2√ 2
+1 4 +1
2
4 +1 3
不妨设 = √ 2 = √ 4 2 , ≠ 0，
+1 +1
因为 2
3 3 3
> 0，所以 2 +1 > 1, 2 < 3,4 2 > 1,1 < = √ 4 2 < √ 4 = 2，
+1 +1 +1
2
所以 △ = 2 = ( ), (1 < < 2)，
+
由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知， ( )在(1,√ 2)上单调递增，在(√ 2, 2)上单调递减，
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√ 2 2 2 2
所以 ( ) ≤ [ ( )] = (√ 2) = ， ( ) > { (1), (2)} = { , } = ， 2 3 3 3
2
所以△ 面积的取值范围( , √ 2]．
3
19.【答案】解：(1)因为 2 = 4，且数列{ }是“ ( )数列”，
7 4
所以 = 3 2 = = 1，所以 +1 = 1， ≥ 2，
2 1 4 1 1
即 +1 = 1， ≥ 2，
所以数列{ }是等差数列，其公差为 2 1 = 3，
所以数列{ }通项公式为 = 1 + ( 1) × 3 = 3 2．
1 3
(2)由 +1 = 2 + ，得 2 = + ， 3 = 4 + 3 = 7，解得 = 7， 2 2
1 1
由 +1 = 2 + ，得 2 +2 = 2 +1 ( + 1)+ 1， 2
1 1
两式作差，得： +2 +1 = 2 +1 ，∴
2 +2
= 3 +1 ， ∈ ， 2
5 1 1
∵ 2 = ，∴ 2 = 3 1 ，∴ +1 = 3 对 ∈
恒成立，
2 2 2
1 1
则 +1 = 3( )， 4 4
1
1 3 1 +1 1
∵ 1 = ≠ 0，∴ ≠ 0，∴
4
1 = 3，∴ { }是等比数列， 4 4 4 44
1 1 1 1 1
∴ = (1 ) × 3
1 = × 3 ，∴ = × 3
+ ，
4 4 4 4 4
1
( ×3 +2
1 1
+ ) ( ×3 +1
1
+ )
∴ +2 +1 = 4 4 4 41 +1 1 1 1 = 3， +1 ( ×3 + ) ( ×3 + )
4 4 4 4
∴ { +1 }是公比为3的等比数列，故数列{ }是“ ( )数列“．
(3)由数列{ }是“ (2)”数列，∴ +1 = ( 2
+1
1)× 2 ，
3 2 7 2
∵ = 2，∴ = 2，∴ 2 = 3， 2 1 2 1
∴ 2 1 = 2，∴ +1
= 2 ，
∴当 ≥ 2时， 1 2 = ( 1)+ ( 1 2)+ + ( 2 1)+ 1，= 2 + 2 + + 2 +1 = 2
1，
4039 4040 4039 2 1 4040
假设存在正整数 ， ，使得 < < ，则 < < ，
2019 2019 2019 2
1 2019
2 1 2 (2 1)+2
1 2
1 4040
由 = = 2 + < ， 2 1 2 1 2 1 2019
4040
∴ 2 < < 3，∴ = 1，
2019
2 1 1 4039 1 4040
∴ = 2 + ，即 < 2 + < ， 2 1 2 1 2019 2 1 2019
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2021
∴ < 2 < 2020，∴ = 10， = 11．
2
∴存在满足条件的正整数 ， ，其中 = 11， = 10．
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