嘉峪关市第五中学2024-2025学年第一学期期中考试
九年级数学试题
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1. “一窗一姿容，一窗一景致”，古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，下列园林窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线的顶点坐标是( )
A. (3，5) B. (-3，-5) C. (-3，5) D. (3，-5)
5. 用配方法解方程时，配方结果正确是（ ）
A. B. C. D.
6. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 当时，
C. 抛物线与x轴有两个交点 D. 当时，y有最小值为10
7. 如图，在长为80cm，宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为，则可列的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，，，，将绕O点旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
9. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
12. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________．
13. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为__________________．
14. 若A(-，)、B(-1，)、C(， )为二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是________．
15. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则，两点间的距离为________．
16. 如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向作无滑动的连续反转，点P依次落在点、、…的位置，则点的坐标为______．
三、解答题（共38分）
17. 解下列关于x的一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
18. 嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下．
解：，①
，，，②
，③
方程有两个相等的实数根④
（1）嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误．
（2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
19. 如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）作出绕点顺时针方向旋转后得到的；
（2）作出关于原点成中心对称的．
20. 已知二次函数．
（1）求图象的开口方向、对称轴、图象与x轴的交点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）直接写出抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后解析式．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求k取值范围；
（2）方程的一个根可以为1吗？如果可以，求k的值；如果不可以，说明理由．
22. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？
四、解答题（共34分）
23. 如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
24. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以20元1个的购进一批“弗里热”纪念品，以30元/个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，每个价格每涨1元，就少卖10个．当售价定为多少时，商场获得最大利润？最大利润为多少？
25. 在正方形中，E是边上一点．
（1）将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______．
（2）如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明；
（3）在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，数量关系．
26. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为，点D的坐标为，点B的坐标为．
（1）求二次函数的解析式．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x的的取值范围．
（3）P是线段上一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段长度的最大值．
