甘肃省兰州树人中学2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷
注意事项：
1、全卷共120分，考试时间共120分钟．
2、考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 的算术平方根等于（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
2. 在中，a、b、c分别是的对边，在下列条件中，不能确定的形状是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在下列实数0，，3.141592，，，，0.1010010001，，，中无理数有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
4. 一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米
5. 下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（ ）个
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数y=中，自变量x的取值范围为（ ）
A. B.
C. 且 D.
9. 如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④
10. 已知，直角坐标系中，点A在y轴上，轴于点C，点A关于直线的对称点D恰好在上，点E与点O关于直线对称，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，平分交于点，，，点是线段上的一动点，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 10 D. 12
12. 如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13. 比较大小：_______．
14. 化简的结果是________．
15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
16. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________．
三、解答题（本大题共12小题，共72分
17. 已知，求代数式的值．
18 计算：．
19. 化简计算：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的；
（3）在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是 ．
21. 如图，将矩形沿向上折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长．
22. 已知的立方根是3，的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求的平方根．
23. 小丽准备在双十一活动期间网购一些笔记本，甲、乙两商店都在进行打折促销．已知两商店的标价都是每本20元，但甲商店的优惠条件是：若购买不超过5本，则按标价卖．购买5本以上，从第6本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：若关注店铺就可以成为会员并赠送5元优惠券（凡购买物品超过10元均可使用），且会员从第一本开始按标价的八五折卖．设购买笔记本x本，在甲商店购买所需要费用为元，在乙商店购买所需要费用为元．
（1）分别写出、与之间函数关系式；
（2）当购买20本的时候，去哪家商店比较划算？为什么？
24. 如图，在中，，，过点C作，连接．
（1）基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图痕迹）；
（2）求证：．
解：∵
∴___①___（___②___）
∵
∴
在和中
∴
∴（___④___）
25. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，（是正整数）的面积分别记为．认真分析下列各式，解答下列问题．
（是的面积）；
（是的面积）；
（是的面积）；
．．．
（1）请用含有（为正整数）的等式____________；
（2）推算出___________；
（3）求出的值．
26. 【观察发现】
∵．
∴；
∵，
∴．
【初步探索】
（1）化简：________；
（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得________，________；
（3）若，且，均为正整数，求的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）：
型号 长 宽 高
型
型
型
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
27. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．问题1：如图1，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接．
（1）如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？
（2）①问题1：如图1，若，则是“和谐三角形”吗？为什么？
②问题2：如图2，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数．
28. 在平面直角坐标系中，已知点、分别为轴和轴上一点，且满足，点是坐标系内一点，连接，过点作于点，延长至点，使得，连接、．
（1）点的坐标为________；点的坐标为________．
（2）如图1，若点在第二象限，试判断与关系，并说明理由．
（3）如图2，若点的坐标为，与交于点，连接．求点的坐标．
附加题：（共2题，每题6分共12分）
29. 阅读材料：
如图1，已知的面积为60，，边上的中线，相交于点，求四边形的面积． 小明解答方法如下： 连接，设，，则，． 由题意，得，． 可列方程组为 ……
解答问题：
（1）根据小明的方法，四边形的面积为________；
（2）如图2，已知的面积为60，，，，相交于点，求四边形的面积．
30. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
