7.2平行线（判定与性质）
一、单选题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．同位角一定相等
C．若，则 D．平行于同一条直线的两直线平行
2．如图，直线a，b被直线c所截，，，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在不添加任何字母的条件下，写出一个能判定的条件 .
7．如图，平分，，，则 ．
8．一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ．
9．生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面，则 °．
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ．
三、解答题
11．如图，已知于点于点．试说明：．
解：（已知），
（__________）．
同理，．
（__________），
即．
（已知）
_______（___________）．
∴__________（____________）．
12．请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，平分，平分，且
求证：．
证明：∵平分，
∴．
∵平分（已知），
∴______（角的平分线的定义）．
∴（______）．
即．
∵（已知），
∴______（______）．
∴（______）．
13.如图，点在同一条直线上，点在同一条直线上，连接，过点作，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
14.已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
15.如图，在中，，F、G是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
16.如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
17.如图1，直线，点分别在和上，，平分．
(1)试说明：；
(2)如图2，若于点，请问与有何数量关系，并说明理由．
18.如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
(1)求的度数．
(2)当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
19.将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．
(1)如图②，当为的平分线时，____________；
(2)当时，求的度数；
(3)在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），直接写出的值．
20.在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点作．
∵，
∴________（ ）
∴____（ ）
又∵
∴
∴________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．
答案
一、单选题
1．D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角、同位角、等式的性质和平行线的判定判断即可．
【详解】解：A、若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，是假命题；
B、两直线平行，同位角一定相等，是假命题；
C、若，则或，是假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题；
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角．根据平行线的性质可得，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B
3．C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
5．C
【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
6．（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定方法解答即可.
【详解】解：添加，则根据同位角相等，两直线平行可得；
故答案为：（答案不唯一）.
7．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线．熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
由平行线的性质，角平分线的定义可得，，，计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
8．内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定；根据题意，，得出，即可求解．
【详解】解：∵根据题意，，
∴，依据为：内错角相等，两直线平行
故答案为：内错角相等，两直线平行．
9．270
【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：270．
10．或或或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可，掌握平行线的性质是解答此题的关键．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，则：，
∴；
当时，则，
∴．
故答案为：或或或．
三、解答题
11．解：（已知），
（垂直的定义）．
同理，．
（等量代换），
即．
（已知）
（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
12．证明：∵平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
∵平分（已知），
∴（角的平分线的定义）．
∴（等式性质）．
即．
∵（已知），
∴ （等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，，等式性质，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
13.（1）证明：，
，
，
．
；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
．
14.（1）证明：∵，
∴．
∵．
∴．
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
15.（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴∠2=700，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
16.（1）解：∵DE∥AC，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17.（1）解：，
，
，
，
∵BD平分，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：
，，
，
，
，
，
，
．
18.（1），
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2），
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
；
（3）不变，．
，
，，
∵BD平分，
，
．
19.（1）解：如图2，∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
（2）当秒时，的旋转角度为，
即，如图，
∴
；
（3）①当时，如图，
此时与重合，旋转角度为，
∴；
②当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
20.（1）解：过点作．
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴（两直线平行内错角相等）
又∵
∴
∴．
故答案为：；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；．
（2）发生变化，应是．
证明：如图2，
过点作．
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴
又∵
∴
∴．
即
（3）如图3，过点作，
∵，，
∴
∴
又∵
∴
∴．
即
如图4，过点作，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴．
即
