带电粒子在交变场和立体空间中的运动
目标要求 1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。2.会分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。
一、带电粒子在交变场中的运动
此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。
例1 (2024·江苏省苏锡常镇一模)xOy平面内存在着变化的电场和变化的磁场，变化规律如图所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里，电场强度的正方向为+y方向。t=0时刻，一电荷量为+q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速度v0沿+x方向入射(不计粒子重力)。B-t图中B0=，E-t图中E0=。求：
(1)时刻粒子的坐标；
(2)0~4t0时间段内粒子速度沿-x方向的时刻；
(3)0~7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
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二、带电粒子在立体空间中的运动
带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表：
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
例2 (2024·福建三明市一模)如图所示，在O-xyz三维坐标系中，y>0空间一侧有沿y轴负方向的匀强电场，y<0空间一侧有沿y轴负方向的匀强磁场。一带正电粒子以速度v0从x轴上的A点(-d，0，0)处在xOy平面内沿与x轴正方向成37°角射入电场中，已知粒子质量为m，电荷量为q，粒子恰好经过O点，磁感应强度大小为B=，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，粒子的重力忽略不计，求：
(1)匀强电场的电场强度E；
(2)粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻。
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例3 (2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
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答案精析
例1 (1)(，) (2)t0和t0
(3)(++)v0t0
解析 (1)粒子在磁场中运动的周期T==t0
洛伦兹力提供向心力，有
B0qv0=m，解得r1=
所以时刻粒子运动了个周期，坐标为(r1，r1)，
即(，)
(2)0~4t0时间内的运动轨迹如图，粒子在电场中的加速度
a==
故粒子在t0~2t0时间内竖直方向的速度vy=at0=v0，
故在2t0时速度方向与x轴正方向的夹角为45°，
由图知及以上分析知0~4t0时间段内粒子速度沿-x方向的时刻为t1= 和t2=2t0+T，
即t1=t0和 t2=t0。
(3)t0~2t0时间内粒子沿y轴方向位移y0=v0t0
6t0~7t0时间内粒子沿y轴方向最大位移
y磁=(1+cos 45°)r2
分解可知粒子在6t0时刻的速度
v'=v0，
故r2=，解得r2=v0t0
即ym=3y0+y磁
得ym=(++)v0t0。
例2 (1) (2)(n=1，2，3…)
解析 (1)粒子在电场中做类斜抛运动，则有
d=v0cos 37°·t1
沿电场方向有
-v0sin 37°=v0sin 37°-at1
又qE=ma
解得E=，t1=。
(2)粒子进入磁场后，在垂直y轴的平面做匀速圆周运动，在y轴上沿y轴负方向做匀速直线运动，则有
qBv0cos 37°=m
又T==
则粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻
t2=t1+(n-1)T(n=1，2，3…)
解得t2=(n=1，2，3…)
例3 (1) (2) (3)
解析 (1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，
由牛顿第二定律知Bevy=m
可得R=
T==
若所有电子均能经过O进入电场，
则有t=nT(n=1，2，3，…)
联立得B=
当n=1时，B有最小值，可得
Bmin=
(2)将电子的速度分解，有tan θ=
θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大，
此时Rmax==r，
联立可得vym=，tan θ=
(3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，
根据匀变速直线运动规律有
ym=
由牛顿第二定律知a=
联立得ym=(共52张PPT)
电场与磁场
专题三
计算题培优3 带电粒子在交变场和立体空间中的运动
1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。
2.会分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。
目标要求
内容索引
二、带电粒子在立体空间中的运动
一、带电粒子在交变场中的运动
计算题培优练6 带电粒子在交变场和立体空间中的运动
一、带电粒子在交变场中的运动
此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。
(2024·江苏省苏锡常镇一模)xOy平面内存在着变化的电场和变化的磁场，变化规律如图所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里，电场强度的正方向为+y方向。t=0时刻，一电荷量为+q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速度v0沿+x方向入射(不计粒子重力)。B-t图中B0=，E-t图中E0=。求：
例1
(1)时刻粒子的坐标；
答案 (，)
粒子在磁场中运动的周期T==t0
洛伦兹力提供向心力，有
B0qv0=m，解得r1=
所以个周期，
坐标为(r1，r1)，即()
(2)0~4t0时间段内粒子速度沿-x方向的时刻；
答案 t0和t0
0~4t0时间内的运动轨迹如图，粒子在电场中的
加速度a==
故粒子在t0~2t0时间内竖直方向的速度vy=at0=v0，
故在2t0时速度方向与x轴正方向的夹角为45°，
由图知及以上分析知0~4t0时间段内粒子速度沿
-x方向的时刻为t1= 和t2=2t0+T，即t1=t0和 t2=t0。
(3)0~7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
答案 (++)v0t0
t0~2t0时间内粒子沿y轴方向位移y0=v0t0
6t0~7t0时间内粒子沿y轴方向最大位移
y磁=(1+cos 45°)r2
分解可知粒子在6t0时刻的速度
v'=v0，
故r2=，解得r2=v0t0
即ym=3y0+y磁
得ym=(++)v0t0。
二、带电粒子在立体空间中的运动
带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表：
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴所在面内的圆周运动
运动类型 解题策略
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
(2024·福建三明市一模)如图所示，在O-xyz三维坐标系中，y>0空间一侧有沿y轴负方向的匀强电场，y<0空间一侧有沿y轴负方向的匀强磁场。一带正电粒子以速度v0从x轴上的A点(-d，0，0)处在xOy平面内沿与x轴正方向成37°角射入电场中，
例2
已知粒子质量为m，电荷量为q，粒子恰好经过O点，磁感应强度大小为B=，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，粒子的重力忽略不计，求：
(1)匀强电场的电场强度E；
答案
粒子在电场中做类斜抛运动，则有
d=v0cos 37°·t1
沿电场方向有-v0sin 37°=v0sin 37°-at1
又qE=ma
解得E=，t1=。
(2)粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻。
答案 (n=1，2，3…)
粒子进入磁场后，在垂直y轴的平面做匀速圆周运动，在y轴上沿y轴负方向做匀速直线运动，则有
qBv0cos 37°=m
又T==
则粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻
t2=t1+(n-1)T(n=1，2，3…)
解得t2=(n=1，2，3…)
(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴
例3
正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
答案
电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，
由牛顿第二定律知Bevy=m
可得R=
T==
若所有电子均能经过O进入电场，则有
t=nT(n=1，2，3，…)
联立得B=
当n=1时，B有最小值，可得
Bmin=
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
答案
将电子的速度分解，有tan θ=
θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大，
此时Rmax==r，
联立可得vym=，tan θ=
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
答案
当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，
根据匀变速直线运动规律有
ym=
由牛顿第二定律知a=
联立得ym=
计算题培优练6
带电粒子在交变场和立体空间中的运动
对一对
答案
1
2
1.
(1) (2)m (3)
3
2.
(1)正电 (2) π (3)
答案
1
2
3.
(1)d (2)2v0 (3)[0，(-π)d，d] (4)d
3
1.(2024·山西朔州市二模)如图所示，一足够长的长方体O1a1b1c1-O3a3b3c3被正方形O2a2b2c2分成上下两个长方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，以O1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O1-xyz，其中O1a1=O1c1=O2O3=4L。整个长方体空间存在沿z轴负方向的匀强电场(图中未画出)，另外空间Ⅱ内同时还存在沿z轴正方向的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、电荷量为q的带正电
1
2
答案
的粒子从O3c3边的中点P以初速度v0平行于y轴正方向射入长方体区域，粒子恰好经过正方形O2a2b2c2的中心点Q，且粒子在空间Ⅱ内运动的过程中，恰好未从长方体侧面飞出长方体区域，不计粒子重力，求：
3
(1)匀强电场的电场强度大小；
1
2
答案
答案
3
带正电粒子在空间Ⅰ中做类平抛运动，运动轨迹如图
则2L=v0t1
4L=a
由牛顿第二定律
qE=ma
联立可得，匀强电场的电场强度大小为
E=
1
2
答案
3
(2)粒子经过Q点时的动能；
1
2
答案
答案 m
3
在空间Ⅰ中，由动能定理
qE×4L=Ek-m
解得粒子经过Q点时的动能为
Ek=m
1
2
答案
3
(3)匀强磁场的磁感应强度大小。
1
2
答案
答案
3
粒子进入空间Ⅱ中速度为
v==v0
将速度v分解为沿y轴速度v0和沿z轴速度4v0，由于z轴速度
方向与磁场平行，不受洛伦兹力，在xO1y平面内的
y轴方向有洛伦兹力提供向心力
qv0B=m
由几何关系可知r=L
可得匀强磁场的磁感应强度大小为
B=。
1
2
答案
3
1
2
答案
2.(2024·广东卷·15)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t=t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t=2t0
时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
3
1
2
答案
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
答案 正电
3
根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合
左手定则可知，粒子带正电；
粒子在磁场中运动的周期为T=2t0 ①
根据T= ②
则粒子所带的电荷量q= ③
1
2
答案
3
1
2
答案
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v；
答案 π
3
若金属板的板间距离为D，则板长为=vt0 ④
出金属板间电场时竖直速度为零，
则竖直方向y=2××(0.5t0)2 ⑤
在磁场中时qvB=m ⑥
其中y=2r= ⑦
联立解得v=π ⑧
D= ⑨
1
2
答案
3
1
2
答案
(3)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
答案
3
带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，
由③④⑦联立可得金属板的板间距离D=3r
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，
在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上金属板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有最初t0在左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，
则W=mv2+q·=+=。
1
2
答案
3
1
2
答案
3.(2024·甘肃平凉市模拟)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴
负方向的匀强电场。现从空间中坐标为(-d，0，0)的M点发射一质量为m，电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧。
其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足=，不计粒子的
重力。求：
3
1
2
答案
(1)粒子在yOz平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R1；
答案 d
根据几何关系有R1sin 60°=d
解得R1=d
3
1
2
答案
(2)粒子第2次经过yOz平面时的速度大小v；
答案 2v0
3
1
2
答案
粒子垂直y轴进入yOz平面右侧后，在xOz平面做匀速圆周运动，在yOx平面做匀加速直线运动，根据运动的合成有
v=，v1=a，qE=ma
根据洛伦兹力提供向心力有
qv0B=m，T==
联立解得v=2v0
3
1
2
答案
(3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标；
答案 [0，(-π)d，d]
3
1
2
答案
在yOz平面右侧，磁感应强度大小不变，在磁场中做圆周运动的轨道半径大小仍然为R1，粒子第2次经过yOz平面时的坐标[0，-Δy，2R1]
Δy=a()2
由于=，解得Δy=πd
粒子第2次经过yOz平面时的坐标为
[0，(-π)d，d]
3
1
2
答案
(4)粒子第2次和第3次经过yOz平面的位置间的距离。
答案 d
3
1
2
答案
粒子再次进入yOz平面左侧，其速度大小变为2v0，与y轴负方向夹角
30°，开始在z=d的平面内做匀速圆周运动，有
q·2v0B=m，R2=2R1
根据几何关系，粒子第2次、第3次经过
yOz平面的交点间的距离为l=2R2cos 60°=2R1
解得l=d。
3 计算题培优练6 带电粒子在交变场和立体空间中的运动
1.(12分)(2024·山西朔州市二模)如图所示，一足够长的长方体O1a1b1c1-O3a3b3c3被正方形O2a2b2c2分成上下两个长方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，以O1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O1-xyz，其中O1a1=O1c1=O2O3=4L。整个长方体空间存在沿z轴负方向的匀强电场(图中未画出)，另外空间Ⅱ内同时还存在沿z轴正方向的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从O3c3边的中点P以初速度v0平行于y轴正方向射入长方体区域，粒子恰好经过正方形O2a2b2c2的中心点Q，且粒子在空间Ⅱ内运动的过程中，恰好未从长方体侧面飞出长方体区域，不计粒子重力，求：
(1)(4分)匀强电场的电场强度大小；
(2)(3分)粒子经过Q点时的动能；
(3)(5分)匀强磁场的磁感应强度大小。
2.(12分)(2024·广东卷·15)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t=t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
(1)(3分)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
(2)(5分)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v；
(3)(4分)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
3.(16分)(2024·甘肃平凉市模拟)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为(-d，0，0)的M点发射一质量为m，电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧。其中电场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足=，不计粒子的重力。求：
(1)(2分)粒子在yOz平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R1；
(2)(4分)粒子第2次经过yOz平面时的速度大小v；
(3)(5分)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标；
(4)(5分)粒子第2次和第3次经过yOz平面的位置间的距离。
答案精析
1.(1) (2)m (3)
解析 (1) 带正电粒子在空间 Ⅰ 中做类平抛运动，运动轨迹如图
则2L=v0t1
4L=a
由牛顿第二定律
qE=ma
联立可得，匀强电场的电场强度大小为
E=
(2)在空间 Ⅰ 中，由动能定理
qE×4L=Ek-m
解得粒子经过Q点时的动能为
Ek=m
(3)粒子进入空间 Ⅱ 中速度为
v==v0
将速度v分解为沿y轴速度v0和沿z轴速度4v0，由于z轴速度方向与磁场平行，不受洛伦兹力，在xO1y平面内的
y轴方向有洛伦兹力提供向心力
qv0B=m
由几何关系可知r=L
可得匀强磁场的磁感应强度大小为
B=。
2.(1)正电
(2) π
(3)
解析 (1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；
粒子在磁场中运动的周期为T=2t0 ①
根据T= ②
则粒子所带的电荷量q= ③
(2)若金属板的板间距离为D，则板长为，粒子在板间运动时=vt0 ④
出金属板间电场时竖直速度为零，
则竖直方向y=2××(0.5t0)2 ⑤
在磁场中时qvB=m ⑥
其中y=2r= ⑦
联立解得v=π ⑧
D= ⑨
(3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由③④⑦联立可得金属板的板间距离D=3r
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上金属板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有最初t0在左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，
则W=mv2+q·=+
=。
3.(1)d (2)2v0
(3)[0，(-π)d，d] (4)d
解析 (1)根据几何关系有R1sin 60°=d
解得R1=d
(2)粒子垂直y轴进入yOz平面右侧后，在xOz平面做匀速圆周运动，在yOx平面做匀加速直线运动，根据运动的合成有v=，v1=a，qE=ma
根据洛伦兹力提供向心力有
qv0B=m，T==
联立解得v=2v0
(3)在yOz平面右侧，磁感应强度大小不变，在磁场中做圆周运动的轨道半径大小仍然为R1，粒子第2次经过yOz平面时的坐标[0，-Δy，2R1]
Δy=a()2
由于=，解得Δy=πd
粒子第2次经过yOz平面时的坐标为
[0，(-π)d，d]
(4)粒子再次进入yOz平面左侧，其速度大小变为2v0，与y轴负方向夹角30°，开始在z=d的平面内做匀速圆周运动，有
q·2v0B=m，R2=2R1
根据几何关系，粒子第2次、第3次经过yOz平面的交点间的距离为l=2R2cos 60°=2R1
解得l=d。
