周二
1.(2024·淮北质检)某次考试一共5道判断题，有三名考生参加考试，每人均答对4道题，答错一道题，三人回答具体情况记录如下：
题号 1 2 3 4 5
考生甲 T F F F T
考生乙 T T F T T
考试丙 F F F T T
则这5道题的正确答案依次为( )
A.FFFTT B.FTFTT
C.TFFTF D.TFFTT
2.(2024·菏泽模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且-a=，延长BC至点D，使得BC=CD，若AD=2，AB=2，则a等于( )
A.1 B.
C.2 D.3
3.(多选)(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为R，设g(x)为f(x)的导函数，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(1-y)，f(1)≠0，f(2)=0，则( )
A.f(1)=2
B.g(1)=0
C.g(x)是奇函数
D.f(x-1)+f(x+2 025)=0
4.(2024·马鞍山质检)已知不等式(x+1)2≤λ(x2+1)(x2-2x+5)对任意x∈R恒成立，则实数λ的取值范围是 .
5.(2024·常德模拟)某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间x(天) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240的天数，求X的分布列和数学期望；
(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的经验回归方程.
参考数据及公式：=yi=190，
=60，=55 482，
(xi-)(yi-)=1 800；
对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为===-.
答案精析
1.D 2.C 3.ABD
4.
解析 因为(x+1)2≤λ(x2+1)(x2-2x+5)，
且x2+1>0，x2-2x+5>0，
可得≤λ对任意x∈R恒成立，
令x+1=t，则x=t-1，
若x=-1，则t=0，
可得=0，
若x≠-1，则t≠0，
可得
=
=
=
=，
由对勾函数u=t+可知u≥4或u≤-4，
则t+-3≥1或t+-3≤-7，
可得≥1，
则
=∈，
综上所述，∈，
即的最大值为，则λ≥，所以实数λ的取值范围是.
5.解 (1)每天普及人数不少于240的天数为3，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)由题意得，去掉第5天的数据后
'=×(1+2+3+4+6+7+8+9)=5，
'=x5=5=，
'=×(9-y5)=(9×190-203)=，
故=
=
=
=
==30，
='-'=-30×5=，
所以每天普及的人数y关于天数x的经验回归方程为=30x+.周六
1.(2024·沈阳联考)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024·南通调研)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且|FM|=3|FN|，则直线MN的斜率为( )
A. B.
C. D.
3.(多选)(2024·辽宁重点中学协作体模拟)已知函数f(x)=ax-ln x，g(x)=aln x+，a为实数，下列说法正确的是( )
A.当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值
B.存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点
C.当a∈(0，1)时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立
D.若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，则a的取值范围为
4.(2024·浙江精诚联盟联考)某工厂生产的一批零件的使用寿命X(单位：年)近似服从正态分布N(80，δ2).若P(60≤X≤100)=，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60年的概率是 .
5.(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B.
(1)证明：a2-b2=bc；
(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？
答案精析
1.B 2.A
3.AC [对于A，当a=1时，
f(x)=x-ln x，
g(x)=ln x+，x>0，
f'(x)=1-=，
g'(x)=-=，
当0
此时f(x)，g(x)均单调递增，
所以当x=1时，f(x)，g(x)均各自取到相应的极值，且f(1)=g(1)=1，
所以当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值，故A正确；
f(x)=ax-ln x=0 a=(x>0)，
g(x)=aln x+=0 a
=-(x>0，x≠1)，
令u(x)=(x>0)，
则u'(x)=，
当0
当x>e时，u'(x)<0，u(x)单调递减，
当x→0时，u(x)→-∞，
当x→+∞，u(x)→0，
当x=e时，u(x)有极大值u(e)=，
在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数u(x)的图象，如图所示，
所以当且仅当0
令v(x)=-(x>0，x≠1)，
则v'(x)=，
当0
当x从1的左边趋于1时，v(x)趋于正无穷，当x从1的右边趋于1时，
v(x)趋于负无穷，
当x>1时，v'(x)>0，v(x)单调递增，
令x=et，t→-∞，
则x→0，v(x)=-→+∞，
当x→+∞时，v(x)→0，
所以当x=时，v(x)有极小值，
v=e，
在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数v(x)的图象，如图所示，
当且仅当a>e时，方程a=-(x>0，x≠1)有两个根.
综上所述，不存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点，故B错误；
设F(x)=f(x)-g(x)=ax-ln x-aln x-，x∈[1，e]，a∈(0，1)，
F(1)=a-1<0<1，
F(e)=ae-ln e-aln e-
=a(e-1)-1-
F'(x)=a-+
=
=，
当x∈[1，e]，a∈(0，1)时，显然>1.
若1<
F=a·-ln-aln-
=1+(a+1)ln a-a≤F(x)
≤max{F(1)，F(e)}<1，
所以当
f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立，故C正确；
对于D，若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，
则F'(x)=≤0对x∈[1，e]恒成立，
即ax-1≤0对x∈[1，e]恒成立，
即a≤对x∈[1，e]恒成立，
又y=在[1，e]上单调递减，
所以a≤，
所以a的取值范围为，
故D错误.]
4.
解析 由P(60≤X≤100)=，X服从正态分布N(80，δ2)，
故P(X<60)=×=.
5.(1)证明 因为sin B+sin C
=2sin Acos B，
由正弦定理可得b+c=2acos B，
再由余弦定理得
b+c=2a·，
整理得a2-b2=bc.
(2)解 因为∠ABC，∠CBD互补，
所以cos∠ABC+cos∠CBD=0，
结合余弦定理可得
+=0，
因为c=AB=3，BD=1，
则+=0，
整理得4a2-b2+12-3CD2=0，
又a2=b2+bc=b2+3b，
则CD2=a2-b2+4
=(b2+3b)-b2+4
=b2+4b+4=(b+2)2，
从而CD=b+2，
故CD-CA=2为定值.周三
1.(2024·南通调研)设x>0，y>0，+2y=2，则x+的最小值为( )
A. B.2
C.+ D.3
2.(2024·安阳模拟)已知函数f(x)=，其中A，B是锐角△ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是( )
A.f(sin A)>f(sin B)
B.f(cos A)>f(cos B)
C.f(cos A)>f(sin B)
D.f(sin A)>f(cos B)
3.(多选)(2024·葫芦岛模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3A1B1=6，AA1=4，点P为棱BB1上的动点(含端点)，则下列结论正确的是( )
A.四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积是40+32
B.四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积是
C.AP+PC1的最小值为2
D.AP+PC的最小值为6
4.(2024·焦作模拟)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD，EFGH均为正方形，AD=AE=2，则·= .
5.(2024·丽水模拟)设等差数列{an}的公差为d，记Sn是数列{an}的前n项和，若S5=a3+20，S15=a2a3a8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若d>0，bn=(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn
1.C 2.D 3.ABD
4.16
解析 以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AD=AE=2，
所以F(-2，0)，
B(2，2)，A(0，2)，
H(4，2)，
所以=(4，2)，=(4，0)，
所以·=16.
5.(1)解 由S5=a3+20，
S5==5a3，
得5a3=a3+20，解得a3=5，
由S15=a2a3a8，
S15==15a8，
所以15a8=5a2a8，
所以a8=0或a2=3，
当a8=0时，d==-1，
此时an=a3+(n-3)d=8-n；
当a2=3时，d=a3-a2=2，
此时an=a3+(n-3)d=2n-1，
综上可得数列{an}的通项公式为
an=8-n或an=2n-1.
(2)证明 因为d>0，
所以an=2n-1，
则Sn==n2，
则bn==
=
=1+
=1+，
所以Tn=1++1+
+1++…+1+
=n+
=n+
=n+-
A.(-1，0) B.(1，0)
C.(0，1) D.(0，-1)
2.(2024·九江模拟)已知一个圆台内接于球O(圆台的上、下底面的圆周均在球面上).若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为(5+3)π，则球O的体积为( )
A. B.5π
C. D.
3.(多选)(2024·邯郸模拟)已知复数z，是其共轭复数，则下列命题正确的是( )
A.z>
B.若|z|=1，则|z+-i|的最小值为1
C.z=(z≠0)
D.若3+4i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则q=5
4.(2024·承德模拟)已知等差数列{an}(公差不为0)和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，如果关于x的实系数方程1 003x2-S1 003x+T1 003=0有实数解，则以下1 003个方程x2-aix+bi=0(i=1，2，…，1 003)中，有实数解的方程至少有 个.
5.(2024·开封质检)已知函数f(x)=ln x-.
(1)讨论f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)函数g(x)=，若方程f(x)=f(g(x))在x∈上存在实根，试比较f(a2)与ln的大小.
答案精析
1.D 2.C 3.BC
4.502
解析 因为S1 003==1 003a502，
T1 003==1 003b502，
代入-4×1 003T1 003≥0，
得-4b502≥0，要使方程x2-aix+bi=0(i=1，2，…，1 003)有实数解，
则-4bi≥0(i=1，2，…，1 003)，
显然第502个方程有解，设方程x2-a1x+b1=0与方程x2-a1 003x+b1 003=0的判别式分别为Δ1，Δ1 003，
则Δ1+Δ1 003=(-4b1)+(-4b1 003)=+-4(b1+b1 003)≥-4×2b502，
即Δ1+Δ1 003≥-8b502=
2(-4b502)≥0，等号成立的条件为a1=a1 003，
所以Δ1≥0，Δ1 003≥0中至少一个成立，
同理可得Δ2≥0，Δ1 002≥0中至少一个成立，…，Δ501≥0，Δ503≥0中至少一个成立，且Δ502≥0，
综上，在所给的1 003个方程中，有实数解的方程最少有502个.
5.解 (1)函数f(x)=ln x-的定义域为(0，+∞)，
又f'(x)=+=，
当a≥0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值，
当a<0时，令f'(x)=0，
解得x=-a，
所以当x∈(0，-a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(-a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=-a时，f(x)取到极小值f(-a)=ln(-a)+1，无极大值，
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值；
当a<0时，f(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a，+∞)上单调递增，极小值为ln(-a)+1，无极大值.
(2)因为g(x)=，0
==，
令g'(x)=0，解得x=2或x=0(舍)，
所以当x∈时，g'(x)>0，
g(x)单调递增，
所以g(0)
则方程f(x)=f(t)在x∈，
t∈上存在实根，
当a≥0时，f(x)在上单调，若方程有实根，则x=g(x)在上有解，
即x=应该在上有解，但是2x2-x=0在上无解，不符合题意，所以f(x)在上不单调，即a<0.
由(1)知0<-a<，即-
所以m(a)在上单调递增，
所以m(a)>m=2ln+2=ln，所以f(a2)>ln.周五
1.(2024·郑州模拟)已知数列{an}为等比数列，且a1=1，a9=16，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b5=a5，则S9等于( )
A.-36或36 B.-36
C.36 D.18
2.(2024·新乡模拟)老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有( )
A.248种 B.168种
C.360种 D.210种
3.(多选)(2024·邵阳联考)已知函数f(x)在R上可导，且f(x)的导函数为g(x).若f(x)=4-f(x+2)，g(2x-1)为奇函数，则下列说法正确的有( )
A.g(1)=0 B.f(2)=0
C.f(2)=f(8) D. f(i)=4 048
4.(2024·郑州模拟)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=，b=4，ccos B+a=0，则c= ，点D在线段AB上，且∠CDA=，则CD= .
5.(2024·岳阳质检)已知A(-2，0)，B(2，0)，设动点Q满足直线AQ，BQ的斜率之积为4，记动点Q的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)点P为直线x=-1上的动点，直线PA与曲线E交于点C(不同于点A)，直线PB与曲线E交于点D(不同于点B).证明：直线CD过定点.
答案精析
1.C 2.D 3.ACD
4.
解析 由余弦定理得
c·+a=0，
即3a2+c2-b2=0，
∴c2=b2-3a2=16-6=10，
解得c=-(舍)或c=.
在△ABC中，由余弦定理得cos A=
==，
∴sin A==，
在△ADC中，由正弦定理得CD=·sin A=×=.
5.(1)解 设Q(x，y)，
则kAQ=，kBQ=，
由kAQ·kBQ=·==4，
整理得-=1(x≠±2).
(2)证明 方法一 设P(-1，y0)，
C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则lPC：y=(x+2)=y0(x+2)，
联立lPC与曲线E的方程
得(-4)x2+4x+4(+4)=0且-4≠0，
解得x1=-2(舍去)或x1=-，
将x1=-代入y=y0(x+2)，
得y1=y0=，
所以C，
其中-4≠0.
同理，可解得D，
其中-36≠0.
当-=时，
=12，
此时-==-4，
所以此时直线CD的方程为x=-4；
当-≠时，
直线CD的方程为y+=
=，
整理得y=(x+4)，所以直线CD过定点(-4，0).
方法二 设P(-1，y0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则由P，A，C及P，B，D三点共线得=，=，
将上面两式相除，再平方可得
9=·， ①
因为C(x1，y1)，D(x2，y2)均在曲线E上，
故满足=4(-4)，
=4(-4)， ②
将②代入①可得
9=·
=·，
整理可得2x1x2+5(x1+x2)+8=0. ③
当直线CD的斜率存在时，
设lCD：y=kx+m，
将直线CD的方程代入曲线E：-=1(x≠±2)得
(k2-4)x2+2kmx+m2+16=0且k2-4≠0，
由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=，
将上式代入③式可得m2-5km+4k2=0，解得m=k(舍去)或m=4k，
故直线CD的方程为
y=kx+4k=k(x+4)；
当直线CD垂直于x轴时，易求得此时CD的方程为x=-4，所以直线CD过定点(-4，0).
方法三 设P(-1，y0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
易知直线CD不垂直于y轴，所以设直线CD的方程为
x=my+t，
由P，A，C及P，B，D三点共线得
kAC=kAP==y0，
kBD=kBP==-，
由上式可得kAC=-3kBD，
即=-3·，
将x1=my1+t，x2=my2+t代入可得y1(my2+t-2)
=-3y2(my1+t+2)， ①
因为C(x1，y1)，D(x2，y2)为曲线E上的点，
由(1)可知，kACkBC=kADkBD=4，
所以kAD=-3kBC，
即=-3·，
将x1=my1+t，x2=my2+t代入可得y2(my1+t-2)=
-3y1(my2+t+2)， ②
①，②式相减可得(t+4)(y1-y2)=0，
又易知y1≠y2，所以t=-4，所以直线CD的方程为x=my-4，
故直线CD过定点(-4，0).第八周
周一
1.(2024·厦门质检)已知集合P={x∈Z|-2
C.{-1，1} D.{-1，0，1}
2.(2024·浙江强基联盟联考)已知F1，F2分别是双曲线C：-=1(b>0)的左、右焦点，M是双曲线C右支上的一个动点，且-的最小值是8，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
3.(多选)(2024·云南333联考)已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y满足f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)，下列说法正确的是( )
A.若f(x)为一次函数，则f(0)=0
B.若f(x)为一次函数，则f(1)=1
C.若f(x)不是一次函数且f(0)=0，则f(-1)=-1
D.若f(x)不是一次函数且f(0)=0，则f(1)=1
4.(2024·葫芦岛模拟)甲、乙等4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，则甲不单独参加活动，且乙不参加A活动的概率是 .
5.(2024·承德模拟)如图1，在Rt△APB中，∠APB=90°，点C为PB的中点，PA=PC=1，取AC的中点D，连接PD，BD，现把△APC沿着AC翻折，形成三棱锥P-ABC如图2所示，此时PB=，取BC的中点E，连接PE，DE，记平面PAB和平面PDE的交线为l，Q为l上异于点P的一点.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)若直线AQ与平面PDB所成角的正弦值为，求PQ的长度.
答案精析
1.D 2.C 3.BCD
4.
解析 4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，由分步乘法计数原理，将4人分成3组，再全排，共有=36(种)方法，
甲不单独参加活动，且乙不参加A活动，乙从B，C两项活动选一项参加有种，除甲、乙外两人在乙参加外的两项活动中全排有种，然后甲从A，B，C这三项活动选一项参加有种，则由分步乘法计数原理，共有=2×2×3=12(种)方法，
则甲不单独参加活动，且乙不参加A活动的概率是=.
5.(1)证明 由题意知△ACP为等腰直角三角形，又点D为AC的中点，
所以PD=AC=，∠ACB=，PD⊥AC，
由cos∠BCA=
==-，
解得BD=，
当PB=时，有PD2+BD2=PB2，即PD⊥BD，
而BD∩AC=D，BD，AC 平面ABC，故PD⊥平面ABC.
(2)解 以DA，DP所在直线分别为x轴、z轴，过点D作平面PAC的垂线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A，
P，
又cos∠BDC=
==，
所以sin∠BDC==，
所以xB=-BDcos∠BDC
=-×=-，
yB=BDsin∠BDC
=×=，
所以B，
于是=，
=
，
设平面PDB的法向量为n=(x0，y0，z0)，
则
不妨取x0=1，解得n=(1，2，0)，
设Q(x1，y1，z1)，
则=，
=，
因为点E为BC的中点，点D为AC的中点，所以AB∥DE，
又AB 平面PDE，DE 平面PDE，所以AB∥平面PDE，
平面PAB和平面PDE的交线为l，AB 平面PAB，所以AB∥l，又Q为l上异于点P的一点，
所以AB∥PQ，即与共线，
设=k，
则x1=-k，y1=k，z1=，
故Q，因此
=.
设直线AQ与平面PDB所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈，n〉|=
=
=，化简得11k2-6k-5=0，
解得k=1或k=-，
当k=1时，
==，
则||=||==，
当k=-时，=-，
则||=||=，
因此|PQ|=或|PQ|=.
