周二
1.(2024·赣州模拟)已知甲、乙两组数据分别为22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24.若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则( )
A.甲、乙两组数据的极差不同
B.乙组数据的中位数为24
C.甲、乙两组数据的方差相同
D.甲组数据的第一四分位数为21.5
2.(2024·邵阳联考)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，已知AB=2，CD=1，∠A=45°，点P在线段AB与线段BL上运动，则·的取值范围为( )
A.[-4，6] B.[0，6]
C.[0，8] D.[4，8]
3.(多选)(2024·湖北名校联盟联考)已知O为坐标原点，双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D，若AD⊥DF，则C的离心率等于( )
A. B.
C.-1 D.
4.(2024·开封质检)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，则E(ξ)= .
5.(2024·新乡模拟)已知数列{an}满足a1=1，an+1=
(1)记bn=a2n-1，证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前2n项和S2n，并证明2S2n≥a2n+1-2.
答案精析
1.C 2.C 3.BCD 4.
5.解 (1)由题意可知，===
==6，
所以数列{bn}是首项为b1=a1=1，公比为6的等比数列.
于是bn=6n-1.
(2)由题意可知，a2n=2a2n-1-1，
所以S2n=a1+a2+a3+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(a1+a3+…+a2n-1)+(2a1-1+2a3-1+…+2a2n-1-1)
=3(a1+a3+…+a2n-1)-n
=3(b1+b2+b3+…+bn)-n
=3×-n=×6n-n-.
又bn+1=a2n+1=6n，
令cn=2S2n-a2n+1+2=×6n-2n--6n+2=×6n-2n+，
cn+1-cn=×6n+1-2(n+1)+-=6n-2>0，
所以数列{cn}单调递增，
故cn≥c1=0，即2S2n≥a2n+1-2.周六
1.(2024·承德模拟)已知tan α=2，则等于( )
A.- B.
C.- D.
2.(2024·郑州模拟)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a=×2+×22+…+×220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是( )
A.2 018 B.2 020
C.2 022 D.2 024
3.(多选)(2024·徐州适应性测试)已知函数f(x)=ex(x-aex)，a∈R，则下列说法正确的是( )
A.当a=-1时，f(x)有唯一零点
B.当a>时，f(x)是减函数
C.若f(x)只有一个极值点，则a≤0或a=
D.当a=1时，对任意实数t，总存在实数x1，x2，使得f'(t)=
4.(2024·温州模拟)过抛物线y2=2px(0
(1)求双曲线Γ的标准方程；
(2)若点P是第一象限内双曲线Γ上的一个动点，双曲线Γ在点P处的切线l1与x轴相交于点T.
①证明：射线PT是∠F1PF2的平分线；
②过坐标原点O的直线l2与l1垂直，与直线PF1相交于点Q，求△QF1F2面积的取值范围.
答案精析
1.A 2.B 3.ABD
4.
解析 由于直线l过焦点，且与抛物线交于两个不同的点A，B，故设其方程为x=my+，
A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立方程组
消去x得，y2-2pmy-p2=0，
所以yA·yB=-p2，
所以V三棱锥A-FMB=·S△BFM·|yA|
=×|MF|·|yB|·|yA|
=|MF|·|yB|·|yA|
=p2
=p2(4-2p)
≤=，
当且仅当p=4-2p，即p=时，等号成立，所以三棱锥A-FMB的体积最大时，p=.
5.(1)解 因为实轴长为4，
所以2a=4，即a=2，
因为右焦点F2(c，0)到渐近线y=±x的距离为1，所以=b=1，故双曲线Γ的标准方程为-y2=1.
(2)①证明 由题意知切线l1的斜率存在，设P(x0，y0)，x0>2，y0>0，
切线l1：y-y0=k(x-x0)，
则-4=4，
联立
化简得x2-2k(y0-kx0)x-(y0-kx0)2-1=0.
由Δ=0，解得k=，
所以直线PT：y-y0=(x-x0)，
令y=0，得T，
故|TF1|=+，
|TF2|=-+.
因为|PF1|===2+x0，
所以|PF2|=|PF1|-4=x0-2，
所以|PF1|·|TF2|=|TF1|·|PF2|，
即=，
故射线PT是∠F1PF2的平分线.
②解 过F2作l3⊥l1，与直线PF1交于点E，
因为l1为∠F1PF2的平分线，所以|PF2|=|PE|，
所以|F1E|=|PF1|-|PE|
=|PF1|-|PF2|=4.
因为OQ⊥l1，F2E⊥l1，
所以OQ∥F2E，
又因为O为F1F2的中点.
则OQ是△F1F2E的中位线，故Q是F1E的中点.
所以|F1Q|=2，记∠PF1F2=θ，
因为OQ⊥l1，所以∠PQO为锐角，
所以∠F1QO为钝角，
所以+|OQ|2<，
即4+|OQ|2<5，
所以|OQ|2<1，所以|OQ|<1，
由正弦定理得
sin θ=<，
所以sin θ∈，
则=|F1Q||F1F2|·sin θ=2sin θ∈(0，2).故△QF1F2面积的取值范围是(0，2).周三
1.(2024·鞍山质检)已知直线l：x-y-2=0，点C在圆(x-1)2+y2=2上运动，那么点C到直线l的距离的最大值为( )
A.+1 B.
C. D.
2.(2024·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则的最小值为( )
A.12 B.3+2
C. D.
3.(多选)(2024·长沙模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段BD1上的动点，直线m为平面A1DP与平面B1CP的交线.下列说法正确的是( )
A.存在点P，使得BB1∥平面A1DP
B.存在点P，使得B1P⊥平面A1DP
C.当点P不是BD1的中点时，m∥平面A1B1CD
D.当点P不是BD1的中点时，m⊥平面ABD1
4.(2024·岳阳质检)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5米至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为 米.
5.(2024·郑州模拟)荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”称号.有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲、乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
(1)求前3局比赛甲都获胜的概率；
(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.
答案精析
1.C 2.C 3.ACD 4.
5.解 (1)因为各局比赛的结果相互独立，则前3局比赛甲都获胜的概率为P=××=.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
其中，X=0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，
则P(X=0)=×=；
X=1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，
则P(X=1)=×+×
=；
X=2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，
则P(X=2)=××=；
X=3表示前3局都是乙赢，
则P(X=3)=××=，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=.周四
1.(2024·太原模拟)(x+y-1)5的展开式中 xy2的系数为( )
A.-20 B.20
C.-30 D.30
2.(2024·南通、扬州、台州七市调研)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为偶函数，f(x+2)-1为奇函数.若f(1)=0，则f(k)等于( )
A.23 B.24 C.25 D.26
3.(多选)(2024·滨州模拟)下列结论正确的是( )
A.若随机变量X，Y满足Y=2X+1，则D(Y)=2D(X)+1
B.若随机变量X~N(3，σ2)，且P(X<6)=0.84，则P(3
D.按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+n=70
4.(2024·沈阳质检)已知向量a，b满足|a|=2，(4a+b)·b=4，则|2a+b|= .
5.(2024·辽宁教研教改联合体联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，且PA=PD=AD，PC=PB.
(1)若O为AD的中点，证明：平面POC⊥平面ABCD；
(2)若∠CDA=60°，AB=CD=1，线段PD上的点M满足=λ(0≤λ≤1)，且平面PCB与平面ACM夹角的余弦值为，求实数λ的值.
答案精析
1.D 2.C 3.BCD 4.2
5.(1)证明 取BC的中点E，连接OE，PE，由条件可得OE为梯形ABCD的中位线，则OE⊥BC，
又PB=PC，则PE⊥BC，
且PE∩OE=E，PE 平面POE，
OE 平面POE，
根据线面垂直的判定定理，
得BC⊥平面POE，
∵PO 平面POE，∴BC⊥PO.
由PA=PD，O为AD的中点，
则PO⊥AD，又AD，BC为梯形的两腰，则AD与BC相交，
∴PO⊥平面ABCD，
又PO 平面POC，
∴平面POC⊥平面ABCD.
(2)解 取CD的中点Q，连接AQ，由AB=CD=1，∠CDA=60°，
则AQ⊥CD，AD=CD=2QD=2，
因此△ACD为等边三角形，
CO⊥AD.
由(1)知PO⊥平面ABCD，
∴OP，OA，OC两两垂直，
如图，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
由CD=DA=PA=PD=2，
∠CDA=60°，则OP=OC=，
A(0，1，0)，B，
C(，0，0)，P(0，0，)，
D(0，-1，0)，
由=λ，得M(0，λ-1，λ)，
∴=(，0，-)，
=，
=(，-1，0)，
=(0，λ-2，λ)，
设平面PCB的法向量为n1=(a，b，c)，
则
得
取a=，得b=1，c=，
得n1=(，1，).
设平面ACM的法向量为n2=(x，y，z)，
则
得
取y=λ，得x=λ，z=2-λ，
即平面ACM的一个法向量为n2=(λ，λ，2-λ).记平面PCB与平面ACM的夹角为θ，
∴cos θ=
==，
化简得(3λ-2)2=0，解得λ=，
∴实数λ的值为.周五
1.(2024·昆明检测)函数f(x)=sin的最小正周期为( )
A.π B.
C. D.
2.(2024·红河州检测)已知函数f(x)=-x3，若对于任意的x∈(1，2]，不等式f+f<1恒成立，则实数t的取值范围为( )
A.(1，+∞) B.[-1，1]
C.(-∞，-1] D.(-∞，-1)
3.(多选)(2025·内江模拟)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为an.则下列结论正确的有( )
A.a2=
B.为等比数列
C.设第n次传球后球在甲手中的概率为bn，则b10
4.(2024·烟台模拟)若圆(x-m)2+(y-1)2=1关于直线y=x对称的圆恰好过点(0，4)，则实数m的值为 .
5.(2024·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1-cos 2C)(sin A+1)-cos Asin 2C=0.
(1)求证：B=C+；
(2)若a=4，C∈，求△ABC面积的取值范围.
答案精析
1.A 2.C 3.ABD 4.4
5.(1)证明 由(1-cos 2C)(sin A+1)-cos Asin 2C=0，
得sin A+1-cos 2Csin A-cos 2C-cos Asin 2C
=sin A-cos 2C+1-sin(A+2C)
=0，
又A+C=π-B，
则sin(B+C)-cos 2C+1-sin(B-C)
=sin Bcos C+sin Ccos B-1+2sin2C+1-sin Bcos C+sin Ccos B
=2sin2C+2sin Ccos B
=2sin C(sin C+cos B)=0，
又sin C>0，所以sin C+cos B=0，
即cos B=-sin C=cos，
又0
(2)解 由(1)知B=+C，
A+B+C=π，
得A=-2C，
由
得c==
=，
所以S△ABC=acsin B
=×42××sin
=×42××cos C
==4tan 2C，
又
则tan 2C∈(1，)，
所以4tan 2C∈(4，4)，即△ABC面积的取值范围为(4，4).第四周
周一
1.(2024·九江模拟)若函数f(x)=ln(ax+1)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，0) B.
C. D.[-1，0)
2.(2024·丽水、湖州、衢州联考)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，直线l：y=-x+t经过点P.若点F2关于l的对称点在线段F1P的延长线上，则C的离心率是( )
A. B.
C. D.
3.(多选)(2024·承德模拟)已知z∈C，是z的共轭复数，则( )
A.若z=，则=
B.若z为纯虚数，则z2<0
C.若z-(2+i)>0，则z>2+i
D.若M={z||z+3i|≤3}，则集合M所构成区域的面积为6π
4.(2024·六盘水模拟)某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行.若甲、乙两队答对某题的概率分别为，且甲、乙两队抢到该题的可能性均为，则该题被答对的概率为 .
5.(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)=aex-xln x.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)为增函数，求a的取值范围.
答案精析
1.C 2.B 3.AB 4.
5.解 (1)当a=1时，
f(x)=ex-xln x，
即f(1)=e，
所以切点坐标为(1，e)，
又因为f'(x)=ex-ln x-1，
则f'(1)=e-1，
由直线的点斜式方程可得
y-e=(e-1)(x-1)，
化简可得(e-1)x-y+1=0.
(2)因为函数f(x)=aex-xln x的定义域为(0，+∞)，
且f'(x)=aex-(1+ln x)，
f(x)为增函数，等价于f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，
由f'(x)≥0可得a≥，
令g(x)=(x>0)，
所以只需a≥g(x)max，求导可得
g'(x)=e-x，
令h(x)=-1-ln x(x>0)，
则h'(x)=--<0，
即h(x)是减函数，又h(1)=0，
故x=1是h(x)的唯一零点，
当x∈(0，1)时，h(x)>0，g'(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1，+∞)时，h(x)<0，
g'(x)<0，g(x)单调递减，
故当x=1时，g(x)取得极大值且为最大值，g(1)=，所以a≥，
即a的取值范围是.
