2024-2025学年度安徽省耀正优高二年级（上）期末学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知点是椭圆上一点，，是的左、右焦点，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，，，则公差( )
A. B. C. D.
4.已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知正项等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为正方形的中心，，分别为，的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为( )
A. B. C. D.
8.已知是抛物线的焦点，，是抛物线上不同的两点，且满足，设，到抛物线的准线的距离分别为，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等比数列的前项积为，且，，若，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知实数、满足方程，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线方程为，点为的左支上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的离心率为
B. 若轴，则
C. 若，则的最小值为
D. 若点为的左支上一点，则的内切圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线平行，则实数 ．
13.在四棱柱中，平面，，，点，满足，，则直线与底面所成角的正弦值为 ．
14.若数列满足为常数，则称数列为调和数列已知数列为调和数列，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆心为的圆经过，，三点．
求此圆的标准方程
求直线被此圆截得的弦长．
16.本小题分
记为数列的前项和，已知．
求的通项公式
设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，三棱锥中，平面平面，，为的中点，，．
求证：
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知动点与两定点，连线的斜率之积为，记的轨迹为曲线．
求点的轨迹的方程
设点，点，求的最大值
过点作直线交曲线于、两点，连接、交于点证明：点在定直线上．
19.本小题分
已知在抛物线上有一系列点，，，，，以点为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切已知，点到的焦点的距离为，，．
求抛物线的方程
求数列的通项公式
若，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
参考答案
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15.解：由题知圆心在线段的垂直平分线上，故设圆心为．
又，即，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆的方程为：．
则圆心到直线的距离，
所以直线被此圆截得的弦长．
16.解：时，
当时，．
当时，，满足，所以
由题知，
所以，
，
两式相减得．
所以．
17.解：取中点，连接，，则，而，故．
因为，所以．
又，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为平面平面，平面，，所以平面．
因为平面，所以，故，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则即取，则．
设平面的法向量为，
则即取，则，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：设，则，．
由，得，整理得，
故点的轨迹方程为．
由知点的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，，
故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为．
因为，所以点在椭圆内，
由椭圆的定义得，
当，，三点共线在线段上时取等号，
所以的最大值为；
设直线的方程为，、，
由得，
所以，，
所以，
由，得或易知直线的方程为，
直线的方程为，
联立，消去，得，，
联立，消去，则
解得，即点在定直线上
19.解：，设抛物线的焦点为，
根据题意可知，解得，
所以抛物线的方程为．
因为圆与圆彼此外切，且与轴都相切，
所以，
则
．
因为，所以，即，
因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
即，故．
由题知，假设数列中存在不同的三项，，能构成等差数列，其中，，，，
由题则，，，
，
设，，
则，
得，
注意到，
，
则，
这与矛盾，则数列中不存在不同的三项能构成等差数列．
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