2024-2025学年重庆市七校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和，若，则为( )
A. B. C. D.
3.国家体育场鸟巢，位于北京奥林匹克公园中心区南部，为年北京奥运会的主体育场某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的长半轴长为，则大椭圆的短轴长为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，且，则( )
A. B. C. D.
6.九章算术中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是上的两点，满足，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 若直线：与：平行，则与的距离为
B. 过点且和直线平行的直线方程是
C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
D. 直线的倾斜角的取值范围是
10.设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列
B. 当或时，取得最大值
C. 数列的前项和是
D. ，，成等差数列，公差为
11.如图，在直四棱柱中，为与的交点若，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 设，则
D. 以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线：，则抛物线的准线方程为______．
13.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是______．
14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图，，，为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第个图案包含个小正方形，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：及直线：，直线被圆截得的弦长为．
求的值；
求过点并与圆相切的直线的一般式方程．
16.本小题分
已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，且，，．
求数列与的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
在平面图形如图中，已知，，，，将沿着折起到的位置，使得，连接，，得到四棱锥，如图所示．
求证：；
求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左右两焦点为，，焦距为，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长为．
求椭圆的标准方程；
若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，．
求证：为定值；
求面积的最大值．
19.本小题分
已知数列的前项和为，，数列满足，且，．
求数列，的通项公式；
令，求数列的前项和．
若对任意，任意正整数，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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15.解：由已知圆：，
即圆心，半径，
因为直线被圆截得的弦长为．
所以圆心到直线：的距离，
解得或，
又，所以；
由得，则圆：，
圆心，半径，
因为，所以点在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
此时，解得，
此时，切线方程为，
当切线斜率不存在时，直线与圆相切，
综上所述，所求切线方程为或．
16.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为
由，，，，
可得，，
所以，；
则，；
，
则数列的前项和为：．
17.解：证明：如图，取的中点，
，，
，，
又，，
四边形为平行四边形，
，，又，
，，，
又，，
平面，又平面，
，又，，
平面，又平面，
；
在平面内过点作，
由知平面，则直线，，两两垂直，
故建系如图：
则，
，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，则，
取，，
，
平面与平面夹角的正弦值是．
18.解：易知椭圆焦点在轴上，
因为椭圆的焦距为，的周长为，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为；
证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为时，
显然，
所以；
当直线斜率不为时，
设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
因为，
所以，
综上所述，为定值；
由知，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以面积的最大值为．
19.解：已知数列的前项和为，且，
当时，，
当时，，
即．
是以为首项，为公比的等比数列，
则，
数列满足，且，，
是等差数列，
，
．
由题知，
，
，
，
．
由可得，
当时，，即，
由题可知，在上恒成立，
即在上恒成立，
即，即，
当时，，
当且仅当时，取等号，
所以．
即实数的取值范围为．
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