2024-2025学年内蒙古包头市高一上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学下列哪一个图象与这件事吻合得最好( )
A. B. C. D.
6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.已知角的终边经过点，则( )
A. B.
C. D.
11.已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则以下说法中正确的是( )
A. B. 是上的奇函数
C. 在上为增函数 D. 在上的最大值是
12.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知半径为的扇形的圆心角大小为，则其弧长为 ．
14.已知函数为偶函数，则 ．
15.已知直角三角形的斜边长为，则其面积的最大值为 ．
16.已知函数，若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求的值
若，求的值．
18.本小题分
已知集合，．
若，，求
若存在正实数，使得，求正实数的取值范围．
19.本小题分
已知，．
求的值
求的值．
20.本小题分
已知关于的不等式．
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
在的条件下，解关于的不等式．
21.本小题分
某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么：
求的值
后还剩百分之几的污染物
污染物减少需要花多少时间用对数表示
22.本小题分
已知函数，为常数．
若，求证为奇函数
在的条件下，求出的单调区间
若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
；
，
．
18.解：由题意得，即，解得，
所以；
当时，，
因为，所以．
因为，所以．
所以且 ，解得．
所以实数的取值范围是．
19.解： ，
，即 ，
，
，
又，
，，，
可知
由可得，则，
所以
20.解：因为关于的不等式恒成立，
当时，原不等式为成立
当时，
即
综上的取值范围为
不等式可化简为，
则的两个根为，，
因为，
所以，
即，
所以解集为．
21.解：当时，，
当时，，即．
．
由得，
当时，，
，
即后，还剩的污染物．
设污染物减少需要花，
则，
，
解得，
即污染物减少大约需要花
22.证明：当时，．的定义域为．
当时，
．，
在区间上是奇函数，
因为，
而在上单调递增，也单调递增，
所以在上单调递增，
又为奇函数，则在上单调递增，
故的单调增区间为，
由，得，
令，若使题中不等式恒成立，只需要，
由及是增函数，可知在上是增函数，所以，
所以的取值范围是．
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