2024-2025学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的一个通项公式( )
A. B. C. D.
2.用、、、这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有个．
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.过点作倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆的蒙日圆方程为
C. 若为正方形，则的边长为 D. 长方形的面积的最大值为
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知直线：，圆：，则( )
A. 直线过定点
B. 圆上的点到的距离最大值为
C. 当与圆相切时，直线方程为
D. 当时，圆上有三个点到的距离为
9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种
B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种
C. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有种
D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种
10.数列的前项和为，下列判断正确是( )
A. 若，则数列是等差数列
B. 若，则取最大值时或
C. 若，则
D. 若，，则数列是等比数列
11.已知为双曲线上位于第一象限内一点，过点作轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则( )
A. 若，则 B. 若，则的面积为
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为______．
13.在的展开式中二项式系数之和为，则展开式中的系数为______．
14.已知圆：，为圆的动弦，且满足，为弦的中点，两动点，在直线：上，且，当运动时，始终为锐角，则线段中点的横坐标的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过三点．
求圆的标准方程；
若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足
求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
记，求数列的前项和为．
17.本小题分
已知点分别与两点，连线的斜率的乘积为，
求点的轨迹的方程；
已知直线与交于，两点，，求的值．
18.本小题分
已知是等差数列，是正项等比数列，且，，，．
求数列，的通项公式：
记
求数列的前项和；
记，求数列的前项和．
19.本小题分
已知抛物线：，点在上按照如下方式依次构造点、、：过点作斜率为的直线与交于点令为关于轴的对称点，记的坐标为
求弦长；
证明：数列是等差数列，并求和；
记为的面积，求．
参考答案
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15.解：设圆的方程为：，
将三点代入圆的方程，
解得，，，
所以圆的方程为：，
即圆的标准方程为：；
由可得圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，由题意可得，可得，即，
当直线的斜率不存在时，则过点的直线，此时圆心到直线的距离为，显然符合题意；
当直线的斜率存在时，设过点的直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
即直线的方程为，即．
综上所述：直线的方程为：或．
16.解：由，得，
又，
为等差数列，首项为，公差为，
，
．
，
，
，
得，
，
．
17.解：设，
因为，，
所以，，
此时，
即，
整理得，
则点的轨迹的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
此时中点，
因为，
所以直线与直线垂直，
所以，
即，
解得．
则．
18.解：是等差数列，设公差为，
是正项等比数列，设公比为，，
由，，，，
可得，，
解得，
则，；
，
，
数列的前项和；
，
数列的前项和
．
19.解：由点在抛物线：上，可得，
解得，则抛物线的方程为，可得直线的方程为，
由，解得，即，可得，
则；
证明：设过点且斜率为的直线为，
与抛物线的方程，联立可得，
由韦达定理可得，即，
则数列是首项和公差均为的等差数列，
可得，；
由可得，同理可得，，
，，
，
直线的方程为，即，
点到直线的距离为，则，
所以．
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