高中数学人教A版（2019） 选修三 第六章 计数原理
一、单选题
1．（2024高二下·重庆市月考）高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．（2023高三上·湛江月考）某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（ ）
A．9种 B．10种 C．11种 D．12种
3．（2024高二下·番禺期中）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
4．（2024高二下·图木舒克期中） 计算：等于（ ）
A．120 B．240 C．60 D．480
5．（2024高二下·鹰潭期末）在的展开式中，常数项为（ ）
A．28 B．－28 C．30 D．360
6．（2024高三上·昆明月考）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ）
A．70个 B．71个 C．80个 D．81个
7．（2023高三上·昌平期末）已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2024高三上·广州月考）已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
二、多选题
9．（2024高二下·罗湖月考）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
10．（2024高二下·新洲月考）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A．四位回文数有45个
B．四位回文数有90个
C．（）位回文数有个
D．（）位回文数有个
11．（2024高二下·大新月考）关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．系数最大的项为第3项
12．（2024高二下·侯马期末）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．奇数项的二项式系数和为64 B．第6项和第7项二项式系数相等
C．第4项系数为280 D．系数最大的是第6项
三、填空题
13．（2024高二下·大名月考）在的展开式中，的系数为 .
14．（2024·重庆模拟）一个袋子中有个大小相同的球，其中有编号为，的黑球和编号为，，的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为 ．
15．（2023高三下·重庆市开学考）将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有种不同的放法，则在的展开式中，含项的系数为 ．
16．（2023高二下·嘉定期末）的二项展开式的各项系数之和为 .
四、解答题
17．（2024高二下·图木舒克期中） 计算：（用数字作答）
（1）；
（2）.
18．（2024高二下·广东期中）已知.
（1）求展开式第3项的二项式系数；
（2）求的值；
（3）求的值；
19．（2024高二下·船山月考）已知的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46．
（1）求展开式中所有项的系数的和：
（2）求展开式中的常数项．
20．从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数．
（1）女生人数少于男生人数；
（2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表．
21．（2024高二下·新洲月考）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中，____.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求展开式中项的系数；
（2）求被7除的余数.
22．（2024高二下·东坡期末）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
（1）求值和的展开式中含的项的系数.
（2）求展开式中常数项．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
2．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
3．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列与组合的综合
4．【答案】A
【知识点】组合及组合数公式
5．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
6．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
7．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
8．【答案】B
【知识点】二项式定理
9．【答案】A,B
【知识点】简单计数与排列组合
10．【答案】B,D
【知识点】简单计数与排列组合
11．【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
12．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
13．【答案】-240
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
14．【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合；条件概率
15．【答案】70
【知识点】二项式定理
16．【答案】1
【知识点】二项式定理的应用
17．【答案】（1）解：.
（2）解：
.
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
18．【答案】（1）解：二项式展开式的通项公式为，
令，解得，则展开式的第3项的二项式系数为；
（2）解：由，
令，可得；
令，可得，
则；
（3）解：由，
令，可得，
令，可得，
两式相减可得，所以.
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项；二项式系数
19．【答案】（1）解：由的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46，则，
即，，解得，
令，则，
故展开式中所有项的系数的和为；
（2）解：由（1）知二项式为，则二项展开式的通项为，
令，解得，则展开式中的常数项为．
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项
20．【答案】（1）解：从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，共有 种情况，
若女生人数多于男生人数，则有3个女生和2个男生担任课代表，共有 种情况，则女生人数少于男生人数的选法有： 种；
（2）解：先从剩余的6人种选三人，共有 种情况，
因为某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表，
所以该男生有 种选择，
因此共有 种选法.
【知识点】简单计数与排列组合
21．【答案】（1）选条件①各项系数之和为，取，
则，解得
此时展开式中项的系数为；
选条件②常数项为，由，
则常数项为，解得；
选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，
则，解得.（注：若选②③赋分同①）
（2），
，
所以被7除的余数为6.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
22．【答案】（1）解：由题意可知：，由二项式系数的性质可得，
的展开式的通项公式为，
令，可得，
所以含的项的系数为；
（2）解：因为，
由（1）可知的展开式的通项公式为，
所以常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
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