第二章 函数单元检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数是定义在上的奇函数，且是减函数，若实数a，b满足，则a，b的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
2．已知函数的定义域是，则的定义域是
A． B． C． D．
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是（ ）
A．(－∞，0) B．
C．[0，＋∞) D．
4．已知，则不满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
6．．偶函数在上为增函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
7．若函数存在最大值，则实数a可能的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
三、填空题
9．函数的定义域是 .
10．定义在R上的函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于直线x＝1对称；
③在上是减函数；
④．
其中正确命题的序号是 （请把正确命题的序号全部写出来）．
11．函数的定义域为 .
12．已知函数，（是非零常数），若，则 ．
四、解答题
13．已知：奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）作出的图象，观察图象，指出当方程只有一解时，求a的取值范围（不必写过程）
（3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围.
14．已知函数.
(1)若，判断并证明在上的单调性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
15．已知函数.
（1）当时，作出函数的图象；
（2）是否存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.
16．已知函数，当时，的图象如图.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)写出函数的单调区间（直接写出结果）；
(3)求函数在区间上的最值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B B A B BCD BCD
1．B
【分析】先利用奇函数性质化简不等式，再利用单调性得到a，b的不等关系，即得结果.
【详解】是奇函数，，故，
而是定义在上减函数，故，即.
故选：B.
2．A
【分析】由的范围求得的范围，此范围即为中的范围，从而可得所求定义域．
【详解】函数的定义域是，则 ，，有，则，则的定义域是.
故选：A．
3．B
【解析】先去绝对值，化简解析式y＝|x|(1－x)，再作出函数的示意图，得到函数的增区间.
【详解】y＝|x|(1－x)＝＝，
作出函数的草图如图所示．
由图易知原函数在上单调递增．
故选：B．
【点睛】本题考查了作函数的图象，由图象得到函数的单调区间，属于基础题.
4．B
【分析】根据函数的解析式，依次将,,代入，化简后比较即可得到答案.
【详解】解：
，
，
，
故选：B.
【点睛】本题考查函数解析式的运算与化简，主要涉及函数的解析式的意义和分式运算，属基础题.
5．A
【解析】利用的单调性将区间值代入可求得答案.
【详解】函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
【点睛】本题考查反比例函数的单调性及最值，属于基础题.
6．B
【详解】试题分析：根据偶函数图象关于原点对称，得f（x）在[0，+∞）上单调增且在（-∞，0]上是单调减函，由此结合2+是正数，将原不等式转化为|ax-1|＜2+x2恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．解：∵f（x）是偶函数，图象关于y轴对称,∴f（x）在[0，+∞）上的单调性与的单调性相反,由此可得f（x）在（-∞，0]上是减函数,∴不等式f（ax-1）＜f（2+）恒成立，等价于|ax-1|＜2+x2恒成立,即不等式-2-＜ax-1＜2+恒成立，得+ax+1＞0
, x2-ax+3＞0的解集为R, ∴结合一元二次方程根的判别式，得：-4＜0且（-a）2-12＜0,解之得-2＜a＜2,故选B
考点：偶函数的单调性
点评:本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题
7．BCD
【分析】求出二次函数部分的对称轴，再讨论a与对称轴的大小，求出a的的取值范围即可得到答案
【详解】解： 图象的对称轴方程为，
①当，时，有最大值，又，所以，所以此时有最大值1；
②当，时，有最大值，
当时，在单调递减，所以，
所以要有最大值，得，解得，与矛盾，舍去，
综上，当时，有最大值，
故选：BCD．
8．BCD
【分析】利用函数的图象结合四个选项进行分析，注意函数在大于0部分的周期性，从而进行选项判断，即可得到答案.
【详解】函数的图象如图所示：
对A，，，所以，故A错误；
对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；
对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则
，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查利用函数的图象研究分段函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时画出函数图象是求解问题的关键.
9．
【分析】由题得，解不等式组即得解.
【详解】由题得,
解之得，
所以函数的定义域为，
故答案为
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．①②③④
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再逐一判断各个命题作答.
【详解】依题意，，，取得：，
，取，则有，即函数是R上的奇函数，
由得：，因此函数以4为周期的周期函数，①正确；
，因此的图象关于直线x＝1对称，②正确；
因在上是增函数，则在上是增函数，于是得在上是减函数，③正确；
由得：，④正确.
故答案为：①②③④
11．
【分析】解不等式即可求出答案．
【详解】解：由题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对数型函数的定义域的求法，属于基础题．
12．；
【分析】将和5分别代入函数表达式，两式相减即可得结果.
【详解】∵，
∴①，
②，
①②得：，故，
故答案为.
【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．
13．（1）m=2 （2）或 （3）
【分析】（1）利用函数的奇偶性转化求解即可．
（2）利用函数的解析式画出函数的图象，然后求解的取值范围即可．
（3）结合函数的图象求的取值范围．
【详解】解：（1）设，则，，
函数是奇函数，．
．
（2）函数图象如图所示：
当方程只有一解，的取值范围：或，
（3）由图象可知，函数在区间上单调递增，
解得．
故
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的单调性的应用，是中档题．
14．(1)在上单调递减，在上单调递增；证明见解析
(2)
【分析】（1）计算，考虑，和，两种情况，得到函数单调区间；
（2）变换得到，设，计算函数的最大值得到答案.
【详解】（1），则，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
证明：，且，
，
，故，，
当，时，，所以，
故，即，所以函数在上单调递减；
当，时，，所以，
故，即，所以函数在上单调递增.
（2），即，
即，存在，使得成立.
令，，.所以存在，成立.
所以，.
又，所以当时，，
所以，即.
15．（1）图象见解析；（2）存在或满足条件，理由见解析.
【分析】（1）将代入,去绝对值,然后做出函数图象即可;
（2）分,和三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在上的最小值,令其等于8,可求出答案.
【详解】（1）当时,,
图象见下图:
（2）假设存在实数,使得函数在区间上有最小值8,
,.
①当时,,
函数的对称轴为，
在上单调递增,
,解得,符合题意;
②当时,不可能有最小值8（舍去）;
③当时,,
是开口向下的二次函数,对称轴为,
只需比较和的大小,
,
若,,此时在时取得最小值,即,解得,不符合题意,舍去;
若,,此时在时取得最小值,即,解得,符合题意.
综上,或.
【点睛】本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题.
16．(1)奇函数；证明见解析
(2)单调递增区间是：，，单调递减区间是：，
(3)最小值为，最大值为
【分析】（1）利用定义法判断函数的奇偶性；
（2）根据函数的奇偶性及函数在上的单调性，判断函数在定义域内的单调性；
（3）根据函数的单调性求最值即可.
【详解】（1）由函数，定义域为，
则，
所以函数为奇函数；
（2）由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，
又由（1）得函数为奇函数，
所以函数的单调递增区间是：，，单调递减区间是：，；
（3）由（2）得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
又，，
所以函数的最大值为.
