2024-2025学年北京市海淀区育英学校七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．81
2．（3分）不等式2x+1＜x的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在今年的“十一”假期中，多景区客流“爆棚”，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．小明为了解本年级学生的假期出游情况，从年级350名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了60名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ）
A．350名学生是总体
B．样本容量是350
C．60名学生的假期出游时间是样本
D．此调查为全面调查
4．（3分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．ac＜bc C． D．1﹣3a＜1﹣3b
5．（3分）已知是二元一次方程2x﹣y＝0的三个解，，，是二元一次方程x+2y＝5的三个解，则二元一次方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，直线a，b被c，d所截，∠1+∠2＝180°，∠3＝60°，则∠4的度数为（ ）
A．120° B．100° C．60° D．45°
7．（3分）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝3a﹣2b，例如，4*5＝3×4﹣2×5．若实数m满足m*2＜1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为2，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．现把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→B 的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）写出一个解集为x＞1的一元一次不等式： ．
12．（3分）比较大小：
（1） 6；（2） 3．
13．（3分）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ °时，木条a与b平行．
14．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝35°，则∠COB＝ ．
15．（3分）我们知道“对于实数m，n，k，若m＝n，n＝k，则m＝k”，即相等关系具有传递性．小捷由此进行联想，提出了下列命题：①对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c；②对于直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③对于角α，β，γ，若α与β互为邻补角，β与γ互为邻补角，则α与γ互为邻补角；④对于图形M，N，P，若M可以平移到N，N可以平移到P，则M可以平移到P．其中所有真命题的序号是 ．
16．（3分）本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ．
三、解答题（本题共52分，其中第17-19每题4分，第20-23题每题5分，第24题7分，第25题6分，第26题题7分）
17．（4分）计算：．
18．（4分）解不等式：2x+1＜13﹣x．
19．（4分）解方程组：．
20．（5分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（5分）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E．
求证：∠B+∠BCD＝180°．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD∥BC，
∴ ＝∠E（理由： ）．
∵AE平分∠BAD，
∴ ＝ ．
∴∠BAE＝∠E．
∵∠CFE＝∠E，
∴∠CFE＝∠BAE，
∴ ∥ （理由： ）．
∴∠B+∠BCD＝180°（理由： ）．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，1），B（1，﹣2），将线段AB向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到线段A1B1．
（1）在图中画出线段A1B1，并直接写出点A1、B1的坐标；
（2）点M在y轴上，若三角形A1B1M的面积为3，求点M的坐标．
23．（5分）为了了解学生的睡眠情况，我校随机抽取了部分学生，对他们每天的睡眠时间进行了调查，将睡眠时间分为五个小组，A：6.5≤t＜7、B：7≤t＜7.5、C：7.5≤t＜8、D：8≤t＜8.5、E：8.5≤t≤9，其中，t表示学生的睡眠时间（单位：小时），并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 ；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）补全条形统计图；
（4）我校某校区约有学生3600人，请你估计该校区“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有 人．
24．（7分）小勇到某文具店为班级购买奖品．该文具店举办“文具组合”促销活动，具体如下：
A组合：一个笔袋、一支签字笔单价a元B组合：一个笔袋、一副三角板单价b元C组合：一个笔袋、一支签字笔、一副三角板单价33元
已知B组合的单价比A组合的单价多3元，2份A组合和1份B组合共需78元．请回答以下问题：
（1）A，B组合的单价分别是多少元？
（2）若他共购买了8个笔袋、5支签字笔、n副三角板，则他选了 份A组合、 份B组合、 份C组合；（可用含n的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，如果三种组合至少各买1份，而且总费用不超过240元，那么小勇有多少种购买方案，哪种方案总费用最低？
25．（6分）已知，直线AB∥CD，直线EF交AB，CD于点E，F，动点P为平面上一点（点P不在AB，CD，EF上），连接PE，PF．
（1）如图1，当动点P在直线AB，CD之间，且位于直线EF右侧时，
①依题意补全图1；
②猜想∠EPF，∠PEB，∠PFD的数量关系，并证明．
（2）如图2，当动点P在直线AB上方时，直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD的数量关系．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）．
（1）A（0，﹣2），B（1，4），
①μ（A，B）的值是 ；
②点K在x轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 ．
（2）点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ＝6，点M的坐标为（﹣5，0）．
①当点Q的坐标为（0，1）时，求μ（M，PQ）的值；
②当线段PQ在y轴上运动时，直接写出μ（M，PQ）的最小值及此时点P的坐标．
2024-2025学年北京市海淀区育英学校七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D B C A D B C
一、选择题（每题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3，
故选：B．
2．【解答】解：∵2x+1＜x，
∴2x﹣x＜﹣1，
则x＜﹣1，
故选：D．
3．【解答】解：A、350名学生的假期出游时间是总体，故A不符合题意；
B、样本容量是60，故B不符合题意；
C、60名学生的假期出游时间是样本，故C符合题意；
D、此调查为抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：A、∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，
故A不符合题意；
B、∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴＞，
故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，
∴1﹣3a＜1﹣3b，
故D符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：由二元一次方程组的解的定义可知，这个方程组的解为，
故选：B．
6．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，
∴a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝60°，
∴∠4＝60°，
故选：C．
7．【解答】解：依题意得：，
故选：A．
8．【解答】解：根据题中的新定义化简得：3m﹣4＜1，
移项得：3m＜5，
解得：m＜．
故选：D．
9．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为3，
∴，
∵AD＝AE，
∴AE＝，
∵点A坐标为2，
∴点E表示的数为：，
故选：B．
10．【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴四边形ABCD的周长为10，
2025÷10的余数为5，
又∵AB＝2，BC＝3，
∴细线另一端所在位置的点在C处，坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．【解答】解：移项，得x﹣1＞0（答案不唯一）．
故答案为x﹣1＞0．
12．【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：＞；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：＜．
13．【解答】解：当∠2＝70°时，a∥b，
∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1，
∴a∥b，
故答案为：70．
14．【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
又∠EOD＝35°，
∴∠DOB＝90°﹣35°＝55°，
∵∠COB与∠DOB互补，
∴∠COB＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
15．【解答】解：①对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c．正确．
②对于直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，不一定成立，成立的条件是在同一平面内．
③对于角α，β，γ，若α与β互为邻补角，β与γ互为邻补角，则α与γ相等或互补，结论不一定成立．
④对于图形M，N，P，若M可以平移到N，N可以平移到P，则M可以平移到P．正确，
故答案为：①④．
16．【解答】解：∵甲共当裁判8局，
∴乙、丙之间打了8局，
又∵乙、丙分别进行了12局、11局比赛，
∴乙与甲打了12﹣8＝4局，丙与甲打了11﹣8＝3局，
∴甲、乙、丙三人共打了4+3+8＝15局，
∵甲共当裁判8局，而从1到15共8个奇数，7个偶数，
∴乙当裁判的局为奇数局，
∴最后一局比赛的裁判是甲，
故答案为：15，甲．
三、解答题（本题共52分，其中第17-19每题4分，第20-23题每题5分，第24题7分，第25题6分，第26题题7分）
17．【解答】解：
＝3+2+﹣1
＝4+．
18．【解答】解：2x+1＜13﹣x，
2x+x＜13﹣1，
3x＜12，
x＜4．
19．【解答】解：由方程2x﹣y＝7，得：y＝2x﹣7，
将y＝2x﹣7代入3x+2y＝0，得：3x+2（2x﹣7）＝0，
解得：x＝2，
将x＝2代入y＝2x﹣7得：y＝﹣3，
∴原方程组的解为：．
20．【解答】解：由题知，
解不等式4x≥3x﹣1得，x≥﹣1；
解不等式得，x＞﹣4，
所以不等式组的解集为：x≥﹣1．
数轴表示如下：
．
21．【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E（理由：两直线平行，内错角相等），
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E．
∵∠CFE＝∠E，
∴∠CFE＝∠BAE，
∴AB∥CD（理由：同位角相等，两直线平行）．
∴∠B+∠BCD＝180°（理由：两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：∠DAE；两直线平行，内错角相等；∠DAE；∠BAE；AB；CD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
22．【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求．
由图可得，A1（0，2），B1（﹣3，﹣1）．
（2）设点M的坐标为（0，m），
∵三角形A1B1M的面积为3，
∴＝3，
解得m＝0或4，
∴点M的坐标为（0，0）或（0，4）．
23．【解答】解：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为30÷30%＝100；
故答案为：100；
（2）∵m%＝20÷100×100%，n%＝25÷100×100%，
∴m＝20，n＝25；
故答案为：20，25；
（3）C组学生数为：100×20%＝20（人），
补全条形统计图如下，
（4）估计该校区“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有：3600×（30%+5%）＝1260（人）；
故答案为：1260．
24．【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：A组合的单价是25元，B组合的单价是28元．
（2）∵三种组合均含有一个笔袋，
∴三种组合共买了8份．
∵只有B组合不含签字笔，签字笔比笔袋少买了8﹣5＝3（个），
∴B组合买了3份；
∵B，C组合均含有一副三角板，三角板共需买n副，
∴C组合买了（n﹣3）份，
∴A组合买了8﹣3﹣（n﹣3）＝（8﹣n）份．
故答案为：（8﹣n）；3；（n﹣3）．
（3）依题意得：，
解得：4≤n≤．
又∵n为整数，
∴n可以取4，5，6，
∴小勇有3种购买方案．
设小勇共花了w元，则w＝25（8﹣n）+28×3+33（n﹣3）＝8n+185，
∵8＞0，
∴w随n的增大而增大，
∴当n＝4时，w取得最小值．
答：小勇有3种购买方案，购买4份A组合、3份B组合、1份C组合时，总费用最低．
25．【解答】解：（1）①如图1所示：
②∠EPF＝∠PEB+∠PFD．
如图，过P作PG∥AB，则PG∥CD，
∴∠PEB＝∠EPG，∠PFD＝∠FPG，
∴∠PEB+∠PFD＝∠EPG+∠FPG，即∠EPF＝∠PEB+∠PFD．
（2）如图2﹣1，当点P在直线AB上方，EF的左侧时，∠EPF＝∠PEB﹣∠PFD．
证明：过P作PG∥AB，则PG∥CD，
∴∠PEB＝∠EPG，∠PFD＝∠FPG，
∴∠EPF＝∠EPG﹣∠FPG＝∠PEB﹣∠PFD．
如图2﹣2，当点P在直线AB上方，EF的右侧时，∠EPF＝∠PFD﹣∠PEB．
证明：过P作PG∥AB，则PG∥CD，
∴∠PEB＝∠EPG，∠PFD＝∠FPG，
∴∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG＝∠PFD﹣∠PEB．
26．【解答】解：（1）∵A（0，﹣2），B（1，4），
∴dx＝|x1﹣x2|＝|0﹣1|＝1，dy＝|y1﹣y2|＝|﹣2﹣4|＝6，
则μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|1﹣6|＝5，
故答案是5．
（2）∵B（1，4），点K在x轴上，设K（x，0），
∴dx＝|x1﹣x2|＝|1﹣x|，dy＝|y1﹣y2|＝|4﹣0|＝4，
∵μ（B，K）＝0，
∴μ（B，K））＝|dx﹣dy|＝||1﹣x|﹣4|＝0，
∴1﹣x＝4或1﹣x＝﹣4，解得，x＝﹣3或x＝5，
∴K的坐标是 （﹣3，0）或（5，0）．
故答案是（﹣3，0）或（5，0）．
（2）①∵点P、Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ＝6，点Q的坐标为（0，1），
∴点P的坐标为（0，7），
设点T（0，t）为线段PQ上任意一点，则1≤t≤7；
∵点M的坐标为（﹣5，0），
∴dx＝5，dy＝t，
∴μ（M，T）＝|dx﹣dy|＝5﹣t；
由|1≤t≤7，可得﹣2≤5﹣t≤4；
∴0≤μ（M，T）≤4，
∴μ（M，PQ）的最大值是4，
∴μ（M，PQ）＝4．
②∵μ（M，PQ）＝μ（M，P）或μ（M，Q），
设点Q（0，t），则P（0，t+6），
∴μ（M，Q）＝|5﹣|t||，μ（M，P）＝|5﹣|t+6||，
∵当μ（M，P）＝μ（M，Q）时，μ（M，PQ）有最小值，
即|5﹣|t||＝|5﹣|t+6||时，μ（M，PQ）有最小值，
∴t＝2或﹣8或﹣3（﹣3舍去），则μ（M，PQ）有最小值为3，
∴点P的坐标为（0，8）或（0，﹣2），
∴μ（M，PQ）的最小值是3，此时点P的坐标是（0，8）或（0，﹣2）．
