2024一2025学年（下）高三年级开学质量检测
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.B
2.A
3.C
4.D
5.C
6.B
7.C
8.A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分.
9.BCD
10.AC
11.BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
2号
13.6
14.1)6(2)号
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.解析(1)由题可得/1)）=-1(x)=二++2(1)）=2，…(3分)
故曲线y=f(x)在点(1f(1))处的切线方程为y+1=2(x-1),即2x-y-3=0.…(5分)
(Ⅱ）由题可得f代x）的定义域为(0，+的).…(6分)
由(1)可得”(x)=二+x+2.-(x+1)(x-2
x
令f'(x)=0,可得x=2.
(8分)
故当0
当x>2时(x)<0,代x)在区间(2，+%)上单调递减。…
(11分)
又当x趋向于0或+时，(x)趋向于-，
故).=2)=1-子+h之=子-1h2,无最小值
…(13分)
16解折（1方法一：由题可知+风+2兮解得m=4
(2分)
记事件A,:摸出黑球，事件A2:摸出黑白相间的球，事件B:摸出的球上带有黑色，
则P(A)=0=号P(4)=品=写P(B)=P(4,)+P(A)=
3
5
…(4分)
1
故所求概率为P=P(A,IB)=PB)
P(A2B)51
…(6分)）
3
=3·
方法二：由题可知片+2=写解得m三4.………(2分）
因为带有黑色的球共有4+2=6个，黑白相间的球有2个，
故所求概率为P=。子
(6分)
(Ⅱ)由题可知X的所有可能取值为0,1,2，…
(8分)
Pr:0品×号-安
644.68
P(X=1)=0×9+i0×9=i5
P(X=2)=10×9=i5
432
(11分)
故X的分布列为
X
0
1
2
1
8
2
15
(13分)
0=0x+1x+2x=
4
(15分)
17.解析（1)由题可知离心率=√1+京
,解得a=2,
1-5
(2分)
所以C的方程为-=
(4分)
(Ⅱ）由(I）可知A(4,0).…(5分)
易知1的斜率不为0，设P(x,y,),Q(,2）,1的方程为x=my+4.
(6分)
联立C与1的方程可得(m2-4)y2+8my+12=0,
由根与系数的关系可知，水+2=-
8m
m2-4y2=
12
m2-41
(9分)
则2my1y2=-3(1+y2).
(10分)
由题可知M(-2,0),N(2,0),
(11分)
因此。+2-(3-2》-(m5+2)-m+2
k0h(名+2)2(m,+6)my2+6y
x2-2
3
1
3
-2(%+%)+2y
2-2
1
3
9-
3
…(15分)
2（+)+6y2
21+22
18.解析(【)设圆柱的底面半径和高分别为r,h
[nrh =4 3T,
由题可知
…(3分）
2πrh=43π，
解得r=2,h=√3，
2“名校教研共同体”
2024—2025学年（下）高三年级开学质量检测
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限` D．第四象限
3．若椭圆C：的离心率为，则（ ）
A．3 B．2 C． D.
4．设等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－4
5．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点E，H，则EH长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．新能源汽车具有环保、效率高、使用成本低等优点，国家对新能源汽车提供了多种政策支持．有7种新能源汽车在2024年12月的销售量（单位：千辆）如下：31，6，12，19，17，16，11，则该组数据的（ ）
A．极差为27 B．75%分位数为19
C．平均数为16 D．中位数为16
10．已知点P到点的距离与点P到y轴的距离的差为定值m，记动点P的轨迹为曲线C，则（ ）
A．当时，C由抛物线和x轴的负半轴构成
B．当时，C关于原点中心对称
C．当时，C为轴对称图形
D．当时，C是由两部分抛物线构成的封闭图形
11．将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中O为中间六边形的中心，且．设点T是图中所有正六边形中的任意一个顶点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．存在T，使得
C．若，则的所有取值的和为0
D．若，则的取值集合为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______．
13．已知函数的图象关于点对称，则______．
14．某校为弘扬“顽强拼搏的马拉松”精神，举办了5千米长跑比赛，若包含甲、乙在内的共6名同学进入了决赛，通过赛后成绩得知，其中没有名次并列的情况，甲不是第一名，且甲和乙的名次之差的绝对值为2．（1）若甲的名次为偶数，则这6名同学的名次排列情况共有______种；（2）甲和乙的名次之和为10的概率为______.（本题第一空3分，第二空2分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的最值．
16．（15分）在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．
（Ⅰ）从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；
（Ⅱ）从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．
17．（15分）已知双曲线C：的离心率为，左、右顶点分别为M，N，过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）证明直线MP与NQ的斜率之比为定值．
18．（17分）如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O．
（Ⅰ）求圆柱的高；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．
19．（17分）将数列，，，，…，，（其中在前面，）称为数列，，…，，，，…，的“第1次重排数列”，照此规律，将数列，，…，，，，…，进行n次重排后得到的数列称为“第n次重排数列”．例如，数列1，2，3，4的第1次重排数列是3，1，4，2；第2次重排数列是4，3，2，1．
（Ⅰ）直接写出数列1，2，3，4，5，6，7，8的第1，3，6次重排数列．
（Ⅱ）若递增数列，，…，，，，…，共含有项，且．
（i）设该数列的第k项在下一次的重排数列中为第项，求关于k和m的关系式；
（ii）将该数列的第m次重排数列记为，，…，，，，…，，猜想该数列与原数列有什么关系，并利用你猜想的结论证明：．
