内蒙古呼和浩特市回民区 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点 (1, 2)和点 ( 1, 4)的直线的倾斜角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
2.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
3.在四面体 中，点 为线段 靠近 的四等分点， 为 的中点，若 =
+ + ，则 + + 的值为( )
3
A.
2
B. 1
1
C.
4
1
D.
3
2
4.已知某同学在高二期末考试中， 和 两道选择题同时答对的概率为 ，在 题答对的情况下， 题也答对
3
8
的概率为 ，则 题答对的概率为( )
9
1 3 1 7
A. B. C. D.
4 4 2 9
5.下列说法正确的是( )
A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数 的值越接近于1
B. 回归直线方程为 = 0.3 0.7 时，变量 和 负相关
C. 在回归直线方程 = 0.4 + 0.5 中，当 每增加1个单位时，相应观测值 增加0.5个单位
D. 由样本数据得到的回归直线 = + 至少经过点( 1, 1)，( 2, 2)， ，( , )中的一个
6.在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = = 1 = 2， 为 1 1的中点，则 1与 所成角
的余弦值是( )
√ 30 √ 15 1 √ 15
A. B. C. D.
10 15 2 10
7.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格.阅卷结果显示，全年级1200名学
生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.49，标准差为22，则该次
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数学考试及格的人数约为( )附：若 ( , 2)，记 ( ) = ( ≤ ≤ + )，则 (0.75) ≈ 0.547，
(1) ≈ 0.683．
A. 136人 B. 272人 C. 328人 D. 820人
2 2
8.设双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过坐标原点的直线与 交于 ， 两
点．| 1 | = 2| 1 |, 2 2 = 4
2，则 的离心率为( )
A. √ 2 B. 2 C. √ 5 D. √ 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是( )
A. 若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B. 若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C. 若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D. 若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
10.已知抛物线 ： 2 = 8 的焦点为 ，准线为 ，直线 与 轴交于点 ，过点 的直线与抛物线 交于 ( 1, 1)，
( 2, 2)两点， 为坐标原点，则( )
A. 若 + = 8，则| | = 12 B. 1 2 = 27
1 1 1
C. + = D. △ 面积的最小值为16
| | | | 2
11.一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中
有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中
的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定
患病者为止.则( )
2
A. 最多需要检测4次可确定患病者 B. 第2次检测后就可确定患病者的概率为
7
2
C. 第3次检测后就可确定患病者的概率为 D. 检测次数的期望为3
7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为______. (
用数字作答)
13.已知圆 ： 2 + 2 2 4 4 = 0， 为直线 ： + + 2 = 0上一点，过点 作圆 的两条切线，切点
分别为 和 ，则四边形 的面积的最小值为______．
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14.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉
板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的
每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概
率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了
一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到
下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚
下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率
是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2 1)10 = 0 +
2 3 10
1 + 2 + 3 + + 10 ， ∈ ．
(1)求 3的值；
(2)求 1 + 2 + 3 + + 10的值；
(3)求| 0| + | 1| + | 2| + + | 10|的值．
16.(本小题15分)
某省采用“3 + 1 + 2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理
和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门.为了研究高一年级学生的
选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生中随机抽取200人进行调查，整理得到如下列
联表：
是否选择生物
选科类别 合计
选择生物 不选择生物
物理类 100 60 160
历史类 15 25 40
合计 115 85 200
(1)依据小概率值 = 0.01的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联？
(2)现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人
参加生物竞赛，求这3人中，选择生物的人数 的分布列和数学期望．
2
附： 2
( )
= ．
( + )( + )( + )( + )
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0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题15分)
某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，
2
就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为 ，假
3
设每场比赛的结果相互独立．
(1)求甲以3：1获胜的概率；
(2)设比赛场数为 .试求 的分布列及数学期望 ( )；
(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，且 = 2， = 1， = 2√ 2， = 2， ⊥ ，
为 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
4√ 5
(3)若点 在线段 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离．
15
19.(本小题17分)
已知动圆 经过定点 1( √ 3, 0)，且与圆 2：( √ 3)
2 + 2 = 16内切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)设轨迹 与 轴从左到右的交点为点 ， ，点 为轨迹 上异于 ， 的动点，设直线 交直线 = 4于点 ，
连接 交轨迹 于点 ；直线 ， 的斜率分别为 ， ．
( )求证： 为定值；
( )设直线 ： = + ，证明：直线 过定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】180
3√ 14
13.【答案】
2
8
14.【答案】
81
15.【答案】解：(1) 8 =
7
10(2 )
3( 1)7 = 960 3，所以 3 = 960．
(2)令 = 0，得 0 = 1，
令 = 1，得 0 + 1 + 2 + 3+. . . +
10
10 = ( 1) = 1，
所以 1 + 2 + 3+. . . + 10 = 0．
(3)因为展开式的通项为： 10 +1 = 10(2 ) ( 1) ，
所以当 为奇数时，项的系数为负数．| 0| + | 1| + | 2|+. . . +| 10| = 0 1 + 2 . . . + 10，
令 = 1，得| 0| + | 1| + | 2|+. . . +|
10
10| = 0 1 + 2+. . . + 10 = 3 ．
16.【答案】解：(1)零假设为 0：选科类别与选生物无关联，
2
2 200×(100×25 15×60) 3200因为 = = ≈ 8.18 > 6.635，
115×85×160×40 391
所以依据小概率值 = 0.01的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.01；
100 60
(2)若选择生物的人抽取8 × = 5人，不选择生物的人抽取8 × = 3人，
160 160
此时 的所有可能取值为0，1，2，3，
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3 1 1× 2 15
所以 ( = 0) = 33 = ， ( = 1) =
5 3
3 = ， 8 56 8 56
2× 1 30 3 10
( = 2) = 5 33 = ， ( = 3) =
5
3 = ， 8 56 8 56
则 的分布列为：
0 1 2 3
1 1530 10
56 5656 56
1 15 30 10 105 15
故 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = = ．
56 56 56 56 56 8
17.【答案】解：(1)若甲以3：1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2：1，
2
因为甲每局获胜的概率为 且每场比赛的结果相互独立，
3
2 2 1 2 24所以甲以3：1获胜的概率 = 23 ( ) ( ) ( ) = ． 3 3 3 81
(2)因为比赛场数为 ，
所以 的所有可能取值为3，4，5，
1 3 2 9 1所以 ( = 3) = ( ) + ( )3 = = ，
3 3 27 3
( = 4) = 2
2 2 1 2 1 2 1 10
3 ( ) × ( ) × ( ) +
2( )23 × ( ) × ( ) = ， 3 3 3 3 3 3 27
2 1 8
( = 5) = 2 2 24 ( ) × ( ) = ， 3 3 27
则 的分布列为：
3 4 5
110 8
327 27
1 10 8 107
故 ( ) = 3 × + 4 × + 5 × = ；
3 27 27 27
(3)若选择“五局三胜制”，
此时甲会以3：0、3：1、3：2获胜，
2 2 1 2 2 1
所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率 = ( )3 + 2( )2( ) ( ) + 2( )2( )2
2 64
3 ( ) = ； 3 3 3 3 4 3 3 3 81
若选项“三局两胜制”，
此时甲会以2：0、2：1获胜，
2 2 1 2 20 60
所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率 = ( )2 + 1( )( ) ( ) = = ，
3 2 3 3 3 27 81
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64 60
因为 > ．
81 81
所以甲应该采用“五局三胜制”．
1
18.【答案】(1)证明：因为 // ， = = 1 = ，
2
所以四边形 是平行四边形，
因为 ⊥ ，所以平行四边形 是矩形，则 ⊥ ．
因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ， 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
(2)解：由(1)可知 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，即 ， ， 两两垂直，
故以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,1,0)， (2√ 2, 0,0)， (2√ 2, 1,0)， (2√ 2, 1,0)， (0,0,2)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，而 = (0,0,2)， = (2√ 2, 1,0)，
所以{ = 2 = 0 ，令 = 1，则 = (1,2√ 2, 0)，
= 2√ 2 = 0
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，而 = (0, 2,0)， = (2√ 2, 1, 2)，
所以{ = 2 = 0 ，令 = 1，则 = (1,0, √ 2)，
= 2√ 2 + 2 = 0
记平面 与平面 的夹角为 ，则0 ≤ ≤ ，
2
| | |1+0+0| √ 3
所以 = |cos , | = = = ，
| || | √ 1+8×√ 1+2 9
所以平面 与平面 夹角的余弦值为√ 3．
9
(3)解：依题意，不妨设 = (0 ≤ ≤ 2)，则 = (0,0, )， = ( 2√ 2, 1, )，
又由(2)得平面 的一个法向量为 = (1,2√ 2, 0)，
记直线 与平面 所成角为 ，
| | | 2√ 2 2√ 2| 4√ 5
所以 = |cos ,
| = = =
| || | 15 ， 2
√ 1+8×√ 8+1+
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解得= 1(负值舍去)，
所以 (0,0,1)，则 = (0,0,1)，
而由(2)得平面 的一个法向量为 = (1,0, √ 2)，
| | |√ 2| √ 6
所以点 到平面 的距离为 = = ．
| | √ 1+2 3
19.【答案】解：(1)设动圆的半径为 ，由题圆心 2(√ 3, 0)，半径 = 4，
显然点 1( √ 3, 0)在圆 2内，则| 2| = = 4 | 1|，
于是| 1| + | 2| = 4 > 2√ 3 = | 1 2|，
因此动点 的轨迹 是以 1， 2为焦点，长轴长为4的椭圆，
长半轴长 = 2，半焦距 = √ 3，则短半轴长 = √ 2 2 = 1，
2
所以轨迹 的方程为 + 2 = 1；
4
(2)( )证明：如图，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， (4, )，
21 1显然有 + 21 = 1，即
2
1 = (4
2
1 )，
4 4
由(1)知 ( 2,0)， (2,0)，
0
显然 =
1 ， = +2 = = ， 1 4 ( 2) 6
2
而 =
1 1
= = = 1 2 2
，则 ，
1 2
2
所以 1 1 1 1 = = = +2 6 2 1 1+2 3( 1 2) 3( 1 4)
1
(4 21) 1= 4 = ，为定值；
3( 21 4) 12
= +
( )证明：联立{ 2 2 ，化简得(
2 + 4) 2 + 2 + 2 4 = 0，
+ 4 = 4
则 = 4 2 2 4( 2 + 4)( 2 4) = 16( 2 + 4 2) > 0，即 2 + 4 > 2，
2 2 4
由( )得 1 + 2 = 2 , = ， +4 1 2 2+4
1
又 = ， 12
1
则
2 = 1 2
1+2 2+2 ( 1+ +2)( 2+ +2)
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1 = 2 2
2 1 2+ ( +2)( 1+ 2)+( +2)
2 4
=
2+4
2 4 2 2 ( +2) 2
2 2 2 +( +2) +4 +4
2 4 1
= = ，
4 2+16 +16 12
解得： = 1，满足 > 0，
因此直线 的方程为 = + 1，
所以直线 过定点(1,0)．
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