吉林省蛟河实验中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ，√ 4 + 1 > 0”的否定是( )
A. ∈ ，√ 4 + 1 ≤ 0 B. ∈ ，√ 4 + 1 ≤ 0
C. ∈ ，√ 4 + 1 > 0 D. ，√ 4 + 1 ≤ 0
2.已知集合 = { | = √ 1}, = { | = 2(2 )}，则 ∩ =( )
A. [0,1] B. [1,2) C. [1,2] D. [0,2)
1
3.已知 ∈ ，则“ > 1”是“ < 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4
4.已知函数 ( ) = 2 ，下列区间中包含 ( )零点的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,4) D. (4,5)
5.若 = 20.3， = log 30.32， = 0.3 .则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是( )
1
A. = 3 B. = 5 C. = log2 D. =
7.函数 ( ) = log2(
2 1)的单调递减区间为( )
A. ( ∞, 0) B. ( ∞, 1) C. (0, 1) D. (1, +∞)
8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
1
休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数 ( ) = 的图象大致
2
为( )
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A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
1
A. 15° 15° =
2
3 7√ 2
B. 若 = , 是第四象限角，则cos( + ) =
5 4 10
12
C. 若角 的终边上有一点 ( 12,5)，则 =
13
22．5° 1
D.
1 tan2
=
22.5 2
10.下列四个命题正确的有( )
A. 函数 = 1 + 1( > 0且 ≠ 1)恒过点(1,2)
3
B. 若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为
6 2 2
C. 函数 ( ) = sin(2 + )是奇函数，则 的一个可能取值为
2
D. 函数 = | |是周期函数，最小正周期是
11.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )的部分图象如图
所示，则( )
A. 将函数 ( )的图象向右平移 个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍得到
12
= 2 函数的图象
7
B. 函数 ( )的图象关于 = 对称
12
C. 函数 ( )的图象关于( , 0)对称
3
5
D. 函数 ( )在[ , ]上单调递增
2 6
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = tan( + ) + 2的定义域是______．
6
1 1
13.( )3 + 35 315 = ______． 27
2 2 , 0
14.设函数 ( ) = {| |, > 0 ，已知 < < < ，且 ( ) = ( ) = ( ) = ( )，则 ( ( + )) = 1
3
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
+
已知 = 3．
sin cos
(1)求 的值；
3
cos(4 ) sin( ) cos( + )
(2)若 < < 2 ，求 2 2 的值．
sin( + ) sin( )
2
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log2 .
(1)设函数 ( )是定义域在 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = ( )，求函数 ( )的解析式．
2
(2)设不等式2 + ≤ 43 2的解集为 ，当 ∈ 时，求函数 ( ) = log2 的值域．
17.(本小题12分)
已知关于 的不等式 2 3 + 2 > 0的解集为{ | < 1，或 > }．
(1)求 ， 的值;
(2)当 > 0， > 0，且 + = 1时，有2 + ≥ 2 + + 2恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = ( ∈ )． 2 +1
(1)用定义证明：不论 为何实数， ( )在 上为增函数；
(2)若 ( )为奇函数，求 的值；
(3)在(2)的条件下，求 ( )在区间[1,5]上的最小值．
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19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 4 ( + ) 1．
6
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)求 ( )在区间[ , ]上的最大值和最小值以及相应的 的值．
6 4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | ≠ + , ∈ }
3
2
13.【答案】
3
14.【答案】0
15.【答案】解：(1)由题意可得， ≠ 0，
+ +1
则 = = 3，
sin cos tan 1
解得 = 2．
(2)由(1)知 = 2，
3
cos(4 ) sin( ) cos( + )
又由 2 2
( )
= =
sin( + ) sin( ) cos ( sin )
2
3
因为 < < 2 ，且 = 2，所以 < < ，
2
故 = 2 ，sin2 + cos2 = 1， < 0，
√ 5
解得 = ，
5
3
cos(4 ) sin( ) cos( + )
所以 2 2
√ 5
= ．
sin( + ) sin( ) 5
2
16.【答案】解：(1)因为 ( )是定义域在 上的奇函数，
当 > 0时， ( ) = ( ) = log2 ，
当 < 0时， > 0，则 ( ) = ( ) = ( ) = log2( )．
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当 = 0时， ( ) = 0．
2 , > 0
故 ( ) = {0, = 0 ；
2( ), < 0
2(2)由2 + ≤ 43 2 = 26 4得 2 + ≤ 6 4，
即 2 5 + 4 ≤ 0，
解得1 ≤ ≤ 4，故 = [1,4]，
函数 ( )在[1,4]上单调递增，所以该函数值域为[0,2]．
17.【答案】(1)因为不等式 2 3 + 2 > 0的解集为{ | < 1或 > }，
所以1和 是方程 2 3 + 2 = 0的两个实数根且 > 0
3
1 + = = 1
所以{ ，解得{ ．
2
= = 2
= 1 1 2
(2)由(1)知{ ，于是有 + = 1，
= 2
1 2 4 4
故2 + = (2 + )( + ) = 4 + + ≥ 4 + 2√ = 8，(当 = 2， = 4时等号成立)
依题意有 2 + + 2 ≤ 8，即 2 + 6 ≤ 0，
解得 3 ≤ ≤ 2．
所以 的取值范围为[ 3,2]．
1
18.【答案】解：(1)证明：因为函数 ( ) = ，定义域为 ， 2 +1
1 1 2 1 2 2
任取 1、 2 ∈ ，且 1 < 2，则 ( 1) ( 2) = ( ) ( ) = ， 2 1+1 2 2+1 (2 1+1)(2 2+1)
因为 1 < 2，所以2
1 < 2 2，所以2 1 2 2 > 0，所以2 1 + 1 > 0，2 2 + 1 > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，所以 ( )在 上为增函数，
即不论 为何实数， ( )在 上为增函数；
1 1
(2)若 ( )为定义域 上的奇函数，则 (0) = 0，即 = 0，解得 = ；
1+1 2
1 1
(3)因为 ( ) =
2 2
在定义域 上是单调增函数，
+1
所以 ( )在区间[1,5]上单调递增，
1 1 1
所以 ( )的最小值为 (1) = = ．
2 2+1 6
√ 3 1
19.【答案】解：(1) ∵ ( ) = 4 ( + ) 1
2 2
= √ 3 2 + 2 2 1 = √ 3 2 + 2 = 2 (2 + )，
6
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2
∴ = = ，
2
∴ ( )的最小正周期为 ；
(2) ∵ ≤ ≤ ，
6 4
2
∴ ≤ 2 + ≤ ，
6 6 3
∴当2 + = ，即 = 时， ( )取得最大值2；
6 2 6
当2 + = ，即 = 时， ( )取得最小值 1．
6 6 6
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