2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．（3分）我国古代《九章算术》有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向东走6步记作+6步，那么向西走8步记作（ ）
A．﹣8步 B．+8步 C．+14步 D．﹣2步
2．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约4900mL．数据4900用科学记数法表示为（ ）
A．0.49×104 B．4.9×104 C．4.9×103 D．49×102
4．（3分）下列几何体中，左视图和其他三个不同的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）方程＝的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝1
6．（3分）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）下列各选项为某同学得出的关于二次函数y＝﹣x2+4x+5的性质的结论，其中不正确的是（ ）
A．方程﹣x2+4x+5＝0的解是x1＝﹣1，x2＝5
B．开口向下
C．与y轴交点坐标为（0，5）
D．顶点坐标为（2，5）
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径作弧，两弧分别交于E、F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC＝4，△ABC的面积为12，则BM+MD的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为150°时，扇面面积为S；该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若，则m与n关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：2x2﹣50＝ ．
13．（3分）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
14．（3分）不等式组的解集是 ．
15．（3分）一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠BAC＝35°，则∠ADO的度数为 ．
17．（3分）定义新运算：a※b＝a（b+1），则（x﹣1）※x的运算结果为 ．
18．（3分）把一张半径为3的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弦AB的长是 ．
19．（3分）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m2＝6，则的值是 ．
20．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H，有如下结论：①∠CFH＝30°；②；③△CFH的周长等于AB的长；④S菱形ABCD＝4S△ABF，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分；25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣3tan45°．
22．（7分）如图，这是4×5的正方形网格，小正方形的顶点为格点，请仅用无刻度的直尺完成下面作图，作图过程与作图结果均用实线表示．
（1）在图中画等腰直角△ABC，使点C在格点上，并写出△ABC的面积；
（2）画出等腰直角△ABC的中线BD，保留作图痕迹．
23．（8分）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）通过计算将图①中的条形统计图补充完整；
（3）根据抽样结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．
24．（8分）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使AO＝OD，延长CO到E，连接ΛE、ED、CD、AC，且AE＝CD．
（1）求证：四边形AEDC是菱形；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四个三角形，使写出的每个三角形与△ABC全等．
25．（10分）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，点A坐标（﹣6，0），点C坐标．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，点D在线段AB上，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得到线段DM，连接BM，设点D的横坐标为t，点M的横坐标为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△AOD沿OD翻折得到△EOD，点F在MB的延长线上，连接EF、BE、OF，∠EBD＝∠BOF，EF＝OF，OF交抛物线于点N，求直线MN的解析式．
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． B C D A C D D D A
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果向东走6步记作+6步，那么向西走8步记作﹣8步．
故选：A．
2．【解答】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；
B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意；
C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意；
故选：B．
3．【解答】解：4900＝4.9×103．
故选：C．
4．【解答】解：A，B，C选项的左视图都是；
D选项的左视图是．
故选：D．
5．【解答】解：＝，
2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的根，
故选：A．
6．【解答】解：第①个图案中有2个菱形，
第②个图案中有5个菱形，
第③个图案中有8个菱形，
第④个图案中有1+3×（4﹣1）+1＝11个菱形，
……，
∴第n个图案中有1+3（n﹣1）+1＝3n﹣1个菱形，
∴第⑧个图案中菱形的个数为3×8﹣1＝23，
故选：C．
7．【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴EC＝AC＝×10＝6．
故选：D．
8．【解答】解：A．解方程﹣x2+4x+5＝0得x1＝﹣1，x2＝5，所以A选项不符合题意；
B．因为a＝﹣1＜0，则抛物线开口向下，所以B选项不符合题意；
C．当x＝0时，y＝﹣x2+4x+5＝5，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，5），所以C选项不符合题意；
D．因为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，则抛物线的顶点坐标为（2，9），所以D选项符合题意；
故选：D．
9．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，如图，连接AM，连接AD，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD，
∴AD＝＝6，
∵EF垂直平分线段AB，
∴MA＝MB，
∴MB+MD＝AM+MD≥AD＝6，
∴BM+DM的最小值为6，
故选：D．
10．【解答】解：设扇面所在圆的半径为r．
根据题意，得S＝πr2，Sn＝πr2，
则m＝＝，
∵m与n之间为反比例关系，
∴m与n关系的图象是双曲线中位于第一象限的一支，
∴A符合题意．
故答案为：A．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．【解答】解：由题意得x﹣7≠0，
解得x≠7．
故答案为：x≠7．
12．【解答】解：2x2﹣50
＝2（x2﹣25）
＝2（x+5）（x﹣5）．
故答案为：2（x+5）（x﹣5）．
13．【解答】解：∵l F＝1600×0.5，
∴，
故答案为：．
14．【解答】解：，
由①得，x≤﹣3；
由②得，x＜﹣1，
故此不等式组的解集为：x≤﹣3．
故答案为：x≤﹣3．
15．【解答】解：树状图如图所示，
由上可得，一共存在4种等可能性，其中两次标号之和为3的可能性有2种，
∴两次标号之和为3的概率为＝，
故答案为：．
16．【解答】解：连接OC，
∵∠BAC＝35°，
∴∠DOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°，
∵∠B＝90°，⊙O与BC相切于点C，
∴BC⊥AB，BC⊥OC，
∴AB∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC＝70°，
故答案为：70°．
17．【解答】解：由题意得：（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
故答案为：x2﹣1．
18．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，
由折叠的性质、圆的性质可得：OE＝OA＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB，
在Rt△OAE中，AO2＝EO2+AE2，
∴32＝（）2+AE2，
∴AE＝（负值已舍），
∴AB＝3，
故答案为：3．
19．【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1，
∵m2＝6，
∴m＝，
当m＝时，a+b++m＝0+；
当m＝﹣时，a+b++m＝0+；
故答案为：或0．
20．【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠D＝∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∵E是CD边的中点，
∴∠AED＝∠GEH＝90°，
∵将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，
∴∠G＝∠ABC＝60°，
∴∠CHF＝∠GHE＝30°，
∵∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠CFH＝30°，故①正确；
∵∠AED＝90°，∠D＝60°，
∴DE＝＝AE，
∴；故②正确；
设AC与FG交于M，
∵∠CHM＝30°，∠HCM＝60°，
∴∠CMH＝90°，
∴AC⊥FG，
∴AM＝AG，
∵AE＝AD，
∴AM＝AE，
∵AC＝AB＝AG，
∴CM＝EG，
∴△CMH≌△GEH（AAS），
∴CH＝HG，
∴CH+HF＝HG+HF＝FG＝BF，
∴AB＝BC＝BF+CF＝FG+CF＝△CFH的周长，
即△CFH的周长等于AB的长，故③正确；
过A作AN⊥BC于N，
∴∠ANF＝∠AMF，
∵∠AFN＝∠AFM，AF＝AF，
∴△ANF≌△AMF（AAS），
∴FN＝FM，
∴FN＝FM＝CF，
∴CN＝BN＝（1+）CF，
∴BC＝2CN＝（2+）CF，BF＝BN+FN＝（1++）CF，
∴S△ABF：S△ABC＝，
∴S△ABF：S四边形ABCD＝．
∴S菱形ABCD＝4S△ABF，故④正确，
故答案为：①②③④．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分；25～27题各10分，共计60分）
21．【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝tan60°﹣3tan45°＝﹣3×1＝﹣3时，原式＝＝．
22．【解答】解：（1）如图，等腰直角△ABC即为所求．
△ABC的面积为＝＝．
（2）如图，取AC的中点D，连接BD，
则BD即为所求．
23．【解答】解：（1）9÷15%＝60（名），
答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；
（2）D类人数为：60﹣6﹣18﹣9﹣12＝15（名），
补全条形图如图：
（3）800×＝240（名），
答：估计选择项目B（乒乓球）的人数为240名．
24．【解答】（1）证明：∵四边形AOCB是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOE＝∠COD＝90°，
在Rt△AOE与Rt△DOC中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△DOC（HL），
∴AO＝OD，OE＝OC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∵AD⊥CE，
∴四边形AEDC是菱形；
（2）解：∵AO＝OD，OE＝OC，∠AOE＝∠AOC＝∠DOE＝∠DOC＝90°，
∴△AOE≌△DOE≌△DOC≌△AOC，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AO＝BC，AB＝OC，AC＝CA，
∴△AOC≌△CBA（SSS），
∴△AOE≌△DOE≌△DOC≌△AOC≌△CBA，
∴与△ABC全等的三角形有△AOE，△DOE，△DOC，△AOC．
25．【解答】解：（1）设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x，y．
则，
解得，
答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．
（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，
根据题意，得60m+80（70﹣m）≤5000，
解得m≥30，
答：至少应购买B款纪念品30个．
27．【解答】解：（1）由题意得，
，
∴；
（2）如图1，
∵y＝﹣与y轴的交点B（0，6），A（﹣6，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x+6，
则D（t，t+6），
作DH⊥AC于H，作MG⊥DH于G，
∴∠G＝∠DHO＝90°，
∴∠DOH+∠ODH＝90°，
∵线段DO绕点D逆时针旋转90°得到线段DM，
∴∠ODM＝90°，DM＝OD，
∴ODH+∠GDM＝90°，
∴∠GDM＝∠DOH，
∴△DOH≌△MDG（AAS），
∴GM＝DH＝t+6，DG＝OH＝﹣t，
∴GH＝DG+DH＝6，
∴yM＝yB＝6，
∴B、M、G共线，
∴BM＝BG﹣GM＝﹣t﹣（t+6）＝﹣2t﹣6，
∴d＝2t+6；
（3）如图2，
作FW⊥OE于W，作FQ⊥x轴于Q，DH⊥x轴于H，
∵△AOD沿OD翻折得到△EOD，
∴OE＝OA＝6，∠AOD＝∠EOD，∠OED＝∠OAD＝45°，
∵EF＝OF，
∴OW＝EW＝，
∵∠OAD＝∠ABO＝45°，
∴点E、D、O、B共圆，
∴∠EBD＝∠EOD＝∠AOD，
∵∠EBD＝∠BOF，
∴∠BOF＝∠EOD＝∠AOD，
∵∠AOD+∠BOD＝90°，
∴∠BOF+∠BOD＝90°，
∴∠DOF＝90°，
∴∠DOE+∠EOF＝90°，∠AOD+∠FOQ＝90°，
∴∠AOD+∠EOF＝90°，
∴∠FOQ＝∠EOF，
∴FW＝FQ＝6，
∴tan∠EOF＝，
∴tan∠ODH＝tan∠EOF＝，
∴，
∴t＝﹣4，
∴d＝2t+6＝﹣2×4+6＝﹣2，
∴M（﹣2，6），
∵tan∠FOQ＝tan∠EOF＝2，
∴，
∴OQ＝，
∴F（3，6），
∴直线OF的解析式为：y＝2x，
由﹣＝2x得，
x＝或x＝﹣10（舍去），
∴y＝2×＝3，
∴N（2，3），
设直线MN的解析式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝﹣．
